江苏省无锡一中2012-2013学年高二上学期期中考试数学试题(成志班)

无锡一中 2012-2013 学年高二上学期期中考试数学试题(成志班) 命题:倪乾峰 审核:冯一成 4 1 1 2 3 ? 参考公式: S球 ? 4? R , V球 ? ? R , V柱 ? Sh, V锥 ? Sh, V台 ? (S上 +S下 + S上 S下)h 3 3 3
一.填空题 1.若长方体三个面的面积分别是 2 , 3 , 6 ,则长方体的体积等于 ▲ .

2.三个球的半径之比是 1 : 2 : 3 ,则其中最大的一个球的体积与另两个球的体积之和的比 是 ▲ . 3.△ ABC 中,∠ ABC ? 90 , PA ⊥平面 ABC ,则图中直角三角
?

形的个数为 ▲ . 4. 如果命题 p 是命题 q 成立的必要条件,那么命题“ ? p ”是命题 “ ? q ”成立的 ▲ 条件. 5. 设有直线 m, n 和平面 ? 、 ? ,下列四个命题中,正确的序号是 ▲ (1) m∥ ? ,n∥ ? ,则 m∥n 若 .

(2) m ? ? ,n ? ? ,m∥ ? ,n∥ ? ,则 ? ∥ ? 若

(3)若 ? ? ? ,m ? ? ,则 m ? ? (4)若 ? ? ? ,m ? ? ,m ? ? ,则 m∥ ? 6.在正三棱锥 S ? ABC 中,异面直线 AS 与 BC 所成角的大小为 ▲ .

7.已知圆心在 x 轴上,半径为 2 的圆 O 位于 y 轴左侧,且与直线 x ? y ? 0 相切,则圆

O 的方程是 ▲



8. 已知正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, E 是 BC 的中点, D 是 AA1 上的一个动点,且

AD ? m ,若 AE //平面 DB1C , 则 m 的值等于 ▲ DA1



9.已知集合 M ? {( x, y) y ? 9 ? x 2 }, N ? {( x, y) y ? x ? m} 且 M∩N≠ ? , 则 m 的取值范围为 ▲ . 10.如图, S ? ABC 是三条棱两两互相垂直的三棱锥, O 为底面 ABC 内 一点,若 ?OSA ? ? , ?OSB ? ? , ?OSC ? ? , 那么tan? tan? tan? C 的取值范围为 ▲ 11. m ? 当 ▲ .
B

S

A O

时, 原点 O 到直线 l:(2m ? 1) x ? (m ? 1) y ? 7m ? 4 ? 0 的距离达到最大.

12.有一个各棱长均为 a 的正四棱锥形礼品(如图所示) ,现用一

张正方形包装纸将其完全包住,要求包装时不能剪裁,但可以折叠,则包装纸的最小 边长应为 ▲ . 13.若⊙ O1 : x2 ? y 2 ? 5 与⊙ O2 : ( x ? m)2 ? y 2 ? 20(m ? R) 相交于 A、B 两点,且两圆 在点 A 处的切线互相垂直,则线段 AB 的长度是 ▲ .

14. 已知圆 O : x 2 ? y 2 ? 4 , A, B 为圆 O 的任意一条直径, P (1,3), Q(?1,0) ,则当

PA ? AB ? BQ 最小时,直径 AB 所在的直线方程为 ▲
二.解答题



x 2 15.设命题 p :关于 x 的不等式 2 ? a 的解集为 ? ;命题 q :函数 y ? lg(ax ? x ? a) 的 定义域是 R .若“ p ? q ”为真, p ? q ”为假,求 a 的取值范围. “

16.如图所示,在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 、 F 分别为 DD1 、 DB 的 中点. (1)求证: EF //平面 ABC1D1 ; (2)求证: EF ? B1C ; (3)求三棱锥 VB1 ?EFC 的体积.

17. 树林的边界是直线 l (如图所示) ,一只兔子在河边喝水时 发 现 了 一 只 狼 , 兔 子 和 狼 分 别 位 于 l 的 垂 线 AC 上 的 点 A 点 B 点 处 , AB ? BC ? a(a为 正 常 数 ) ,若兔子沿 AD 方向以速度 2 ? 向树林逃跑,同时狼沿线段

BM ( M ? AD )方向以速度 ? 进行追击( ? 为正常数) ,若狼到达 M 处的时间不多于 兔子到达 M 处的时间,狼就会吃掉兔子. (1) 求兔子被狼吃掉的点的区域面积 S (a ) ; (2)若兔子要想不被狼吃掉,求 ? (? ? ?DAC) 的取值范围.
河流

18.已知⊙ O : x ? y ? 1和定点 A(2,1) ,由⊙ O 外一点 P ( a, b) 向⊙ O 引切线 PQ ,切
2 2

点为 Q ,且满足 PQ ? PA . (1) 求实数 a、 b 间满足的等量关系; (2) 求线段 PQ 长的最小值; (3) 若以 P 为圆心所作的⊙ P 与⊙ O 有公共点,试求半径取最小值时的⊙ P 方程.

19.如图,在多面体 ABCDE 中,AE⊥ ABC,BD∥ AE,且 AC=AB=BC=BD=2,AE=1, F 在 CD 上(不含 C, D 两点) (1)求多面体 ABCDE 的体积; (2)若 F 为 CD 中点,求证:EF⊥ BCD; 面 (3 ) 当

DF 的值为多少时,能使 AC ∥ 平面 EFB,并给出证明. FC

2 2 20. 已知圆 O : x ? y ? 4 ,动点 P(t ,0)(?2 ? t ? 2) ,曲线 C : y ? 3 | x ? t | . 曲线 C 与

圆 O 相交于两个不同的点 M , N (1) 若 t ? 1 ,求线段 MN 的中点 P 的坐标; (2) 求证:线段 MN 的长度为定值; (3) 若 t ?

4 ,m, n, s , p 均为正整数.试问:曲线 C 上是否存在两点 A(m, n), B( s, p) ,使 3

得圆 O 上任意一点到点 A 的距离与到点 B 的距离之比为定值 k (k ? 1) ?若存在请求 出所有的点 A, B ;若不存在请说明理由.

无锡市第一中学 20112-2013 学年第一学期期中试卷答案
一填空题 1. 2. 3:1 3. 4 8. 1 4. 充分 9. 5.(4) 6.

6

90?

7. ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 2

[?3,3 2 ]

10. [2 2 ,??)

11. -2 二解答题

12.

2? 6 a 2

13. 4

14.

y ? 3x

15. p 真: a ? 0

----------------------------------------------5 分 ----------------------------------------------5 分

q 真: a ? 1 2

p, q 一真一假

?1 ? a ? ?? ?,0? ? ? ,?? ? ----------------------------------------------4 分 ?2 ?

16. 证明: (1)连结 BD1 ,在 ?DD1 B 中, E 、 F 分别为 D1D , DB 的中点,则

? ? D1 B ? 平面ABC1 D1 ? ? EF // 平面ABC1D1 EF ? 平面ABC1 D1 ? ? EF // D1 B

D1 A1 E B1

C1

D F A B

C

--------------------------------------------------------------------------------------------------------4 分

(2)

? ? ? B C ? 平面ABC1D1 ? ?? 1 ?? AB, B1C ? 平面ABC1 D1 ? BD1 ? 平面ABC1D1 ? ? AB ? BC1 ? B ?

B1C ? AB B1C ? BC1

B1C ? BD1 ? ? ? EF ? B1C EF // BD1 ? ------------------------------------------------------------4 分
(3)?CF ? 平面BDD1B1

?CF ? 平面EFB1
? EF ?



C F? B F 2 ?

1 BD1 ? 3 , B1F ? BF 2 ? BB12 ? ( 2)2 ? 22 ? 6 2

B1 E ? B1 D12 ? D1E 2 ? 12 ? (2 2) 2 ? 3
∴ EF 2 ? B1F 2 ? B1E 2 即 ?EFB1 ? 90?

1 1 1 ?VB1 ? EFC ? VC ? B1EF ? ? S ?B1EF ? CF = ? ? EF ? B1 F ? CF 3 3 2
=

1 1 ? ? 3 ? 6 ? 2 ? 1 ---------------------------------------------------------6 分 3 2

17.如图建立坐标系 xcy , A(0,2a), B(0, a), M ( x, y)

(1)由

BM

?

?

2a 2a 4a 2 AM ,得 x 2 ? ( y ? ) 2 ? .所以 M 在以 (0, ) 为圆心,半径 3 3 9 2?



2a 4a 2 ? . --------------------------8 分 的圆及其内部.所以 s(a) ? 3 9

(2)设 l AD : y ? kx ? 2a(k ? 0) ,由

| 2a ?

2a | 3 ? 2a ? k ? (? 3 ,0) ? (0, 3 ) 3 1? k2

? ? 所以 ? ? ( , ) .---------------------------------------------6 分 6 2
18.解: (1)连 OP, ? Q 为切点, PQ ? OQ ,由勾股定理有 PQ ? OP ? OQ
2 2 2

又由已知 PQ ? PA ,故 PQ ? PA .即: (a2 ? b2 ) ?12 ? (a ? 2)2 ? (b ?1)2 .
2 2

化简得实数 a、b 间满足的等量关系为: 2a ? b ? 3 ? 0 . (2)由 2a ? b ? 3 ? 0 ,得 b ? ?2a ? 3 .

-----------------------6 分

6 4 PQ ? a 2 ? b 2 ? 1 ? a 2 ? (?2a ? 3) 2 ? 1 ? 5a2 ?12a ? 8 = 5(a ? )2 ? . 5 5
故当 a ?

2 2 6 时, PQ min ? 5. 5. 即线段 PQ 长的最小值为 5 5 5

-----------------4 分

(3)设圆 P 的半径为 R ,? 圆 P 与圆 O 有公共点,圆 O 的半径为 1,

? R ?1 ? OP ? R ?1. 即 R ? OP ? 1 且 R ? OP ?1 .
而 OP ? a 2 ? b2 ? a 2 ? (?2a ? 3)2 ? 5(a ? )2 ? 故当 a ?

6 5

9 , 5

3 6 时, OP ? 3 5. 此时, b ? ?2a ? 3 ? , Rmin ? 3 5 ? 1 . min 5 5 5 5
-------------6 分

得半径取最小值时圆 P 的方程为 ( x ? 6 ) 2 ? ( y ? 3 ) 2 ? ( 3 5 ? 1) 2 . 5 5 5

解法 2:圆 P 与圆 O 有公共点,圆 P 半径最小时为与圆 O 外切(取小者)的情形,而这些 半径的最小值为圆心 O 到直线 l 的距离减去 1,圆心 P 为过原 点与 l 垂直的直线 l’ 与 l 的交点 P0.
2

y

r =

3 2
2

3 5 -1 = -1. 2 5 + 1
O

A
P0
2

又 l’:x-2y = 0,

x P
l

6 ? x? , ? x ? 2 y ? 0, ,得 ? ? 5 .即 P0( 6 ,3 ). 解方程组 ? ? 5 5 ?2 x ? y ? 3 ? 0 ?y?3 ? 5 ?
∴所求圆方程为 ( x ? 6 ) 2 ? ( y ? 3 ) 2 ? ( 3 5 ? 1) 2 . 5 5 5

Q

19. (1)过 C 作 CH 垂直于 AB 于 H, CH ? 平面ABDE (证略)
V ? 1 S ABDE CH ? 3 3

----------------------------------------------6
D

分 (2)取 BC 中点 M 连接 AM, EF // AM (证略)
? ? ? ? EF // AM ? ? ? ? EF ? BD ? ? EF ? 平面BCD AM ? BD(证略) ? ? BC ? BD ? B, BC, BD ? 平面BCD? ? ? ? EF // AM ? ? ? EF ? BC AM ? BC?
E A C F

B

-------------------------------------------------------------4 分 (3)延长 BA 交 DE 延长线于 N,连接 BE,过 A 作 AP//BE,交 DE 于 P.当
DF : FC ? 2 : 1 时, AC // 平面EFB

DE 2 DF ? ? ,所以 EP 1 FC

? ? ? ? ? 平面PAC// 平面EFB? ? 同理可证 AP // 平面EFB ?? ? ? AC // 平面EFB AC ? 平面PAC ? ? PA ? PC ? C , PA, PC ? 平面PAC? ? ? ? ? ----------------------------------------------------------------6 分 PC // EF ? ? PC ? EFB? ? PC // 平面EFB EF ? EFB? ?
20.(1)设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 )(x1 ? 1 ? x2 ), P( x0 , y0 )

x2 ? y2 ? 4 ? 2 ? ? 10x ? 18x ? 5 ? 0 所以 y ? 3 | x ? 1 |?
2 x1 ? x2 y1 ? y 2 3( x2 ? x1 ) 3 ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 9 31 x0 ? ? , y0 ? = ? ? 2 10 2 2 2 5

所以 p (

9 31 , ) -------------------------------------------------6 分 10 5

(2) MN 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 8 ? 2x1 x2 ? 2 y1 y2

x2 ? y2 ? 4 ? 9t 9t 2 ? 4 ? 10x 2 ? 18tx ? 9t 2 ? 4 ? 0 x1 ? x 2 ? , x1 x 2 ? ? 5 10 y ? 3 | x ? t |?
y1 y2 ? 9(t ? x1 )(x2 ? t ) ? 9[?t 2 ? t ( x1 ? x2 ) ? x1 x2 ] ? ?
9t 2 18 ? 10 5

MN 2 ?

8 2 10 , MN ? 为定值.------------------------------------------------------------------4 分 5 5

解法二:转化为证明 MN 中点轨迹在以原点为圆心的定圆上. 即证 PO 为定值.
2 2 (3)设 p( x0 , y0 ), x0 ? y0 ? 4

( x 0 ? m) 2 ? ( y 0 ? n) 2 ( x0 ? s) 2 ? ( y 0 ? t ) 2

? k (k ? 1) ?

4 ? m 2 ? n 2 ? 2m x0 ? 2ny0 ? k 2 [4 ? s 2 ? p 2 ? 2 sx 0 ? 2 py0 ]

?2m ? k 2 2s ? 4 消去 m, n 得 s 2 ? p 2 ? 2 ? 4 ? ?2n ? k 2 2 p k ?4 ? m 2 ? n 2 ? k 2 (4 ? s 2 ? p 2 ) ?
所以 s ? p ? 1 , k ? 2 ,此时 m ? n ? 2 ,又 A(2,2), B(1,1) 在曲线 C 上 所以仅有 A(2,2), B(1,1) 符合.----------------------------------------6 分


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