高中数学第二章概率2.2.3独立重复试验与二项分布学案新人教B版选修2_3

2.2.3 独立重复试验与二项分布 1.理解 n 次独立重复试验的模型. 2.理解二项分布.(难点) 3.能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题.(重点) [基础·初探] 教材整理 独立重复试验与二项分布 阅读教材 P54~P56,完成下列问题. 1.n 次独立重复试验 在相同的条件下,重复地做 n 次试验,各次试验的结果相互独立,那么一般就称它们为 n 次独立重复试验. 2.二项分布 若将事件 A 发生的次数设为 X,发生的概率为 p,不发生的概率 q=1-p,那么在 n 次 独立重复试验中,事件 A 恰好发生 k 次的概率是 P(X=k)=Cnp q 于是得到 X 的分布列 k k n-k (k=0,1,2,…,n), X P 0 Cnp q 0 0 n 1 Cnp q 1 1 n-1 … … k Cnp q k k n-k … … n Cnp q n n 0 由于表中的第二行恰好是二项式展开式 (q+p) =Cnp q +Cnp q n 0 0 n 1 1 n-1 +…+Cnp q k k n- k +…+Cnp q 各对应项的值,称这样的离散型随 n n 0 机变量 X 服从参数为 n,p 的二项分布,记做 X~B(n,p). 1.独立重复试验满足的条件是________.(填序号) ①每次试验之间是相互独立的; ②每次试验只有发生和不发生两种情况; ③每次试验中发生的机会是均等的; ④每次试验发生的事件是互斥的. 【解析】 由 n 次独立重复试验的定义知①②③正确. 【答案】 ①②③ 2.一枚硬币连掷三次,只有一次出现正面的概率为________. 1 1 【解析】 抛掷一枚硬币出现正面的概率为 ,由于每次试验的结果不受影响,故由独 2 3 1?1??1?2 立重复试验可知,所求概率为 P=C3? ?? ? = . 2 2 ? ?? ? 8 【答案】 3 8 ? 1? 3.已知随机变量 X 服从二项分布,X~B?6, ?,则 P(X=2)等于________. ? 3? 【导学号:62980049】 1?4?1?2 80 2? 【解析】 P(X=2)=C6?1- ? ? ? = . ? 3? ?3? 243 【答案】 80 243 [质疑·手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1: 解惑: 疑问 2: 解惑: 疑问 3: 解惑: [小组合作型] 独立重复试验中的概率问题 (1)某射手射击一次,击中目标的概率是 0.9,他连续射击三次,且他每次射击 是否击中目标之间没有影响,有下列结论: ①他三次都击中目标的概率是 0.9 ; ②他第三次击中目标的概率是 0.9; ③他恰好 2 次击中目标的概率是 2×0.9 ×0.1; ④他恰好 2 次未击中目标的概率是 3×0.9×0.1 . 其中正确结论的序号是________(把正确结论的序号都填上). (2)某气象站天气预报的准确率为 80%,计算(结果保留到小数点后面第 2 位): 2 2 3 2 ①5 次预报中恰有 2 次准确的概率; ②5 次预报中至少有 2 次准确的概率; ③5 次预报中恰有 2 次准确,且其中第 3 次预报准确的概率. 【自主解答】 (1)三次射击是三次独立重复试验,故正确结论的序号是①②④. 【答案】 ①②④ (2)①记预报一次准确为事件 A,则 P(A)=0.8. 5 次预报相当于 5 次独立重复试验, 2 次准确的概率为 P=C5×0.8 ×0.2 =0.051 2≈0.05, 因此 5 次预报中恰有 2 次准确的概率约为 0.05. ②“5 次预报中至少有 2 次准确”的对立事件为“5 次预报全部不准确或只有 1 次准 确”, 其概率为 5 1 4 P=C0 5×(0.2) +C5×0.8×0.2 =0.006 72≈0.01. 2 2 3 所以所求概率为 1-P=1-0.01=0.99. 所以 5 次预报中至少有 2 次准确的概率约为 0.99. ③说明第 1,2,4,5 次中恰有 1 次准确. 所以概率为 P=C4×0.8×0.2 ×0.8=0.02 048≈0.02, 所以恰有 2 次准确,且其中第 3 次预报准确的概率约为 0.02. 1 3 独立重复试验概率求法的三个步骤 1.判断:依据 n 次独立重复试验的特征,判断所给试验是否为独立重复试验. 2.分拆:判断所求事件是否需要分拆. 3.计算: 就每个事件依据 n 次独立重复试验的概率公式求解, 最后利用互斥事件概率加 法公式计算. [再练一题] 2 1.(1)甲、乙两队进行排球比赛,已知在一局比赛中甲队胜的概率为 ,没有平局.若进 3 行三局两胜制比赛,先胜两局者为胜,甲获胜的概率为________. 65 (2)在 4 次独立重复试验中,事件 A 至少发生 1 次的概率为 ,则事件 A 在 1 次试验中 81 出现的概率为________. 【解析】 (1)“甲获胜”分两类:①甲连胜两局;②前两局中甲胜一局,并胜最后一 ?2?2 1 2 1 2 20 局.即 P=? ? +C2× × × = . 3 3 3 27 ?3? 3 65 1 0 0 4 (2)由题意知,C4p (1-p) =1- ,p= . 81 3 20 1 【答案】 (1) (2) 27 3 二项分布 一名学生每天骑自行车上学,从家到学校的途中有 5 个交通岗,假设他在各交 1 通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是 . 3 (1)求这名学生在途中遇到红灯的次数 ξ 的分布列; (2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数 η 的分布列. 【精彩点拨】 (1)首先判断 ξ 是否服从二项分布,再求分布列 .(2)注意“首次遇 到”“或到达”的含义,并明确 η 的取值.再求 η 取各值的概率. ? 1? 【自主解答】 (1)ξ ~B?5, ?,ξ 的分布

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