ks5288com:甘肃省嘉峪关一中2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析

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2015-2016 学年甘肃省嘉峪关一中高二(上)期中数学试卷(文科)

一、选择题 1.等比数列{an}中,首项 a1=8,公比 A. B. C. D. ,那么{an}前 5 项和 S5 的值是( )

2.已知等比数列{an}满足:a2=2,a5= ,则公比 q 为( A.﹣ B. C.﹣2 D.2

)

3.若 a>b,则下列命题成立的是( A.ac>bc B. C.

) D.ac2≥bc2

4.已知正数 x,y 满足 x+2y=1,则 A.6 B.5 C. D.

的最小值为(

)

5.已知整数的数对列如下: (1,1) , (1,2) , (2,1) , (1,3) , (2,2) , (3,1) , (1,4) , (2,3) , (3,2) , (4,1) , (1,5) , (2,4) ,?则第 60 个数对是( A. (3,8) B. (4,7) C. (4,8) D. (5,7) )

6.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sn=30,S2n=100,则 S3n=( A.130 B.170 C.210 D.260

)

7.下列四个结论: ①若 x>0,则 x>sinx 恒成立; ②命题“若 x﹣sinx=0,则 x=0”的逆命题为“若 x≠0,则 x﹣sinx≠0”; ③P 命题的否命题和 P 命题的逆命题同真同假④若|C|>0 则 C>0 其中正确结论的个数是( )

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4

8. 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若 a1=﹣11, a4+a6=﹣6, 则当 Sn 取最小值时, n 等于( A.6 B.7 C.8 D.9

)

9.设 a>0,b>0 若 A. B. C.4

是 3a 与 3b 的等比中项,则 D.

的最小值为(

)

10.若 a>b>0,c<d<0,则一定有( A. > B. < C. > D. <

)

11.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a4=18﹣a5,则 S8=( A.18 B.36 C.54 D.72

)

12.已知数列{an}中,a1=1,an=3an﹣1+4(n∈N 且 n≥2) , ,则数列{an}通项公式 an 为( A.3
n﹣1

*

)

B.3 ﹣8

n+1

C.3 ﹣2 D.3

n

n

二、填空题 13.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2(n∈N*) ,则 a8 的值是__________.

14.已知等比数列{an}的公比 q 为正数,且

,则 q=__________.

15.已知实数 x,y 满足约束条件



的最大值等于

__________.

16.不等式 __________.

>0 的解集是

三、解答题 17.等比数列{an}中,S2=7,S6=91,求 S4.

18.若不等式 x ﹣ax﹣b<0 的解集为是(2,3) , (1)求 a,b 的值 (2)求不等式 bx ﹣ax﹣1>0 的解集.
2

2

19.已知公比为 q 的等比数列{an}(n∈N*)中,a2=2,前三项的和为 7. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若 0<q<1,设数列{bn}满足 bn=a1?a2?an,n∈N ,求使 0<bn<1 的 n 的最小值.
*

20.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S2,S4,S3 成等差数列. (1)求数列{an}的公比 q; (2)若 a1﹣a3=3,问 是数列{an}的前多少项和.

21.解关于 x 的不等式 x2﹣(2+a)x+2a<0.

22.已知数列{an}满足 a1=2,an+1=4an+2n+1(n∈N*) . (1)令 bn= +1,求证:数列{bn}为等比数列;

(2)求数列{an}的通项公式; (3)求满足 an≥240 的最小正整数 n.

2015-2016 学年甘肃省嘉峪关一中高二(上)期中数学试卷(文科)

一、选择题 1.等比数列{an}中,首项 a1=8,公比 A. B. C. D. ,那么{an}前 5 项和 S5 的值是( )

【考点】等比数列的前 n 项和. 【专题】计算题;等差数列与等比数列. 【分析】等比数列{an}中,由首项 a1=8,公比 5 项和 S5 的值. 【解答】解:等比数列{an}中, ∵首项 a1=8,公比 , ,利用等比数列的求和公式能求出{an}前

∴S5=

=

=



故选 A. 【点评】本题考查等比数列的前 n 项和公式的应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解 答.

2.已知等比数列{an}满足:a2=2,a5= ,则公比 q 为( A.﹣ B. C.﹣2 D.2

)

【考点】等比数列的通项公式. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】利用等比数列通项公式求解. 【解答】解:∵等比数列{an}满足:a2=2,a5= , ∴2q3= ,

解得 q= . 故选:B. 【点评】本题考查等比数列的公比的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等比数列的 通项公式的求法.

3.若 a>b,则下列命题成立的是( A.ac>bc B. C.

) D.ac2≥bc2

【考点】不等式的基本性质. 【专题】计算题. 【分析】通过给变量取特殊值,举反例可得 A、B、C 都不正确,对于 a>b,由于 c2≥0,故 有 ac ≥bc ,故 D 成立. 【解答】解:∵a>b,故当 c=0 时,ac=bc=0,故 A 不成立. 当 b=0 时,显然 B、C 不成立. 对于 a>b,由于 c ≥0,故有 ac ≥bc ,故 D 成立. 故选 D. 【点评】本题主要考查不等式与不等关系,不等式性质的应用,通过给变量取特殊值,举反 例来说明某个命题不正确,是一种简单有效的方法,属于基础题.
2 2 2 2 2

4.已知正数 x,y 满足 x+2y=1,则 A.6 B.5 C. D.

的最小值为(

)

【考点】基本不等式. 【专题】计算题. 【分析】将原式子变形为 = + =1+ = + +2,使用基本不等式,求得最小值. + =1+ + +2

【解答】解:∵正数 x,y 满足 x+2y=1,∴ ≥3+2 故选 C. =3+2 ,当且仅当

时,等号成立,

【点评】本题考查基本不等式的应用,变形是解题的关键和难点.

5.已知整数的数对列如下: (1,1) , (1,2) , (2,1) , (1,3) , (2,2) , (3,1) , (1,4) , (2,3) , (3,2) , (4,1) , (1,5) , (2,4) ,?则第 60 个数对是( A. (3,8) B. (4,7) C. (4,8) D. (5,7) 【考点】归纳推理. 【专题】计算题;规律型;推理和证明. 【分析】根据括号内的两个数的和的变化情况找出规律,然后找出第 60 对数的两个数的和 的值以及是这个和值的第几组,然后写出即可. 【解答】解: (1,1) ,两数的和为 2,共 1 个, (1,2) , (2,1) ,两数的和为 3,共 2 个, (1,3) , (2,2) , (3,1) ,两数的和为 4,共 3 个, (1,4) , (2,3) , (3,2) , (4,1) ,两数的和为 5,共 4 个 ? ∵1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55, ∴第 60 个数对在第 11 组之中的第 5 个数,从而两数之和为 12,应为(5,7) . 故选 D. 【点评】本题是对数字变化规律的考查,规律比较隐蔽,观察出括号内的两个数的和的变化 情况是解题的关键. )

6.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sn=30,S2n=100,则 S3n=( A.130 B.170 C.210 D.260 【考点】等差数列的性质. 【专题】计算题.

)

【分析】由等差数列性质可得:sn,s2n﹣sn,s3n﹣s2n?为等差数列,进而结合题中的条件可 得答案. 【解答】解:因为数列{an}为等差数列, 所以由等差数列性质可得:sn,s2n﹣sn,s3n﹣s2n?为等差数列. 即 30,100﹣30,S3n﹣100 是等差数列, ∴2×70=30+S3n﹣100,解得 S3n=210, 故选 C.

【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的性质,利用了等差数列每连续的 n 项 的和也成等差数列,属于中档题.

7.下列四个结论: ①若 x>0,则 x>sinx 恒成立; ②命题“若 x﹣sinx=0,则 x=0”的逆命题为“若 x≠0,则 x﹣sinx≠0”; ③P 命题的否命题和 P 命题的逆命题同真同假④若|C|>0 则 C>0 其中正确结论的个数是( )

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】综合题;转化思想;综合法;简易逻辑. 【分析】令 f(x)=x﹣sinx,利用导数分析其单调性,可判断①;写出原命题的逆命题, 可判断②;P 命题的否命题和 P 命题的逆命题是等价命题,同真同假,可判断③;若|C|>0 则 C>0 或 C<0,可判断④. 【解答】解:令 f(x)=x﹣sinx,则 f′(x)=1﹣cosx≥0 恒成立, 故 f(x)=x﹣sinx 在 R 上为增函数,故 x>0 时,f(x)>f(0)=0, 即 x>sinx 恒成立,故①正确; 命题“若 x﹣sinx=0,则 x=0”的逆命题为“若 x=0,则 x﹣sinx=0”,故②错误; P 命题的否命题和 P 命题的逆命题是等价命题,同真同假,正确; ④若|C|>0 则 C>0 或 C<0,不正确. 故选:B. 【点评】 本题考查函数的单调性的运用, 考查逆命题, 考查四种命题, 属于基础题和易错题.

8. 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若 a1=﹣11, a4+a6=﹣6, 则当 Sn 取最小值时, n 等于( A.6 B.7 C.8 D.9

)

【考点】等差数列的前 n 项和. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】条件已提供了首项,故用“a1,d”法,再转化为关于 n 的二次函数解得. 【解答】解:设该数列的公差为 d,则 a4+a6=2a1+8d=2×(﹣11)+8d=﹣6,解得 d=2,

所以 值. 故选 A.

,所以当 n=6 时,Sn 取最小

【点评】 本题考查等差数列的通项公式以及前 n 项和公式的应用, 考查二次函数最值的求法 及计算能力.

9.设 a>0,b>0 若 A. B. C.4

是 3a 与 3b 的等比中项,则 D.

的最小值为(

)

【考点】等比数列的通项公式;基本不等式. 【专题】转化思想;等差数列与等比数列;不等式. 【分析】利用等比数列的性质可得 a+b=5.再利用基本不等式的性质即可得出. 【解答】解:∵a>0,b>0, ∴ 化为 a+b=5. 则 = = = ,当且仅当 a=b= 时 =3 ,
5

是 3a 与 3b 的等比中项,

取等号. 故选:B. 【点评】本题考查了等比数列的性质、基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属 于中档题.

10.若 a>b>0,c<d<0,则一定有( A. > B. < C. > D. < 【考点】不等关系与不等式. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】利用特例法,判断选项即可.

)

【解答】解:不妨令 a=3,b=1,c=﹣3,d=﹣1, 则 ,

∴C、D 不正确; =﹣3, =﹣ ∴A 不正确,B 正确.

解法二: ∵c<d<0, ∴﹣c>﹣d>0, ∵a>b>0, ∴﹣ac>﹣bd, ∴ ∴ . ,

故选:B. 【点评】本题考查不等式比较大小,特值法有效,带数计算正确即可.

11.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a4=18﹣a5,则 S8=( A.18 B.36 C.54 D.72

)

【考点】等差数列的前 n 项和. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】由等差数列的性质可得 a1+a8=a4+a5=18,代入求和公式可得. 【解答】解:由题意可得 a4+a5=18, 由等差数列的性质可得 a1+a8=a4+a5=18, ∴S8= 故选:D 【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式,属基础题. = =72

12.已知数列{an}中,a1=1,an=3an﹣1+4(n∈N 且 n≥2) , ,则数列{an}通项公式 an 为( A.3n﹣1 B.3n+1﹣8 C.3n﹣2 D.3n

*

)

【考点】数列递推式.

【专题】计算题. 【分析】在 an=3an﹣1+4 两边同时加上 2,整理判断出数列{ an+2}是等比数列,求出{ an+2} 的通项后,再求 an. 【解答】解:在 an=3an﹣1+4 两边同时加上 2,得 an+2=3an﹣1+6=3(an﹣1+2) , 根据等比数列的定义,数列{ an+2}是等比数列, 且公比为 3.以 a1+2=3 为首项. 等比数列{ an+2}的通项 an+2=3?3 n﹣1=3 n, 移向得 an=3n﹣2. 故选 C. 【点评】本题考查等差数列、等比数列的判定,数列通项求解,考查变形构造,转化、计算 能力.形如:an+1=pan+q 递推数列,这种类型可转化为 an+1+m=4(an+m)构造等比数列求解.

二、填空题 13.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2(n∈N*) ,则 a8 的值是 15. 【考点】等差数列的性质. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】利用 a8=S8﹣S7,可得结论. 【解答】解:∵数列{an}的前 n 项和 ∴a8=S8﹣S7=64﹣49=15. 故答案为:15. 【点评】本题考查数列的通项与求和,考查学生的计算能力,属于基础题. ,

14.已知等比数列{an}的公比 q 为正数,且 【考点】等比数列的通项公式. 【专题】等差数列与等比数列.

,则 q=



【分析】 设出等比数列的首项,由等比数列的通项公式写出 a3,a9,a5, 代入 可直接求得 q 的值. 【解答】解:设等比数列的首项为 a1,



由 即

,得: , .



∵a1≠0,q>0,∴q= 故答案为 .

【点评】本题考查了等比数列的通项公式,解答时注意等比数列中不含有为 0 的项,是基础 的计算题

15.已知实数 x,y 满足约束条件



的最大值等于 8.

【考点】简单线性规划. 【专题】数形结合. 【分析】先根据约束条件画出可行域,欲求 的最大值,即要求 z1=x+y﹣2

的最小值,再利用几何意义求最值,分析可得 z1=x+y﹣2 表示直线在 y 轴上的截距,只需求 出可行域直线在 y 轴上的截距最小值即可. 【解答】解:作图 易知可行域为一个三角形, 验证知在点 A(﹣2,1)时, z1=x+y﹣2 取得最小值﹣3, ∴z 最大是 8, 故答案为:8.

【点评】本题考查线性规划问题,难度较小.目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题, 这类问题一般要分三步:画出可行域、求出关键点、定出最优解.

16.不等式

>0 的解集是

{x|﹣1<x< ,x∈R}. 【考点】其他不等式的解法. 【专题】计算题;转化思想. 【分析】不等式 >0 说明:1﹣2x 和 x+1 是同号的,可等价于(1﹣2x) (x+1)>0,

然后解二次不等式即可. 【解答】解:不等式 >0 等价于(1﹣2x) (x+1)>0,不等式对应方程(1﹣2x) (x+1)

=0 的两个根是 x=﹣1 和 x= . 由于方程对应的不等式是开口向下的抛物线,所以 故答案为:{x|﹣1<x< ,x∈R} 【点评】本题考查分式不等式的解法,考查转化思想,计算能力,是基础题. >0 的解集为{x|﹣1<x< }

三、解答题 17.等比数列{an}中,S2=7,S6=91,求 S4. 【考点】等比数列的前 n 项和;等比数列的性质. 【专题】计算题.

【分析】由等比数列的性质,知

,从而求出 q2=3,再用等比数列的求

和公式进行运算就行.

【解答】解:∵S2=7,S6=91,易知 q≠1,

∴由②



∴将①代入③整理得 q4+q2﹣12=0,即(q2﹣3) (q2+4)=0 ∴q2=3,





【点评】本题考查数列的性质,解题时要根据等比数列的性质注意公式的灵活运用.

18.若不等式 x ﹣ax﹣b<0 的解集为是(2,3) , (1)求 a,b 的值 (2)求不等式 bx2﹣ax﹣1>0 的解集. 【考点】一元二次不等式的解法. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】 (1)根据韦达定理即可求出 a,b 的值; (2)由(1)的结论,代入,然后解不等式即可. 【解答】解: (1)由已知可知不等式 x ﹣ax﹣b<0 的解集是{x|2<x<3}, 所以 2 和 3 是方程 x ﹣ax﹣b=0 的两个根, 由韦达定理得 解得 ;
2 2 2 2

2



(2)不等式 bx ﹣ax﹣1>0 即为﹣6x ﹣5x﹣1>0, 不等式﹣6x ﹣5x﹣1>0 可化为 6x +5x+1<0, ∴(2x+1) (3x+1)<0 解得 , ,
2 2

所以所求不等式的解集是

【点评】本题考查了解一元二次不等式的方法,属于基础题.

19.已知公比为 q 的等比数列{an}(n∈N*)中,a2=2,前三项的和为 7. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若 0<q<1,设数列{bn}满足 bn=a1?a2?an,n∈N ,求使 0<bn<1 的 n 的最小值. 【考点】等比数列的性质. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】 (Ⅰ)由已知可得 a1 和 q 的方程组,解方程组代入通项公式可得;
*

(Ⅱ)由题意易得 an=( )n﹣3,可得 bn= 等式可得. 【解答】解: (Ⅰ)由已知得 ,

,由题意可得 n 的不等式,解不

解得 a1=1 且 q=2,或 a1=4 且 q= , ∴数列{an}的通项公式为 an=2n﹣1 或 an=( )n﹣3; (Ⅱ)∵0<q<1,∴an=( )
n﹣3



∴bn=a1?a2??an=( )﹣2﹣1+0+?+n﹣3=



由 0<bn<1,即 0<

<1,

>0,

解得 n>5,∴使 0<bn<1 的 n 的最小值为 6 【点评】本题考查等比数列的性质,涉及等比数列的通项公式和求和公式,属中档题.

20.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S2,S4,S3 成等差数列. (1)求数列{an}的公比 q; (2)若 a1﹣a3=3,问 【考点】数列的求和. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】 (1)由题意知 2S4=S2+S3,当 q=1 时,8a1≠2a1+3a1,舍去.当 q≠1 时, ,由此能求出数列{an}的公比. 是数列{an}的前多少项和.

(2)由 a1﹣a3=3,解得 a1=4,所以 Sn= 6 项和. 【解答】解: (1)∵S2,S4,S3 成等差数列, ∴2S4=S2+S3, 当 q=1 时,8a1≠2a1+3a1,舍去.

,由此能求出

是数列{an}的前

当 q≠1 时,



整理,得 2q2﹣q﹣1=0,解得 q=1(舍) ,或 q=﹣ , ∴数列{an}的公比 q=﹣ . (2)∵a1﹣a3=3,∴ =3,解得 a1=4,

∴Sn=

=



∵ ∴

,解得 n=6, 是数列{an}的前 6 项和.

【点评】本题考查等比数列的公比的求法,考查一个数是等比数列的前几项和的判断,是中 档题,解题时要认真审题,注意等比数列的性质的灵活运用.

21.解关于 x 的不等式 x ﹣(2+a)x+2a<0. 【考点】一元二次不等式的解法. 【专题】分类讨论;不等式的解法及应用. 【分析】把不等式化为(x﹣2) (x﹣a)<0,讨论 a 的取值范围,求出不等式的解集即可. 【解答】解:不等式 x ﹣(2+a)x+2a<0 可化为 (x﹣2) (x﹣a)<0, 所以,当 a=2 时,不等式为(x﹣2)2<0,解集为?; 当 a>2 时,不等式的解集为{x|2<x<a}, 当 a<2 时,不等式的解集为{x|a<x<2}. 【点评】 本题考查了利用分类讨论思想解含有字母系数的不等式的解法与应用问题, 是基础 题目.
2

2

22.已知数列{an}满足 a1=2,an+1=4an+2n+1(n∈N*) . (1)令 bn= +1,求证:数列{bn}为等比数列;

(2)求数列{an}的通项公式; (3)求满足 an≥240 的最小正整数 n. 【考点】数列递推式;等比关系的确定. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】 (1)由 an+1=4an+2n+1,bn= 公比为 2 的等比数列, (2)由(1)得:bn=2n,结合 bn= +1,可得数列{an}的通项公式; +1,可得 bn+1=2bn,结合 a1=2,可得数列{bn}是首项为 2,

(3) 令 t=2n,则 an≥240 可化为:t2﹣t≥240, 先解二次不等式, 再解指数不等式可得答案. 【解答】证明: (1)∵an+1=4an+2n+1,bn= +1,

∴bn+1= 又∵a1=2, ∴b1=2,

+1=

=

=2(

+1)=2bn,

∴数列{bn}是首项为 2,公比为 2 的等比数列, (2)由(1)得:bn=2 , 即 +1=2 ,
n n

∴an=4n﹣2n, (3)令 t=2 ,则 an≥240 可化为: t2﹣t≥240, 解得:t≥16, 即 2n≥16,n≥4, 故满足 an≥240 的最小正整数 n=4 【点评】本题考查的知识点是数列的递推公式,数列的通项公式,等比数列的证明,解指数 不等式,二次不等式,是数列与不等式的综合应用,难度中档.
n


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