高中数学选修2.4正态分布 (4)人教版ppt课件_图文

y x?? x 正态分布的概念 正态分布又称高斯(Gauss分布),是统计学中最 重要的分布,医学资料中有许多指标如身高、体重、红 细胞数、血红蛋白、收缩压、脉搏数等频数分布都呈正 态分布。 高尔顿钉板实验的 频率分布直方图 11 复习 频率 组距 球槽的编号 复习 样本容量增大时 频率分布直方图 频率 组距 总体密度曲线 球槽的编号 总体密度曲线 具有两头低、中间高、左右对称的基本特征 1. 正态曲线 这条曲线具有 “中间高,两头低、左右对称” 的特征,像这种类 型的曲线, 就是(或近似地是)以下函数的图像: ( x?? )2 2? 2 f ( x) ? 1 2? ? e ? , x ? (??,??) 式中的实数μ、σ(σ>0)是参数,我们称f( x)的图象称为正态分布 密度曲线,简称 正态曲线. 例1:给出下列两个正态总体的函数表达式,请找出其参数μ和 σ。 (1) f ( x) ? 1 e 2? x2 ? 2 , x ? (??,??) , x ? (??,??) (2) 1 f ( x) ? e 2 2? ( x ?1) 2 ? 8 练习、下列函数是正态密度函数的是( A. ) B f ( x) ? 1 e 2?? ( x ? ? )2 2? 2 , ? , ? (? ? 0)都是实数 B. 2? f ( x) ? e 2? x2 ? 2 C. 1 f ( x) ? e 2 2? ( x ?1) 2 ? 4 D. f ( x) ? 1 e 2? x2 2 思考:你能否求出小球落在(a, b]上的概率吗? P(a ? X ? b) ? ? ?? ,? ( x)dx a b 正态分布的定义: 如果对于任何实数 a<b,随机变量X满足: P(a ? X ? b) ? ? ?? ,? ( x)dx a b 则称为X 的分布为正态分布. 正态分布由参数μ、σ唯一确定,记作 N ( μ,σ2).其图象称为正态曲线. 若随机变量X服从正态分布,记作X~ N( μ,σ2) 若? ~ N (? , ? ), 则:E? ? ? , D? ? ? 2 2 在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布: 在生产中,在正常生产条件下各种产品的质量指标; 在测量中,测量结果; 在生物学中,同一群体的某一特征;……; 在气象中,某地每年七月份的平均气温、平均湿度 以及降雨量等,水文中的水位; 总之,正态分布广泛存在于自然界、生产及科学技术的 许多领域中。 正态分布在概率和统计中占有重要地位。 4、正态曲线的性质 y μ= -1 σ=0.5 y ? ? ?? ( x ) ? 1 2? ? e ? ( x ? ? )2 2? 2 , x ? ( ??, ?? ) y μ=1 μ=0 σ=1 σ=2 3 x -3 -2 -1 -3 -2 -1 0 1 2 x -3 -2 -1 0 1 2 0 1 2 3 4x (1)曲线在x轴的上方,与x轴不相交. (2)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称. (3)曲线在x=μ处达到峰值(最高点) (4)曲线与x轴之间的面积为1. (5)若 固定, 随 1 σ 2π 称为位置参数 (6)当μ一定时,曲线的形状由σ确定 .σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越 分散;σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中. ? 值的变化而沿x轴平移, 故 ? ? 方差相等、均数不等的正态分布图示 μ= -1 μ=0 μ= 1 若? 固定, 随 值的变化而 沿x轴平移, 故 称为位 置参数; ? σ=0.5 ? ?3 ?1 ?2 均数相等、方差不等的正态分布图示 μ=0 ?=0.5 ?=1 若 ? 固定, 大时 ? ,曲 线矮而胖; 小时, 曲线瘦而高, ? 故称 为形状参数。 ? ?=2 ? 正态曲线的函数表示式 ? ? ?? ( x ) ? (1)当 1 2? ? e ? ( x ? ? )2 2? 2 , x ? ( ?? , ?? ) y ?,函数值为最大. =x 时 (0, 1 2? ? ] ( x) (2)?? ,? 的值域为 x) (3) ?? ,? ( 的图象关于 ? =0 x ?. 对称 ? -3 -2 -1 0 1 ?=1 2 3 ? ( x ). (4)当 ∈x (-∞,?时 为增函数 ] ? ( x) . 当 x ∈ ( ? ,+∞时 为减函数 ) x 标准正态曲线 5、特殊区间的概率: 若X~N 2 ,则对于任何实数 a>0,概率 (?, ? ) P(? ? a ? ? ≤ ? ? a) ? ? ?a ? ? 的减少而变 为如图中的阴影部分的面积,对于固定的 和 而言,该面积随着 ? 越小, 落在区间 ? 大。这说明 的概率越大,即 X集中在 周围概率越大。 ( ? ? a, ? ? a] ? x=μ 特别地有 ? ? ? ? ,? ( x )dx ?a P( ? ? ? ? X ? ? ? ? ) ? 0.6826, P( ? ? 2? ? X ? ? ? 2? ) ? 0.9544, ?P +a (? ?-a ? 3? ? X ? ? ? 3? ) ? 0.9974. 区 间 取值概率 0.6826 0.9544 0.9974 (μ -σ ,μ +σ ] (μ -2σ ,μ +2σ ] (μ -3σ ,μ +3σ ] ?以外取值的概率只有 ? ? 2? , ? ? 2? ? 我们从上图看到,正态总体在 4.6 ?? ? 3? ,0.3 ? ?%。 3? ? %,在 以外取值的概率只有 当 a ? 3? 时正态总体的取值几乎总取值于区间 由于这些概率值很小(一般不超过 5 % )

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