高三数学一轮总复习第六章数列、推理与证明第一节数列的概念与简单表示法课时跟踪检测理

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课时跟踪检测(二十九)
?一抓基础,多练小题做到眼疾手快

数列的概念与简单表示法
2

1.(2016·徐州调研)设数列{an}的前 n 项和 Sn=n +n,则 a4 的值为________. 解析:a4=S4-S3=20-12=8. 答案:8 2 3 4 5 2.数列 1, , , , ,…的一个通项公式 an=________. 3 5 7 9 1 2 3 n 解析:由已知得,数列可写成 , , ,…,故通项为 . 1 3 5 2n-1 答案:

n 2n-1 n-1 an-1(n≥2),则 an=________. n

3.在数列{an}中,a1=1,an= 解析:an= =

an an-1 a3 a2 · ·…· · ·a1 an-1 an-2 a2 a1

n-1 n-2 2 1 1 · ·…· · ·1= . n n-1 3 2 n n
2

1 答案:

4.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=n -2n+2,则数列{an}的通项公式为________. 解析:当 n=1 时,a1=S1=1, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n-3, 由于 n=1 时 a1 的值不适合 n≥2 的解析式,故 an=?
? ? 1,n=1, ? 2n-3,n≥2,n∈N ?
*

? 1,n=1, ? ? 2n-3,n≥2,n∈N . ?
*

答案:an=?

5 . (2016· 泰 州 调 研 ) 数 列 {an} 定 义 如 下 : a1 = 1 , 当 n≥2 时 , an =

n ? ?1+a2,n为偶数, ? 1 ? ? a ,n为奇数,
n-1

1 若 an= ,则 n=________. 4

1 1 1 1 解析:因为 a1=1,所以 a2=1+a1=2,a3= = ,a4=1+a2=3,a5= = ,a6=1+ a2 2 a4 3

a3= ,a7= = ,a8=1+a4=4,a9= = ,所以 n=9. 2 a6 3 a8 4
答案:9

3

1

2

1

1

1

?二保高考,全练题型做到高考达标 1.设 an=-3n +15n-18,则数列{an}中的最大项的值是________. 5? 2 3 ? 解析:因为 an=-3? n- ? + ,且 n∈Z,所以当 n=2 或 n=3 时,an 取得最大值, 2? 4 ? 即最大值为 a2=a3=0. 答案:0 1 * 2. 数列{an}满足 an+an+1= (n∈N ), a2=2, Sn 是数列{an}的前 n 项和, 则 S21 为________. 2 1 解析:∵an+an+1= ,a2=2, 2 3 ? ?- ,n为奇数, 2 ∴an=? ? ? 2, n为偶数. 7 ? 3? ∴S21=11×?- ?+10×2= . 2 2 ? ? 7 答案: 2 3.(2015·无锡调研)在数列{an}中,已知 a1=2,a2=7,an+2 等于 anan+1(n∈N )的个位 数,则 a2 016=________. 解析:由题意得:a3=4,a4=8,a5=2,a6=6,a7=2,a8=2,a9=4,a10=8;所以数 列中的项从第 3 项开始呈周期性出现,周期为 6,故 a2 016=a335×6+6=a6=6. 答案:6 4.已知数列{an}对任意的 p,q∈N 满足 ap+q=ap+aq 且 a2=6,那么 a10=________. 解析:a4=a2+a2=12,a6=a4+a2=18,a10=a6+a4=30. 答案:30 5.若数列{an}满足:a1=19,an+1=an-3(n∈N ),则数列{an}的前 n 项和数值最大时,
* * * 2

n 的值为________.
解析:∵a1=19,an+1-an=-3, ∴数列{an}是以 19 为首项,-3 为公差的等差数列, ∴an=19+(n-1)×(-3)=22-3n. 设{an}的前 k 项和数值最大, 则有?
? ?

ak≥ 0,

?ak+1≤0 ?

k∈N*,∴?

? 22-3k≥0, ? ? 22-3?k+1?≤0, ?



19 22 ≤k≤ , 3 3
2

∵k∈N ,∴k=7.∴满足条件的 n 的值为 7. 答案:7 1 1 n-2 6.在数列-1,0, , ,…, 2 ,…中,0.08 是它的第____________项. 9 8 n 解析:令

*

n-2 2 =0.08,得 2n -25n+50=0, n2

即(2n-5)(n-10)=0. 5 解得 n=10 或 n= (舍去). 2 答案:10 7.(2016·南京四校联考)已知数列{an}满足:a4n-3=1,a4n-1=0,a2n=an,n∈N ,则
*

a2 013=________,a2 016=________.
解析:由题意可得 a2 013=a4×504-3=1,a2 016=a1 008=a504=a252=a126=a63=a4×16-1=0. 答案:1 0
*

8.在一个数列中,如果? n∈N ,都有 anan+1an+2=k(k 为常数),那么这个数列叫做等 积数列,k 叫做这个数列的公积.已知数列{an}是等积数列,且 a1=1,a2=2,公积为 8,则

a1+a2+a3+…+a12=________.
解析:依题意得数列{an}是周期为 3 的数列,且 a1=1,a2=2,a3=4,因此 a1+a2+a3 +…+a12=4(a1+a2+a3)=4×(1+2+4)=28. 答案:28 1 2 1 * 9.已知 Sn 为正项数列{an}的前 n 项和,且满足 Sn= an+ an(n∈N ). 2 2 (1)求 a1,a2,a3,a4 的值; (2)求数列{an}的通项公式. 1 2 1 * 解:(1)由 Sn= an+ an(n∈N ),可得 2 2

a1= a2 1+ a1,解得 a1=1; S2=a1+a2= a2 2+ a2,解得 a2=2;
同理,a3=3,a4=4. 1 2 1 (2)Sn= an+ an,① 2 2 1 2 1 当 n≥2 时,Sn-1= an-1+ an-1,② 2 2 ①-②得(an-an-1-1)(an+an-1)=0. 由于 an+an-1≠0,
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1 2

1 2

1 2

1 2

所以 an-an-1=1, 又由(1)知 a1=1, 故数列{an}是首项为 1,公差为 1 的等差数列,故 an=n. 10.已知数列{an}的通项公式是 an=n +kn+4. (1)若 k=-5,则数列中有多少项是负数?n 为何值时,an 有最小值?并求出最小值; (2)对于 n∈N ,都有 an+1>an,求实数 k 的取值范围. 解:(1)由 n -5n+4<0, 解得 1<n<4. 因为 n∈N ,所以 n=2,3, 所以数列中有两项是负数,即为 a2,a3.
* 2 * 2

? 5? 2 9 2 因为 an=n -5n+4=?n- ? - , 4 ? 2?
由二次函数性质,得当 n=2 或 n=3 时,an 有最小值,其最小值为 a2=a3=-2. (2)由 an+1>an 知该数列是一个递增数列, 又因为通项公式 an=n +kn+4, 可以看作是关
2

k 3 * 于 n 的二次函数,考虑到 n∈N ,所以- < ,即得 k>-3. 2 2
所以实数 k 的取值范围为(-3,+∞). ?三上台阶,自主选做志在冲刺名校 1.已知{an}满足 an+1=an+2n,且 a1=33,则 的最小值为________. 解析:由已知条件可知,当 n≥2 时,

an n

an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)
=33+2+4+…+2(n-1) =n -n+33,又 n=1 时,a1=33 满足此式.
2

an 33 所以 =n+ -1. n n an 33 令 f(n)= =n+ -1, n n
则 f(n)在[1,5]上为减函数, 在[6,+∞)上为增函数, 53 21 又 f(5)= ,f(6)= , 5 2

an 21 则 f(5)>f(6),故 f(n)= 的最小值为 . n 2
21 答案: 2

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1 2.若单调递增数列{an}满足 an+an+1+an+2=3n-6,且 a2= a1,则 a1 的取值范围是 2 ________. 1 3 解析:由 an+an+1+an+2=3n-6,a2= a1 得,a3=-3- a1,所以 a4=a1+3,由{an}是 2 2 3 1 12 3 单调递增数列知,a4>a3>a2>a1,即 a1+3>-3- a1> a1>a1,解得- <a1<- . 2 2 5 2 3? ? 12 答案:?- ,- ? 2? ? 5 3.(2016·扬州模拟)已知数列{an}中,a1=1,且 an+an+1=2 .求数列{an}的通项公式. 解:∵an+an+1=2 ,① ∴an+1+an+2=2
n+1 n n

,②
n

②-①,得 an+2-an=2 ,由 a1=1,a1+a2=2,得 a2=1. 当 n 为奇数时,

an=(an-an-2)+(an-2-an-4)+…+(a3-a1)+a1
=2
n-2

+2

n-4

1 1 n +…+2+1= ×2 + ; 3 3
n-2

当 n 为偶数时, an=(an-an-2)+(an-2-an-4)+…+(a4-a2)+a2=2 1 1 n = ×2 - . 3 3

+2

n-4

+…+2 +1

2

? ? 故 a =? ? ?
n

1 n 1 ×2 + ,n为奇数, 3 3 1 n 1 ×2 - ,n为偶数. 3 3

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