1.3.2 第1课时 利用导数研究函数的极值_图文

1.3.2

利用导数研究函数的极值

第1课时 利用导数研究函数的极值

引入:在群山之中,各个山峰的顶端,虽然不一定是 群山的最高处,但它却是其附近的最高点.同样,各个谷 底虽然不一定是群山的最低处,但它却是其附近的最低 点. 在数学学习中,也有类似的情况.例如,函数的极值问题!
y
y ? f ?x ?

c de o f g

h

i

j

x

1.理解函数极值的定义.(重点)

2.理解函数的极值与导数的关系. (难点)
3.会利用导数求函数的极值. (难点)

探究点1: 函数的极值 如图,函数y=f (x)的图象. 问题1:

观察函数 y=f (x)在点x1 、x3
处的函数值f (x1)、 f (x3) ,

y
f (x1)

f(x3)

y?f(x)

与它们“附近”各点处的函数
值相比有什么特点?
O a x1 x2

x3 x4

bx

解析: f (x1)比x1“附近”各点处的函数值都大. f (x3)比x3“附近”各点处的函数值都大.

问题2: 观察函数 y=f (x)在点x2 、x4 处的函数值f (x2)、 f (x4) ,
y y?f(x)

与它们“附近”各点处的函数值 相比有什么特点?
O a x1

f (x2) x2

f ( x4 )
x3 x4 bx

解析: f (x2)比x2“附近”各点处的函数值都小. f (x4)比x4“附近”各点处的函数值都小.

函数的极值

已知函数y ? f ( x ),设x0是定义域(a,b)内任一点, 如果对x0附近的所有点x,都有f ( x ) ? f ( x0 ),

则称函数f ( x )在点x0处取极 大 值 ;记作y 极大 =f ( x0 ). 并把x0 称为函数f ( x )的一个 极 大 值 点 .

如果在x0附近都有 f ( x ) ? f ( x0 ),

则称函数f ( x )在点x0处取 极 小 值 ;
记作y极小 =f ( x0 ).并把 x0 称为函数f ( x )的一个 极 小 值 点 .

极大值与极小值统称为 极 值 .
极大值点与极小值点统称为

极值点 .

【想一想】 1.图中有哪些极值点?

2.函数极值点可以有多个吗?极大值一定比极小值大么? 3.区间端点可能是极值点吗?
y ? f ?x ?

解析:
1.d、e、f、g、h、i. 2.可以,不一定.

y

3.不可能.

c de o f g

h

i

j

x

探究点2:

利用导数研究函数的极值
y f(x3)

如图,函数y=f (x)的图象. 问题1:函数 y=f (x)在极值点处 的导数值有何特点?

f (x1)
f ( x2 ) O a x1 x2

y?f(x)

f(x4)

解析: 都等于0. 问题2:函数 y=f (x)在极值点 “附近”的导数值有何特点?

x3 x4

bx

解析: 极值点“附近”左侧和右侧的导数值异号.

y

问题3:如果 f′(x0)=0,则x0一定
是函数y=f (x)的极值点吗?
3 不一定 , 如 f ( x ) ? x 解析:

y=x3

o

x

可 知 f ? ( x ) ? 3 x 2 , 从 而 f ? (0) ? 0, 但 0 不 是 极 值 点 .
可导函数的极值与导数的关系

函数极值点处的导数值 一定等于0 ;
导数值等于0的点 不一定是极值点 .

例:已知函数

1 3 f ? x ? ? x ? 4x ? 4 3

(1)求函数的极值,并画出函数的大致图象;

(2)求函数在区间[-3,4]上的最大值和最小值.
解:

1 f ? ? x ? ? x 2 ? 4 ? ? x ? 2 ?? x ? 2 ?


令 f ? ? x ? ? 0, 解 得 : x ? ? 2
f ? ? x ? , f ? x ? 的变化情况如下表: 当x变化时,

x
f ? ? x? f ? x?



? ??, ?2?
?

?2

? ?2, 2?
?

2

? 2, ???
?

0
极大值

0
极小值

从表上可以看出,当x =-2时,

y=f (x)有极大值,且

1 28 3 f ( ?2) ? ? (-2)-4 ? (-2) +4= ; 3 3 而当x =2时, y=f (x)有极小值,且

1 3 4 f (2) ? ? 2 -4 ? 2+4=- ; 3 3 函数y=f (x)的图象如图 1 (2) f (?3) ? ? (?3)3 ? 4 ? (?3) ? 4 ? 7, 3 1 3 1 f (4) ? ? 4 ? 4 ? 4 ? 4 ? 9 . 3 3 与极值点的函数值比较,得到该函数在区间[-3,4]
1 1 上的最大值是 9 ,最小值是 ?1 . 3 3

求可导函数y= f (x)极值的一般步骤: (1)求函数的 定义域 ; (2)求导数f′(x); (3)求方程 f′(x)=0的所有实根; (4)对每个实根进行检验,判断在每个根的左右侧, 导数f′(x)的符号变化情况:

如果f′(x)的符号由正变负,则f(x0)是 极大值 ;
如果f′(x)的符号由负变正,则f(x0)是 极小值 ;

如果f′(x)的符号不改变,则f(x0) 不是极值 .

【变式练习】

已知函数 f ? x ? ? x 3 ? ax 2 ? bx ? a 2 在 x ? 1处有极值10, 求 a , b的值 . 解: f ? ( x ) ? 3 x 2 ? 2 ax ? b

因为 f ( x )在 x ? 1处有极值10 ?a ? ?3, ? a ? 4, ? f ?(1) ? 0, 解得 ? 或? 所以 ? ? b ? 3 ?b ? ?11. ? f (1) ? 10,
经 检 验 : 当 a ? ? 3, b ? 3时 , f ? ( x ) ? 3( x ? 1) 2 ? 0, f ( x ) 无 极 值 导数为零的点

a ? 4, b ? ?11符合题意.

不一定是极值 点!

2 1.(2012·陕西高考)设函数 f(x)= +lnx,则( D ) x 1 1 A.x= 为 f(x)的极大值点 B.x= 为 f(x)的极小值点 2 2
C.x=2 为 f(x)的极大值点 D.x=2 为 f(x)的极小值点

2.函数f ( x)的定义域为开区间(a,b),函数图象如图, 则函数f ( x)在开区间(a,b)内存在极小值点
y
y?f ( x)

2

个.

O a x1

x2

x 3 x4

bx

3. 若f ( x) ? x 3 ? 3ax 2 ? 3(a ? 2) x ? 1既有极大值,又有极小值, 则a的取值范围是 ( - ? , - 1) ( 2, + ? ).

3 2 f x ? ax ? bx ? 2 x 在 x ? ? 2, x ? 1 处取得极 4.已知函数 ? ?

值,求函数 f ? x ? 的解析式
2 解: f ? ? x ? ? 3ax ? 2bx ? 2,

因为 f ? x ? 在 x ? ?2, x ? 1处取得极值,

所以f ?(?2) ? 0, f ?(1) ? 0,
?12a ? 4b ? 2 ? 0, 1 1 解得 a ? , b ? 所以 ? 3 2 ? 3a ? 2b ? 2 ? 0,
1 1 经检验,当 a ? , b ? 时,满足题意 . 3 2

1 3 1 2 所以 f ? x ? ? x ? x ? 2 x 3 2

1.函数极值的定义. 2.可导函数的极值与导数的关系: 函数极值点处的导数一定等于0; 导数等于0的点不一定是极值点. 3.求可导函数y= f (x)极值的一般步骤: (1)求定义域; (2)求导; (3)求f′(x)=0的根; (4)列表检验,确定极值.

卓越的人一大优点是:在不利与艰难的 遭遇里百折不挠。 ——贝多芬


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