选修1-1选修2-1圆锥曲线与方程第一节椭圆定义与几何性质

椭圆及几何性质
考向一:定义法、待定系数法求标准方程
【例】已知椭圆的两个焦点为 F1 (-2,0) , F2 (2,0)且过点 ( , ? ) ,求椭圆的标准 方程

5 2

3 2

【例】 一动圆 P 与圆

同时与圆 C1 : x 2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 外切, C2 : x 2 ? y 2 ? 6x ? 91 ? 0

内切,求动圆圆心 P 的轨迹方程

【 解 析 】 设 圆 P 的 半 径 为 r , 由 题 PC1 ? 2 ? r, PC2 ? 10 ? r , 故

PC1 ? PC2 ? 12, C1C2 ? 6 ,即 P 的轨迹是以 C1 , C2 为焦点的椭圆,标准方程为
x2 y2 ? ?1 36 27
【例】 a ? b ? 10, c ? 2

5

(1)焦点在 x 轴上时 (2)焦点在 y 轴上时

考向二:定义运用(拓展:焦点三角形)
【例】椭圆 ( A. 22 ) B. 23 C. 24 D. 25

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点为 F1 、 F2 ,弦 AB 经过 F2 ,则 ?ABF1 的周长为 36 20

1

【解析】 ?ABF1 的周长为 AF 1 ? BF 1 ? AB ? AF 1 ? BF 1 ? AF 2 ? BF 2 ?

AF1 ? AF2 ? BF1 ? BF2 ? 2a ? 2a ? 4a ? 4 ? 6 ? 24
【例】若点 P 在椭圆

x2 ? y 2 ? 1 上, F1 、 F2 分别是椭圆的两焦点,且 ?F1PF2 ? 90? , 2


则 ?F1 PF2 的面积是( A. 2 B. 1

C.

3 2

D.

1 2

【解析】由椭圆方程

x2 ? y 2 ? 1 可知 a2 ? 2, b2 ? 1 . ?a ? 2, c ? a2 ? b2 ? 1 . 2
2 2

由题意可得 PF1 ? PF2 ? 2a ? 2 2 , PF1 ? PF2

? F1 F2 ? 4c 2 ? 4 .

2

? ? PF1 ? PF2

?

2

? PF1 ? PF2 ? 2 PF1 PF2 ? 4 ? 2 PF1 PF2 ? 8
1 2

2

2

? PF1 PF2 ? 2 .? S?F PF ?

1 PF1 PF2 ? 1 .故 B 正确. 2

思考: (1)改成 ?F1PF2 ? 60? ,求 S?F1PF2
? (2)若 ?PF 1F2 ? 45 ,求 S ?F1PF2

【思路点睛】 椭圆焦点三角形的应用思路: 椭圆上一点 P 与椭圆的两焦点组成的三角形 通常称为“焦点三角形” ,主要考虑利用椭圆定义可求其周长;利用椭圆定义和余弦定 理(勾股定理)可求 PF 1 , PF2 ,或通过整体代入可求其面积等.

x2 y 2 【例】已知椭圆 C : ? ? 1 ,点 M 与 C 的焦点不重合,若 M 关于 C 的两焦点的 16 12
对称点分别为 P , Q ,线段 MN 的中点在 C 上,则 | PN | ? | QN |? .

x2 y 2 ? ? 1 得: a2 ? 16, 所以, a ? 4 【解析】由椭圆方程 16 12
如 图 所 示 , 点 F1 , F2 , H 分 别 是 线 段 MQ, MP, MN 的 中 点 , 所 以 HF1 , HF2 分 别 是

?MNQ, ?MNP 的中位线,所以, | PN | ? | QN |? 2 HF2 ? 2 HF1 ? 2 ? HF2 ? HF1 ?

2

因为点 H 在椭圆上,所以 HF2 ? HF 1 ? 2a 所以, | PN | ? | QN |? 2 HF2 ? HF1 ? 4a ? 16

?

?

【练 1】已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的两个焦点分别为 F1(﹣1,0) ,F2(1,0) ,

且椭圆 C 经过点 P( , ), 椭圆 C 的方程为



x2 y2 ? ? 1 的焦点分别为 F1 , F2 , P 是椭圆上一点,若连接 F1 , F2 , 【练 2】已知椭圆 16 25

P 三点恰好能构成直角三角形,则点 P 到 y 轴的距离是(
A.3 B.

) D.

16 5

C.

3 16 或 5 5

16 3

【练 3】 已知椭圆:

x2 y2 ? ?1, 左右焦点分别为 F1,F2 , 过 F1 的直线 l 交椭圆于 A ,B 9 4

两点,则 | BF2 | ? | AF2 | 的最大值为________. 【练 4】已知点 P 为椭圆

???? ?

???? ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上任意一点,F1 、F2 分别为椭圆的左、 a 2 b2

右焦点, I 为△ PF ? S?PIF2 ? ? S?F1IF2 成立,则 ? 的值为 1F 2 的内心,若 S?PIF 1

【解 析 1 】由 题意可知 c ? 1 ,由 椭圆定义 可知 2a ? PF 1 ? PF 2 ? 2 2 ?a ? 2

? b ? 1 ,椭圆方程为

x2 ? y2 ? 1 2

3

c ? ?3 ,代入椭圆方 【解析 2】当 ?PF 1 F2 ? 90? 或 ?PF2 F 1 ? 90? 时,点 P 的纵坐标为

x 2 32 16 16 ? ? 1 ,解得 x ? ? ,所以点 P 到 y 轴的距离为 ;当 ?F1PF2 ? 90? 时, 程得 5 5 16 25

| PF1 | ? | PF2 |? 10

2 2 2 ① 且 | PF 1 | ? | PF 2 | ? 4c ? 36

② , 由 ① ② , 得

| PF1 | ? | PF2 |? 32 . 设 点 P 到 y 轴 的 距 离 为 d , 则 由 三 角 形 面 积 公 式 , 得
1 1 16 ? 2c ? d ? | PF1 | ? | PF2 | ,即 3d ? 16 ,所以 d ? ? 5 不满足条件,故选 B. 3 2 2
【 解 析 3 】 由 椭 圆 方 程 知 , c?

9? 4 ?

,又根据椭圆的定义知 5

BF A2 F? 2 ?

B ? 1F
???? ?

,即 BF2 ? AF2 ? AB ? 12 ,所以当 AB 最小时,即 A ? F 16

AB 垂直 x 轴时, | BF2 | ? | AF2 | 最大,此时易知 AB ?
值 12 ?

???? ?

???? ? ???? ? 8 ,所以 | BF2 | ? | AF2 | 最大 3

28 8 28 ? ,以答案应填: . 3 3 3

I 为 △ PF1F2 的 内 心 , 【 解 析 4 】 设 △ PF 1F 2 的 内 切 圆 的 半 径 为 r ,

S?P I1 F? S?

P2 I F

? ? S? 1

, F 2 I F





1 1 1 r | PF1 | ? r | PF2 |? ? | F1 F2 |,? 2 2 2

| PF1 | ? | PF2 |? ? | F1 F2 |, 因为 P 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上任意一点,F1 、F2 a 2 b2

分 别 为 椭 圆 的 左 、 右 焦 点 , 由 椭 圆 的 定 义 得 | PF 1 | ? | PF2 |? 2a , 得

2a ? ? ? 2 a 2 ? b 2 ,? ? ?

a a2 ? b2

.

考向三:几何性质
【例】已知椭圆 A. 4

x2 y2 ? ? 1,若焦距为 4 ,则 m 等于( 10 ? m m ? 2
B. 5 C. 4 或 8



D. 5 或 7

【解析】由题意得,当 10 ? m ? m ? 2 时,即 m ? 6 时,椭圆的焦点在 x 轴上,此时

10 ? m ? (m ? 2) ? 22 ,解得 m ? 4 ;当 10 ? m ? m ?2 时,即 m ? 6 时,椭圆的焦点在

y 轴上,此时 m ? 2 ? (10 ? m) ? 22 ,解得 m ? 8 ,所以实数 m 的值为 4 或 8

4

【练】椭圆以 x 轴和 y 轴为对称轴,经过点 (2,0) ,长轴长是短轴长的 2 倍,则椭圆的 方程为( A. ) B.

x2 ? y2 ? 1 4 x2 y2 x2 ? y2 ? 1 或 ? ?1 4 16 4

y2 x2 ? ?1 16 4 x2 y2 ? y 2 ? 1 或 ? x2 ? 1 4 4

C.

D.

【解析】当 ? 2, 0 ? 为长轴端点时, a ? 2 ,由题意可知 b ? 1 , 此时椭圆焦点在 x 轴,所以椭圆方程为

x2 ? y2 ? 1 ; 4

当 ? 2, 0 ? 为短轴端点时, b ? 2 ,由题意可知 a ? 4 , 此时椭圆焦点在 y 轴,所以椭圆方程为

y2 x2 ? ?1. 16 4

2 y2 【例】如图,椭圆 x 2 ? 2 ? 1 (a>b> 0 )的离心率 e ? 1 ,左焦点为 F,A,B,C 为其 2 a b 三个顶点,直线 CF 与 AB 交于 D,则 tan∠BDC 的值为 .

【 解 析 】 因 为

t a? nBAO ? b ? 3 e?1 a 2 2 , 所 以

,? tOFC a n ?b? c

3 ; 因 为

tan ?BDC ? tan(?BAO ? ?OFC ) ?
?B D C? ? B A O ? ? ,所以 O F C

3? 3 2 ? ?3 3 3 1? ? 3 2

【一题多解】 法二: 法三: 法四:

考向四:离心率及取值范围

5

求椭圆离心率的方法: (1)直接法:即根据条件直接求出 a,c 的值,利用离心率公式 直接求解; (2)比值法:即列出含有 a, b, c 的齐次方程(或不等式) ,借助于 a, b, c 间 的关系 b2 ? a 2 ? c 2 消去 b ,转化为含有 e 的方程(或不等式)求解.

【例】椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右顶点分别是 A, B ,左、右焦点分别是 a 2 b2


F1 , F2 .若 F1 F2 是 AF1 , F1B 的等比中项,则此椭圆的离心率为(
A.

3 3

B.

5 5

C.

1 2

D.2

【解析】由题意,得 F1 F2

2

? AF1 ?F1 B ,即 4c2 ? (a ? c)(a ? c) ,即 a 2 ? 5c 2 ,所以

e?

c 5 ,故选 B. ? a 5
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F ,过原点的直线与 C 相交于 A, B 两 a 2 b2

【例】椭圆 C :

点 , 连 接 ? F , ? F , 若 ?? ? 10 , ?F ? 6 , cos ???F ?

e?

4 ,则 C 的离心率 5



【解析】在 ?AFB 中,由余弦定理得: AF 又 AF =6 , AB =10 , cos?ABF =

2

? AB ? BF ? 2 AB BF cos?ABF ,

2

2

4 ,所以 BF ? 8 , | FF ? |? 10 ,设 F ? 为椭圆的 5

右焦点,连接 BF ? , AF ? ,根据对称性可得四边形 AFBF ? 是矩形,所以 BF ? ? 6 ,由

2a ? BF ? BF ? ? 8 ? 6 ?14 , 2c= | FF ? |? 10 ,所以 e ?

c 5 ? a 7

【例】如图所示, A, B 分别是椭圆的右、上顶点, C 是 AB 的三等分点(靠近点 B ) ,

F 为椭圆的右焦点, OC 的延长线交椭圆于点 M ,且 MF ? OA ,则椭圆的离心率
为 .

6

x2 y 2 【解析】设 A ? a, 0 ? ,B ? 0, b ? ,F ? c,0 ? ,椭圆方程为 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? , a b
令 x ? c ,可得 y ? b 1 ?

? b2 ? c 2 b2 ,即有 M ? ? c, ? ,由 C 是 AB 的三等分点(靠近点 a2 a ? a?

B) ,可得 C ?

2b b 2 ? a 2b ? ? ,即有 b ? 2c , , ? ,由 O,C,M 共线,可得 kOC ? kOM ,即为 a ac ?3 3 ?
c 5 . ? a 5

a ? b2 ? c2 ? 5c ,则 e ?

【例】 如图, 在圆 x 2 ? y 2 ? 4 上任取一点 P , 过点 P 作 x 轴的垂线段 PD ,D 为垂足. 当 点 P 在圆上运动时, 线段 PD 的中点 M 的轨迹是椭圆, 那么这个椭圆的离心率是 (
y P M



O

D

x

A.

1 2

1 B. 4

2 C. 2

D.

3 2

? x ? x0 ? x0 ? x ? 【解析】设 M ( x, y) , P( x0 , y0 ) ,由题意可得, ? , y0 ,∴ ? y? ? y0 ? 2 y ? ? 2
又因为

x ?y ?4
2 0 2 0

,所以

x ? 4y ? 4
2 2

,∴ x

2

4
e?

? y 2 ? 1,
c 3 ? a 2

所以

a 2 ? 4 , b 2 ? 1, c 2 ? 4 ? 1 ? 3 ,

所以

【练 1】设椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右焦点分别为 F1 , F2 , ? 是 C 上的 a 2 b2


? C 的离心率为( 点, ?F2 ? FF 1 2 , ??FF 1 2 ? 30 ,则

A.

3 6

B.

1 3

C.

1 2

D.

3 3

7

x2 y 2 3a 【练 2】设 F1 , F2 是椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点, P 为直线 x ? 上一 2 a b
点, ? F1PF2 是底角为 30 0 的等腰三角形,则 C 的离心率为( A、 ) D、

1 2

B、

2 3

C、

3 4

4 5

【练 3】如图,点 A 为椭圆 E :

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的右顶点, B,C 在椭圆 E 上, a 2 b2


若四边形 OABC 为平行四边形,且 ?OAB ? 30? ,则椭圆 E 的离心率为(

A.

2 2 5

B.

2 3

C.

2 3 5

D.

2 2 3

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 上的一点, F1 , F2 是椭圆的两个焦 a 2 b2 3 点,若 ?PF1 F2 的内切圆的半径为 ,则此椭圆的离心率为 . 2
【练 4】已知点 P(m, 4) 是椭圆

y
F1

P
F2

x

【练 5】设 F1、F2 为椭圆的两个焦点, A 为椭圆上的点,且

???? ? ???? ? 2 2 AF2 ? F1 F2 ? 0, cos ?AF1 F2 ? ,则椭圆的离心率为( 3
A.



10 8

B.

10 4

C.

2 4

D.

2 2

【 练 6 】 在 以 O 为 中 心 , F1、F2

为焦点的椭圆上存在一点 M ,满足 )

MF1 ? 2 MO ? 2 MF2 ,则该椭圆的离心率为(
A.

2 2

B.

3 3

C.

6 3

D.

2 4

8

? 【解析 1】 设P 因为 ?F2 ? FF 所以 PF F2 ? x , ??FF 1 2, 1 2 ? 30 , 1 ? 2x, F 1F 2 ? 3x ,

又 PF 1 ? PF 2 ? 2a, F 1F 2 ? 2c , 所 以 2a ? 3x, 2c ? 3x , 所 以 椭 圆 的 离 心 率 为

e?

c 3 ? a 3

【 解 析 2 】 作 出 图 象 , 如 图 所 示 , 由 题 意 , 得 在 ?PF 1 F2 中 ,

F1F2 ? PF2 ? 2c, ?PFF ? 300 ,则在 Rt?PF2 H 中, F2 H ?

3a ? c, ?PF2 H ? 60 0 , 2

3a ?c F2 H 1 3a c 3 2 ? ? cos 600 ? ,即 ? c ? c ,即椭圆的离心率为 e ? ? 则 2 a 4 PF2 2c 2

【解析 3】由椭圆对称性知 ?AOB ? 30? ,点 B 在线段 OA 的垂直平分线上,所以点 B 的横坐标为 x ?

a 3 3b ,代入椭圆议程得点 B 的纵坐标为 y ? ,则 b ,所以 kOB ? 2 2 a



c b 2 2 2 b 1 3b 3 ,得 ? ,所以椭圆的离心率为 e ? ? 1 ? ( ) ? ,故选 D. ? a 3 a 3 a a 3

1 1 【解析 4】一方面 ?PF1 F2 的面积为 (2a ? 2c) ? r ;另一方面 ?PF1 F2 的面积为 y p ? 2c , 2 2
yp a ? c yp a 1 1 ? , ∴ ( ? 1) ? ,又 (2a ? 2c) ? r ? y p ? 2c , ∴ (a ? c) ? r ? y p ? c , ∴ c r c r 2 2

yp ? 4∴ ?

a c

yp r

?1 ?

c 3 4 5 ? 1 ? ,∴椭圆的离心率为 e ? ? . 3 a 5 3 2

【解析 5】根据向量数量积的性质,由 AF2 ? F 1F2,Rt ?AF 1F2 中利用 1F 2 ? 0 得 AF2 ? F 三角函数的定义算出 AF1 ?

???? ? ???? ?

3 2 2 c ,利用勾股定理算出 AF2 ? c ,进而得到长轴 2 2

2a ? AF1 ? AF2 ? 2 2c ,即可算出该椭圆的离心率.
9

???? ? ???? ? ???? ? ???? ? 2 2 ? AF2 ? F1F2 ? 0, ? AF2 ? F1F2 ,? cos?AF1F2= 3

?

F1F2 AF1

?

2 2 3 2 3 2 , ? AF1 ? F1F2 ? c, 3 4 2
AF1 |2 ? F1F2 |2 ? 2 2c 2 , c, ? 2a ? AF1 ? AF2 ? 2 2c ? e ? ? 2 2a 2

? AF2 ?

【解析 6】延长 MO 与椭圆交于 N ,因为 MN 与 F1F2 互相平分,所以四边形 MF1 NF2 是 平 行 四 边 形 , 所 以 MN ? F1 F2
2 2

? MF1 ? MF2 ? NF1 ? NF2

2

2

2

2

,因为

MF F ?2 1 ? M2
NF2 ? MF1 ?

M2F ?

M ? 3 2F

M F 2 , a因 为 2 ?

NF1 ? MF2 ?

2 a 3



4 4 2 2 4 a , F1F2 ? 2c ,所以 ( a ) 2 ? ( a ) 2 ? ( a ) 2 ? ( a ) 2 ? 3 3 3 3 3

2 6 c2 2 4 ( a ) 2 ? (2c) 2 ,所以 2 ? ,所以 e ? ? 3 a 3 3 3
离心率取值范围问题:
x2 y 2 【例】椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点为 F1 , F2 ,椭圆 C 上恰有 6 个不同 a b
点 P ,使 ?F1F2 P 为等腰三角形,则椭圆 C 的离心率的取值范围是_______.

【解析】6 个不同的点有两个为短轴的两个端点,另外 4 个分别在第一、二、三、四象 限,且上下对称左右对称,不妨设点 P 在第一象限,则 PF 1 ? PF 2 ,

2 c ? 2 a ? 2c , 整 理 可 得 当 PF 1 ? F 1F 2 ? 2a , PF 2 ? 2a ? PF 1 ? 2a ? 2c 所 以
e? c 1 1 ? ,又 e ? 1 ,? ? e ? 1 . a 2 2

10



PF2 ? F1F2 ? 2a





PF1 ? 2a ? PF2 ? 2a ? 2c







2 c 12 ?2a ? c ? 1 1 1 c 1 ? ? e ? ? ,综上可得离心率的范围为 ( , ) ? ( ,1) . ? 3 2 2 3 a 2 ?2c ? a ? c
【例】设 A 为椭圆

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )上一点,点 A 关于原点的对称点为 B,F a2 b2

为椭圆的右焦点,且 AF ⊥ BF .若∠ ABF ∈ [ 为 .

? ? , ] ,则该椭圆离心率的取值范围 12 4

【解析】∵B 和 A 关于原点对称∴B 也在椭圆上,设左焦点为 F′,根据椭圆定义: |AF|+|AF′|=2a 又∵|BF|=|AF′|∴|AF|+|BF|=2a ?① O 是 Rt△ABF 的斜边中点,∴|AB|=2c 又|AF|=2csinα ?② |BF|=2ccosα ?③ ②③代入①2csinα +2ccosα =2a

?

c 1 1 ? ?e ? ? a sin ? ? cos ? sin ? ? cos ?

1 ?? ? 2 sin ? ? ? ? 4? ?

3 ?? 2 6 ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? , ? ?? ? ? ? , ? ? ? sin ? ? ? ? ? 1? ?e? 4 ?3 2? 2 4? 2 3 ?12 4 ? ?
x2 y2 ? 2 ? 1(m ? 2) 2 F F m ?4 【练 1】已知 1 、 2 是椭圆 m 的左、右焦点,点 P 在椭圆上,


PF1 ? PF2 ? 2 3m

,则该椭圆离心率的取值范围为



【练 2】设点 存在异于点 的取值范围是

, ,

分别为椭圆 的点 ,使得 . +

: ,其中

的左右顶点,若在椭圆 为坐标原点,则椭圆



的离心率

【练 3】已知椭圆 M:

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1(﹣c,0) ,F2(c,
2 2

0) , P 为椭圆 M 上任意一点,且 c=

的最大值的取值范围是 [c , 3c ] ,其中 .

,则该椭圆的离心率的取值范围为

11

【解析 1】由已知得,

c ? 2, | PF1 | ? | PF2 |? (

| PF1 | ? | PF2 | 2 ) ? 2 3m ? m 2 ? m ? 2 3 2 ,



e?

3 3 c (0, ] e ? (0, ] 3 ;故应填 3 . a ,故
为直径的圆与椭圆有除 以外的交点,圆方程为

【解析 2】由题意以

, 由

, 得

, 此方程一根为 ,

另一根为

,则





,所以



【解析 3】由题意,设点 P 为(x,y) , ∵ + =1,∴x =
2


2 2 2



=(﹣c﹣x,﹣y) ,

=(c﹣x,﹣y) ,∴

?

=x ﹣c +y

=

﹣c +y

2

2

=a ﹣c ﹣

2

2

,∴当 y=0 时,

?

取到最大值 a ﹣c ,

2

2

即 c ≤a ﹣c ≤3c ,∴

2

2

2

2

c≤a≤2c,∴ ≤e≤ ],



∴椭圆 m 的离心率 e 的取值范围是:[ ,

考向五:椭圆方程应用拓展(补充:通径,焦半径)
【例】设 P、Q 分别为 x 2 ? ? y ? 6? ? 2 和椭圆
2

x2 ? y 2 ? 1 上的点,则 P, Q 两点间的 10

最大距离是( A. 5 2

) B. 46 ? 2 C. 7 ? 2 D. 6 2

12

【解析】

【例】如图,椭圆的中心为原点 O ,长轴在 x 轴上,离心率 e ? 轴的垂线交椭圆于 A 、 A? 两点, AA? ? 4 . (1)求该椭圆的标准方程;

2 ,过左焦点 F1 作 x 2

(2)取垂直于 x 轴的直线与椭圆相较于不同的两点 P 、 P? ,过 P 、 P? 作圆心为 Q 的 圆,使椭圆上的其余点均在圆 Q 外.若 PQ ⊥ P?Q ,求圆 Q 的标准方程.

由椭圆的对称性,可设 Q(x0,0).设 M(x,y)是椭圆上任意一点,则 |QM| =(x-x0) +y =x -2x0x+x0 + 8 ?1 ?
2 2 2 2 2

? ?

x2 ? 1 2 2 ? = 2 (x-2x0) -x0 +8(x∈[-4,4]). 16 ?

设 P(x1,y1),由题意,P 是椭圆上到 Q 的距离最小的点,因此,上式当 x=x1 时取最小 2 2 值,又因 x1∈(-4,4),所以上式当 x=2x0 时取最小值,从而 x1=2x0,且|QP| =8-x0 . 因为 PQ⊥P′Q,且 P′(x1,-y1),所以 QP ? QP? =(x1-x0,y1)·(x1-x0,-y1)=0, 即(x1-x0) -y1 =0.由椭圆方程及 x1=2x0 得 解得 x1 ? ?
2 2

??? ? ????

1 2 ? x12 ? x1 ? 8 ?1 ? ? ? 0 , 4 ? 16 ?

16 x 4 6 2 6 2 2 , x0 ? 1 ? ? .从而|QP| =8-x0 = . 3 3 2 3
2

? 2 6? 16 ? y2 ? 故 这 样 的 圆 有 两 个 , 其 标 准 方 程 分 别 为 ?x? , ? ? ? 3 ? 3 ? ? 2 6? 16 x ? ? y2 ? . ? ? ? ? 3 ? 3 ?
2

13

x2 y2 ? ? 1 上任意一点,EF 是圆 M : x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 的直径, 【练 1】 已知 P 是椭圆 16 8
则 PE? PF 的最大值为 【练 2】已知椭圆
? ?

x2 y 2 ? ? 1 左焦点为 F , A 、 B 、 C 是该椭圆上不同的三点,若 F 16 4

是 ?ABC 的重心,则 AF ? BF ? CF ? ____________. 【练 3】若椭圆 C1 :

x2 a1
2

?

y2 b1
2

? 1(a1 ? b1 ? 0) 和椭圆 C2 :

x2 a2
2

?

y2 b2
2

? 1(a2 ? b2 ? 0)

的焦点相同且 a1 ? a 2 .给出如下四个结论:①椭圆 C 1 和椭圆 C 2 一定没有公共点;②

a1 b1 2 2 2 ? 错误!未找到引用源。 ;③ a1 ? a2 ? b12 ? b2 错误!未找到引用源。 ;④ a 2 b2

a1 ? a2 ? b1 ? b2 .
其中所有正确结论的序号是__ __.

【解析 1】

F ?2 3, 0 , e ?
【解析 2】 由题意可得

?

?

3 x ,x ,x 2 , 设 A, B, C 三点的横坐标分别为: 1 2 3 ,

x1 ? x2 ? x3 ? ?2 3 x ? x2 ? x3 ? ?6 3 ,根据 3 因为 F 是 ?ABC 的重心,所以有 ,即 1
椭圆的焦半径关系可得

AF ? BF ? CF ? a ? ex1 ? a ? ex2 ? a ? ex3 ? 3a ? e ? x1 ? x2 ? x3 ? ? 3

, 故答案为 3 .

14

【解析 3】两方程联立求解,无解,即结论?正确;可得,

b1 c2 b2 c2 ? 1? 2 , 2 ? 1? 2 , 2 a1 a1 a2 a2

2

2

又因 a1 ? a 2 ,所以
2

2 2 a b b1 b2 b b ? ? 1 ? 2 ? 1 ? 1 ,故结论?不正确.因两椭圆共焦 2 2 a1 a2 a2 b2 a1 a2
2
2 2

2 2 2 点,所以 a1 ? b1 ,即 a1 ? a2 ? b12 ? b2 ,故结论?正确.由前面结论知, ? a2 ? b2

a1 b1 ? ,所以 a1b2 ? a2b1 ,则 2a1b2 ? 2a2b1 , a2 b2


a1 ? b1 ? 2a1b2 ? 2a2b1 ? a2 ? b2 ?a1 ? b2 ? 2a1b2 ? 2a2b1 ? a2 ? b1

2

2

2

2

2

2

2

2





(a1 ? b2 )2 ? (b1 ? a2 )2 ,故 a1 ? b2 ? b1 ? a2 ,因此 a1 ? a2 ? b1 ? b2 .所以结论④正
确.综上,正确结论的序号为①③④

考向六:直线与椭圆(一) :坐标法、点差法
【例】 已知椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (3, 0) ,过点 F 的直线交椭圆于 a 2 b2


A, B 两点.若 AB 的中点坐标为 (1, ?1) ,则 E 的方程为(
A.

x2 y 2 ? ?1 18 9

B.

x2 y 2 ? ?1 36 27

C.

x2 y 2 ? ?1 27 18

D.

x2 y 2 ? ?1 45 36

【解析】设

A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ?

x2 2 y2 2 x12 y12 ,则 2 ? 2 ? 1 , 2 ? 2 ? 1 ,两式相减可得, a b a b

?1 ? 0 1 y1 ? y2 b2 x ? x ? ,则 ? ? 2 ? 1 2 ,依题意, x1 ? x2 ? 2, y1 ? y2 ? ?2 , k AB ? 1? 3 2 x1 ? x2 a y1 ? y2

1 b2 2 ? ? 2 ? ,即 a 2 ? 2b2 ,又 c ? 3 ? a2 ? b2 ,得 a2 ? 18, b2 ? 9 ,即椭圆方程为 2 a ?2

x2 y 2 ? ?1 18 9
【例】已知椭圆 C :

x2 y2 3 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,过右焦点 F 且斜率为 k 2 a b 2

( k ? 0 )的直线与椭圆 C 相交于 A、B 两点.若 AF =3FB ,则 k =________.
15

??? ?

??? ?

【解析】由已知 e= = 1 -

c a

c 2 b2 3 ,则椭 c ,b ? = ,所以 a ? 2b ,所以 a ? 2 a 2 3 3

???? ??? ? x2 y 2 3 2 2 2 圆方程 2 + 2 =1 变为 x +3 y =c .设 A A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,又 AF =3 FB ,所 4 a b
以 (c ? x1,-y1 ) ? 3( x2 ? c,y2 ) , 所 以 ?

( 3 x2-c) ?c-x1= ,所以 ?- y1=3 y2

? x1+3x2=4c , ? ? y1+3 y2=0

3 2 3 2 2 x1 ? 3 y12 ? c 2 x2 ? 3 y2 ? c2 ① , ② . ① - 9× ② , 得 4 4 3 3 ( x1 ? 3x2 )( x1 ? 3x2 ) ? 3( y1 ? 3 y2 )( y1 ? 3 y2 ) ? ?8c 2 ,所以 ? 4c( x1 ? 3 x2 ) ? ?8c 2 , 4 4
所以 x1 ? 3 x2 ? ? c ,所以 x1 ?

8 3

2 10 2 2 c , x2 ? c ,从而 y1 ? ? ,所以 c , y2 ? 3 9 3 9

A?

?2 ? 10 2 ? 2 ? ? 3 c, ? 3 c ? ? ,B ? ? 9 c, 9 c ? ? ,故 k ? 2 . ? ? ? ?

【例】直线

x2 y2 x y ? ? 1 与椭圆 ? ? 1 相交于 A, B 两点,该椭圆上点 P 使得 ?PAB 4 3 16 9
D. 4

面积为 2,这样的点 P 共有( )个 A. 1 B. 2 C. 3

【解析】直线

?x ? 4 ?x ? 0 x2 y2 x y ? ? 1 与椭圆 ? ? 1 联立得: ? 或? 4 3 16 9 y ? 0 ? ?y ? 3

0? , B?0, 3? 根据条件 设 A?4,
那么 S ?PAB ?

AB ? 5

,若点 P 到直线 AB 的距离为 d

1 4 ? AB ? d ? 2 ,解得 d ? 2 5

设与已知直线平行的直线为 3x ? 4 y ? m ? 0 ,并且与椭圆相切,
16

这样联立椭圆方程,令 ? ? 0 ,解得 m ? ?12 2 所以切线方程是 l1 : 3x ? 4 y ? 12 2 ? 0 和 l 2 : 3x ? 4 y ? 12 2 ? 0 因为直线 l1 与已知直线

12 2 ? 12 12 x y ? ? 1 的距离为 d1 ? ? 4 3 5 32 ? 4 2

? ?

2 ?1 ?

?

4 , 5

12 2 ? 12 12 x y 4 ? ? 1 的距离为 d 2 ? ? 2 ?1 ? 4 3 5 5 32 ? 4 2 4 这样到直线 AB 的距离为 的直线有两条, 这两条直线与椭圆都相交, 分别有两个交点, 5
同理直线 l 2 与已知直线

?

共 4 个,故选 D. 【例】 已知点 P 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0, xy ? 0) 上的动点,F1 (?c,0) 、F2 (c,0) 为 a 2 b2

椭 圆 的 左 、 右 焦 点 , O 为 坐 标 原 点 , 若 M 是 ?F 1PF2 的 角 平 分 线 上 的 一 点 , 且

F1 M ? MP,则 | OM | 的取值范围是



【解析】如图,延长 PF2 , F 1M ,交与 N 点,∵PM 是 ?F 1PF2 平分线,且 F 1M ? MP , ∴|PN|=|PF1|,M 为 F 1 N 中点, 连接 OM,∵O 为 F1F2 中点,M 为 F 1 N 中点

? OM ?
∵在椭圆

1 1 1 F2 N ? PN ? PF2 ? PF1 ? PF2 2 2 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0, xy ? 0) 中,设 P 点坐标为 ? x0 , y0 ? a 2 b2

则 PF 1 ? PF2 ? a ? ex0 ? a ? ex0 ? 2e x0 1 ? a ? ex0 , PF 2 ? a ? ex0 , PF

∵P 点在椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0, xy ? 0) 上,∴ x0 ∈(0,a], a 2 b2

又∵当 x0 =a 时, F . 1M ? MP 不成立,∴ x0 ∈(0,a)∴|OM|∈(0,c)

17

【练 1】椭圆 A. B.

=1 中,以点 M(﹣1,2)为中点的弦所在的直线斜率为( ) C. D.﹣

【 练 2 】椭 圆 是 【练 3】已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 上 的 点 到 直 线 x ? 2y ? 2 ? 0 的 最 大 距 离 16 4


x2 y 2 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率是 ,过椭圆上一点 M 作直线 2 a b 2

MA, MB 交椭圆于 A, B 两点,且斜率分别为 k1 , k2 ,若点 A, B 关于原点对称,则 k1 ? k2
的值为 .

【练 4】线段 PQ 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 过 M (1, 0) 的一动弦,且直线 PQ 与直线 x ? 4 交 4 3

于点 S ,则

SM SM ? ? ________ . SP SQ
x2 ? y 2 ? 1 , A1 , A2 分别是椭圆的左、右 4

【练 5】如图平面直角坐标系 xOy 中,椭圆

两个顶点, 圆 A1 的半径为 2,过点 A2 作圆 A1 的切线,切点为 P ,在 x 轴的上方交椭圆 于点 Q .则

PQ ? QA 2



【练 6】椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,弦 AB 过 F1 ,若 ?ABF2 的内切圆 25 16

周长为 ? , A, B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 值为 A.

5 3

B.

10 3

C.

20 3

D.

5 3

18

【解析 1】设弦的两端点为 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,

代入椭圆得



两式相减得,





, ,即

,∴弦所在的直线的斜率为



【解析 2】 设与直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 平行的直线方程为 y ? ?

1 x ? m ,将其代入椭圆方 2

2 2 2 2 程 得 , x ? 2mx ? 2m ? 8 ? 0 . 令 ? ? 4m ? 4(2m ? 8) ? 0 , 解 得 , m ? 2 2 或

m ? -2 2 . 椭 圆 上 点 到直 线 的 距离 的 最 大 值 转化 为 直 线 x ? 2 y ? 2 ? 0 与 直 线
1 y ? ? x ? m 的距离的最大值.显然其中当 m ? -2 2 时,距离最大,最大值为两条平 2
行线的距离 10 . 【 解 析 3 】 设

M ( x, y) 1 , A 1( x ? , y ? 1) B , , ,y ) 1 (x 则 由 点 差 法 得

k1 =

b2 ( x ? x1 ) b2 ( x ? x1 ) , k = , 2 a 2 ( y ? y1 ) a 2 ( y ? y1 ) k1k2 = b2 ( x ? x1 ) b2 ( x ? x1 ) b4 ( x 2 ? x12 ) b4 a2 b2 ? ? ? ? ( ? ) ? ? a 2 ( y ? y1 ) a 2 ( y ? y1 ) a 4 ( y 2 ? y12 ) a 4 b2 a2 , 因为离心率是

因此

1 2 k1k2 ? ? 2 2 ,所以 a ? 2b ,从而
【解析 4】 设直线 PQ 的方程为 y ? k ? x ?1? , 所以 S ? 4,3k ? , 设 P, Q 的横坐标为 x1 , x2 ,

? x2 y 2 ?1 ? ? 联 立 ?4 , 化 简 得 3 ? y ? k ? x ? 1? ?
? 8k 2 x ? x ? ? ? 1 2 3 ? 4k 2 , ? 2 4 k ? 12 ?x ? x ? 1 2 ? 3 ? 4k 2 ?

?3 ?

k 42 ? x 2 ? 8k 2 ? x 4 2 k? 1 , 2 ? 所0以

19

SM SP

?

SM SQ

?

8 ? ? x1 ? x2 ? 8 ? ? x1 ? x2 ? 3 3 ? ? 3? ? 3? 4 ? x1 4 ? x2 16 ? 4 ? x1 ? x2 ? ? x1 x2 ? 4 ? x1 ?? 4 ? x2 ?

代入化简得

SM SM 24k 2 ? 24 ? ? 3? ? 2. SP SQ 36k 2 ? 36

? 【解析 5】由题意可知 A2 ? 2,0? ,在 Rt ?A 1PA2 中 ?A 1PA 2 ? 90 , A 1P ? 2, A 1A 2 ? 4 ,所

? ? 以 ?A 1A 2 P ? 30 , 所以直线 A2 P 的斜率 k ? tan150 ? ?

3 . 则直线 A2 P 的方程为 3

? 3 y?? ? x ? 2? ? 3 ? 3 消去 y 整理可得 7 x2 ? 16 x ? 4 ? 0 ,解得 x ? 2 或 y?? ? x ? 2? . ? 2 3 ? x ? y2 ? 1 ? ?4
x?

?2 4 3? 2 .可得 Q ? , ?7 7 ? ?. 7 ? ?
2

2 8 3 ?2 ? ?4 3? , ?QA2 ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? 7 ?7 ? ? 7 ?

在 Rt ?A 1PA2 中 PA2 ?

42 ? 22 ? 2 3 , ? PQ ? PA2 ? QA2 ? 2 3 ?

8 3 6 3 , ? 7 7

6 3 PQ 3 ? ? 7 ? . QA2 8 3 4 7
x2 y 2 ? ? 1 a=5,b=4,∴c=3,左、右焦点 F1(-3,0)、F2( 3,0), 【解析 6】椭圆: 25 16
△ABF2 的内切圆周长为π ,则内切圆的半径为 r=

1 2 1 1 × |y1| × |F1F2|+ × |y2| × 2 2

而 △ ABF2 的 面 积 = △ AF1F2 的 面 积 + △ BF1F2 的 面 积 = |F1F2|=

1 ×(|y1|+|y2|)×|F1F2|=3|y2-y1|(A、B 在 x 轴的上下两侧), 2 1 1 1 又△ABF2 的面积= ×|r(|AB|+|BF2|+|F2A|)= ? (2a+2a)=a=5.所以 3|y2-y1|=5, 2 2 2 5 |y2-y1|= 3

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