2019年最新-【经典线代课件】线性代数课件-文档资料-精选文档_图文

例3 1维向量R 的 3,是 全一 体个向 . 量空
因为任意 3维两 向个 量之和 3维仍 向,然 数 量是
?乘3维向量仍 3维然 向是 量,它R们 3. 都属
类似地 n维, 向量的 Rn, 全也 体是一个 间.

例2 判别下列集合是否为向量空间.
? ? V 1 ? x ? ? 0 , x 2 , ? , x n ? T x 2 , ? , x n ? R
解 V1是向量空间.
因为对V1于 的任意两个元素
? ? ? ? 0 , a 2 , ? , a n ? T ,? ? 0 , b 2 , ? , b n ? T ?V1 ,
?? 有 ? ? ? 0 , a 2 ? b 2 , ? , a n ? b n ? T ? V 1
?? ? ? ? ? 0 ,a 2 ,? ,a n ? T ? V 1 .

例3 判别下列集合是否为向量空间.
? ? V 2 ? x ? ? 1 , x 2 , ? , x n ? T x 2 , ? , x n ? R
解 V2不是向量空间.
? 因? ? 为 1 ,a 2 ,? ,a n ? 若 T ? V 2 ,
? 则 2? ?2 ,2 a 2 ,? ,2 a n ? T ? V 2 .

例设 4a,b为两个n已 维知 向的 量,集合
???? V ? ? x ? a ? b ,? R ?
试判断集合是否为向量空间.
解 V 是一个 .因 向 为 x1? 量 ?1若 a?空 ?1b 间
???? x2??2a??2b, 则有 x 1 ? x 2 ? ( 1 ? 2 ) a ? ( 1 ? 2 ) b ? V , ? ? k 1 ? x ( k 1 ) a ? ( k 1 ) b ? V .
这个向量空量 间 a,b所 称生 为成 由的 向向
间 .

一般地,由向a量 1,a2组 ,?,am所生成的向
???? ?? 间 为 V ? ? x ? 1 a 1 ? 2 a 2 ? ? ? m a m 1 , 2 , ? , m ? R ?
例5 设向量a1组 ,?,am与向量b1,组 ?,bs等价, 记
V1 ??x??1a1 ??2a2 ????mam?1,?2,?,?m?R? V2 ??x??1b1 ??2b2 ????sbs ?1,?2,??s ?R?
试证V: 1 ?V2.

证 设 x ? V 1 , x 可 则 a 1 ,? 由 ,a m 线性 . 表 因 a1,? ,am 可b1 由 ,? ,bs线性表 x可 示 b1 由 ,? , , 故 bs线性所 表x以 示 ?V2.,
这就是 x? V 说 1,, x则 ? V 2若 , 因V 此 1?V 2.
类似:若 地 x? V 2 可 ,则 x? V 证 1, 因V 此 2?V 1.
因 V 1 ? V 为 2 , V 2 ? V 1 , V 1 所 ? V 2 . 以

二、子空间
定义2 设有向量空间 V 1及V 2 ,若向量空间V1 ?V2, 就说 V 1 是 V 2 的子空间. 实例
设V是由 n维向量所组成的向量空间, 显V 然 ?R n 所V 以 总是 Rn的子.空间

三、向量空间的基与维数
定义3 设 V是向量空间,如果 r个向量 ?1,?2,
?,?r?V,且满足
(1)?1,?2,? ,?r线性;无关
(2V )中任一? 向 1,?2,? 量 ,?r线 都性 可 . 表
那末,向量组 ?1,?2,? ,?r就称为向量 V的一个
基,r称为向量空间 V的维数,并称 V为 r维向量
空间.

说明
(1)只含有零向量的向量空间称为0维向量 空间,因此它没有基.
(2)若把向量空间 V看作向量组,那末V的基 就是向量组的最大无关组, V的维数就是向量组的 秩.
(3)若向量组 ?1,?2,? ,?r是向量空间V的一
? ? ? ?? ? ?? 个基,则 V可表示为 V ? ? x ? 1 1 ? 2 2 ? ? ? r r 1 , ? , r ? R ?

例6 设矩阵

? 2 2 ?1?

?

?

A?(a1,a2,a3)?? 2 ?1 2?,

???1 2 2??

? 1 4?

?

?

B?(b1,b2) ?? 0 3?,

???4 2??

验a证 1,a2,a3,是 R3的一个b 基 1,b2用 ,这 并个 把

线性. 表示

解要a证 1,a2,a3是 R3的一个基a, 1,a2只 ,a3 要 线性无关, A~即 E. 只要证

设 b1?x1a 11?x2a 12?x3a 13, b2?x1a 21?x2a 22?x3a 23,


?? x11 (b1,b2) ? (a1,a2,a3)? x21
?? x31 记B 作 ?A.X

x12?? x22?, x32??

对矩(A阵 ?B)施行初等行A变 能换 变E, 为若

则a1,a2,a3为R3的一个基A, 变且 为 E时当 , B变为

X?A?1B.

(A?B)????

2 2

2 ?1 ?1 2

1 0

4?? 3?

???1 2 2 ?4 2??

1

3(r1

?r2
~

?r3)

?? 1 1 1 ? 2 ?1 2 ???1 2 2

?1 0 ?4

3?? 3? 2??

1

3(r1

?r2
~

?r3)

?? 1 1 1 ? 2 ?1 2 ???1 2 2

?1 0 ?4

3?? 3? 2??

~ r2 ? 2 r1
r3 ? r1

??1 1 1 ?1 3 ?? ?0 ?3 0 2 ?3? ??0 3 3 ?5 5 ??

~ r2 ? 2 r1
r3 ? r1

??1 1 1 ?1 3 ?? ?0 ?3 0 2 ?3? ??0 3 3 ?5 5 ??

r2r3?~?(?33)

?? 1 1 1 ? 1 3 ??

? ?0 1

0

?2

? 1?

?

3?

? ?? 0 1

1

?5 3

5? 3 ??

r2r3?~?(?33)

r1

?
~

r3

r3 ?r2

?? 1 1 1 ? 1 3 ??

? ?0 1

0

?2

? 1?

?

3?

? ?? 0 1

1

?5 3

5? 3 ??

?? 1 0 0 2 4 ??

? ?0

1

0

3 ?2

3? 1?

?

3?

? ?? 0

0

1

?1

2? 3 ??

??1 0 0 2 4??

?

3 3?

~ (A B)初等行变换?0
?

1

0

?2 3

1? ?

? ?? 0

0

1

?1

2? 3??

因A 有 ~E,a故 1,a2,a3为 R3的一个基

? 2 4?

?

?

? 3 3?

?b1 , b2

?

?

(a1 ,a2

,a3

)??

?

2 3

1 ??.

? ?? ? 1

2? 3 ??

四、小结
1.向量空间的概念: 向量的集合对加法及数乘两种运算封闭; 由向量组生成的向量空间.
2.子空间的概念.
3.向量空间的基和维数: 求向量空间基和维数的方法.

思考题
? ? 设V? x?(a,b)T a,b?R? ,定义加法与数
运算如:下 加法:(a,b)?(c,d)?(a?c,bd), 数乘:k?(a,b)?(lga,bk),k?R
V是不是向量?空 为间 什么 ?

思考题解答
解 V不是向量空 . 间 显然 ,V对加法,因 封为 闭两个正实积 数的
还是正.实数 但V对乘法不封. 闭 比如 V中的元 (1,b)素 ,对任意k,实数 k?(1,b)?(lg1,bk)?(0,bk)?V.

1 向量的定义
定义 n个有次序的a数 1,a2,?,an所组成的 数组称n为 维向量 .这n个数称为该向量,的分 第i个数ai 称为第 i个分量 .
分量全为实数的向量称为实向量.
分量全为复数的向量称为复向量.

n维向量写成列的形 ,称式为列向量 ,即

?? a1 ??

a

?

? ?

a2? ??

???an???

n维向量写成行,的 称形 为式 行向 ,即量
aT ??a1, a2, ?, an?

向量的相等 设 a T ? (a 1 ,a 2 ,? ,a n )b ,T ? (b 1 ,b 2 ,? ,b n )
则 a T ? b T ? a i? b i(i? 1 ,2 ,? ,n ) 零向量
分量全为0的向量称为零向量. a T ? O ? a i? 0 ( i? 1 ,2 ,? ,n ) aT?O? ai中至少有 0,(i一 ?1,2,个 ? ,n)不 负向量
向a量 T?(a1,a2,? ,an)的负向 ?a量 T,且记 ?aT?(?a1,?a2,? ,?an).

2 向量的线性运算
向量加法 设aT?(a1,a2,? ,an)b ,T?(b1,b2,? ,bn)定 , 义
向量 aT与 bT的加:法为 aT?bT?(a1?b1,a2?b2,? ,an?bn) 向量减法定义为 aT?bT?(a1?b1,a2?b2,? ,an?bn)

数乘向量
数k与 向 量 aT的 乘 积 ,称 为 向 量 的 数 量 简 称 数 乘 向 ,定量义 为
kaT ?(ka1,ka2,?,kan) 向量加法和数乘向量运算称为向量的线性运 算,满足下列八条运算规则:
(1)加法交?换 ??? 律 ???;
(2 )加法结 (???合 )? ?? ? 律 ? (?? ?);
(3)对任一?,个 有 ?? 向 O?? 量 ;

(4)对任一?个 ,存向 在量 负 ??,向 有量 ??(??)?O;
(5) 1???;
(6)数乘结k(合 l?)?律 (k)l?;
(7)数乘分 k(?? 配 ?)?律 k??k?; (8)数乘分 (k?配 l)??k 律 ??l?.
其 ?,? 中 ,?为 n 维,1 向 ,k ,l为 量 ,O 为 数零 . 向

除了上述八条运算规则,显然还有以下性质:
? (1 ')0? O ,k? O O (其 0 为 中 ,k 数 为零 任 );
? ? ( 2 ') 若 k? O ,则 k ? 或 0 ,或 ? 者 O 者 ;
(3 ')向量 ?? x? 方 ?有 程 唯 x? ?? 一 ?. 解

3 线性组合
若干个同维数的列(行)向量所组成的集合 叫做向量组.
定义 给定向量A组:a1,a2,?,am,对于任何一组 实数k1,k2,?,km,向量
k1a1 ?k2a2 ???kmam 称为向量A组 的一个线性组 ,k1合 ,k2,?,km称为 这个线性组合的.系数

4 线性表示
定义 给定向量A组 :a1,a2,?,am和向量 b,如果 存在一组实 k1,数 k2,?,km,使
b?k1a1?k2a2???kmam, 则向量 b是向量A组 的线性组,这 合时称向b能 量 由向量A组 线性表.示

定理 向量 b能由向量 A线 组性表示的充分必 件是矩A阵 ?(a1,a2,?,am)的秩等于B矩?阵 (a1, a2,?,am,b)的秩 .
定义 设有两个向A量:a组 1,a2,?,am及B:b1, b2,?,bs,若B组中的每个向量都 向能 量由 组 A 线性表,示 则称向量B能 组由向量A线 组性表.示 若向量A组 与向量B组 能相互线性,表 则示 称这 两个向量组.等价

5 线性相关
定义 给定向量A组 :a1,a2,?,am,如果存在不全 为零的k数1,k2,?,km,使
k1a1 ?k2a2 ???kmam ?0, 则称向量A组 是线性相关 ,否的则称它线性.无关 定理 向量组 a1,a2,?,am线性相关的充分必要 条件是它所构成的 A?矩(a阵 1,a2,?,am)的秩小 于向量个m数 ;向量组线性无关的 必充 要分 条件 是R(A) ? m.

定理 (1)若向A 量 :a1组 ,a2,? ,am线性,相 则关 向 量B 组 :a1,a2,? ,am,am?1也线性 .反 相言 关 ,若 之 向量 B线 组性,无 则关 向A 量 也组 线性 . 无关

(2)设aj

??a1j ?? ?
??arj

?? ?,bj ??

?? a1j ??????aar??r1j,

j

?? ??,( ???

j

?1,2,?,m)

即向量 aj 添上一个分量后得 量b到 j .若向向量

组 A:a1,a2,? ,am线性,无 则关 向B 量 :b1,组 b2, ? ,bm也线性 .反 无 言 ,关 若 之向B 量 线组 性,相 则向A 量 也组 线性 . 相关
(3)m个 n维向量组成,当 的维 向 n小 数 量 于组 向量个 m时数 一定线. 性相关
(4)设向量A组 :a1,a2,?,am线性无,而 关 向量B 组:a1,a2,?,am,b线性相,则 关向b量 必 能由向量 A线 组性表,且 示表示式是唯 . 一的

6 向量组的秩
定义 设有 A ,如 向A 果 量 中在 组 能 r个 选 向 a 1,出 a2,? ,ar,满足
(1)向量 A 0:a1 组 ,a2,? ,ar线性 ; 无关 (2 )向A 量 中组 r 任 ? 1 个 意 (如 向 A 中 果 量 r? 有 1
个向 )都 量 线 的 , 性 话 相关 那么称向A量 0是组 向量 A的 组一个最大线
无关向(量 简组 称最大无 );最关大组无关组所 量个r称 数为向A 量 的组 秩 .

定理 矩阵的秩等于它的列向量组的秩,也等于 它的行向量组的秩.
定理 设向量组B能由向量组A线性表示,则向量 组B的秩不大于向量组A的秩.
推论1 等价的向量组的秩相等.

推论2 设 Cm ?n?A m ?sBs?n,则 R (C)?R (A )R ,(C)?R (B ).
推论3(最大无关组的等价定义) 设向量组 B是向量组 A的部分组,若向量组
B线性无关,且向量组 A能由向量组 B线性表示, 则向量组 B是向量组 A的一个最大无关组.

7 向量空间
定义 设V为n维向量的集合,如果集合V非空,且 集合V对于加法及数乘两种运算封闭,那么就称集 合V为向量空间.
所谓封,是 闭指在集 V中合可以进行加法 数乘两种:运 若a算 ?V,b?V,则a?b?V;若a?
V,??R,则?a?V.

一般,地 由向量a1组 ,a2,?,am所生成的向 空间为
V????x?i? m ?1?iai ?i?R,i ?1,2,?,m???.

8 子空间
定义 设有V 向 1 及 V 2,量 若 V 1? V 空 2,就 间 V 1称 是 V 2 的子 . 空间
任何n维 由向量所组成 间V的 都向 是 Rn的 量空 子空. 间

9 基与维数
定义 设V为向量空,间 如果r个向量a1,a2,?, ar ?V,且满足
(1)a1,a2,?,ar 线性无关 ; (2)V中任一向量都可a1由 ,a2,?,ar 线性表示 , 那么,向量组a1,?,ar 就称为向量空V间 的一个基 , r称为向量空V间的维数,并称V为r维向量空.间

若向量空,间 那没 V 么 的有 维基 0数 .0维 为向
量空间只含O 一 . 个零向量 若把向量V空 看间 作向量 ,则V组 的基就是
向量组的最大线 组,V 性 的无 维关 数就是向量 的秩 .
向量空间的构造
若向量 a1,组 a2,?,ar是向量V空 的间 一个 , 则V可表示为
V????x?i? ?r1?iai ?i?R,i?1,2,?,r???.

10 齐次线性方程组

向量方程

记齐次线性方程组

? a11 x1 ? a12 x2 ??? a1n xn ? 0,

?? a21 x1 ? a22 x2 ??? a2n xn ? 0,

? ?

?????????????

(1)

??am1 x1 ? am2 x2 ??? amn xn ? 0,

的系数矩阵和未知量为

?? a11 a12 ? a1n ??

?? x1 ??

A

?

? ?

a 21 ?

a 22 ?

?

a2n ?

??,

x

?

? ?

x2 ?

??,

??? am1 am2 ? amn???

??? xn???

则(1)式可写成向量方程

Ax ? O.

(2)

解向量

若 x1 ? ? 11, x2 ? ? 21,?, xn ? ? n1为(1)的解,则

??? 11??

x

?

?

1

?

? ?

? 21
?

? ?

???? n1???

称为方程组(1)的解向量,它也就是向量方程(2)

的解.

解向量的性质
? ? ?? 性质1 若 x ?1 ,x ?2 为 (2 )的 ,则 x 解 ?1 ?2 也
是 (2 )的 . 解
性质2 若 x? ?1 为 (2 )的 ,k 为 解,实 则 x? k ? 数 1 也是
(2 )的 . 解
定义 设S为方程(组 1)的全体解向量所组 集成的
合,则集合 S对向量的线性运算 ,所封以闭集S合 是一个向量,空 称间 为齐次线性方(1程 )的组 解空 间.

定理 n元齐次线性Am 方 ?nx程 ?O的 组全体解 构成的S集 是合 一个向,当 量系 空数 间矩阵的 R(Am?n)?r时,解空S的 间维数 n?为 r.
定义 解空 S的 间基称为 (1)的 方基 程础 组 . 解

11 非齐次线性方程组
向量方程 非齐次线性方程组

? a11 x1 ? a12 x2 ? ? ? a1n xn ? b1 ,

?? a21 x1 ? a22 x2 ? ? ? a2n xn ? b2 ,

? ?

?????????????

(3)

??am1 x1 ? am2 x2 ? ? ? amn xn ? bm ,

可写为向量方程

Ax ? b

(4)

解向量 向量方程 ( 4 ) 的解就是方程组 ( 3 )的解向量.
解向量的性质
性质1 若x??1,x??2为 (4)的解 ,则x??1??2
为对应的齐次 组线性方程
Ax?O (5)
的解 .
性质2 若 x? ?是(方 4 )的 ,程 x解 ? ?是(方 5 )的程 解 ,则 x? ?? ?也是 (4 )的 方 . 解 程

12 线性方程组的解法
(1)求齐次线性方程组的基础解系
若齐次线性方A程x?组O的秩R(A) ?r,而方 程组中未知数的个 n,那 数么 为方程组的一个基
解系含线性无n关 ?r的 个解向,量 不妨设?为1,?2, ?,?n?r ,可按下面步骤:进行

第一步:对系数矩阵 A进行初等行变换,使其 变成行最简形矩阵

?? 1 ?0

0? 1?

0 0

c1,r ?1 ? c 2,r?1 ?

c 1, n ?? c 2,n ?

?? ? ? ? ? ? ? ?

?

?

? 0 0 ? 1 c r,r?1 ? c r,n ?;

? ?

0

0? 0

0

?

0

? ?

?? ? ? ? ? ? ? ?

?? 0 0 ? 0 0 ? 0 ??

第二 :将 步 r第 ?1,r?2,? n列r个 前分量

号 ,于是 ?1,?得 2,? ,?n?r的1,第 2,? ,r个分 ,即量

?? ? c1,r?1?? ? ? c2,r?1?

?? ? c1,r?2 ?? ? ? c2,r?2?

?? ? c1,n ?? ? ? c2,n?

??? ???

???

?

??

?

??

?1 ? ? ? cr,r?1?,? 2 ? ? ? cr,r?1?,?,? n?r ? ? ? cr,n?;

? ?

?

? ?

???

? ?

?

? ?

???

? ?

?

? ?

???

?? ? ??

?? ? ??

?? ? ??

第三步:将其余 n?r个分量依次组成 n?r阶 单位矩阵,于是得齐次线性方程组的一个基础解系

?? ? c1,r ?1 ?? ? ? c2,r?1?

?? ? c1,r ? 2 ?? ? ? c2,r?2?

?? ? c1,n ?? ? ? c2,n?

??? ???

???

?

??

?

??

?

1

?

? ? ?

?

cr,r 1

?

1

? ?

,?

?

2

?

? ? ?

?

cr,r 0

? 2 ??,?,?
?

n?r

?

? ? ?

?

cr,n 0

??. ?

?0? ?1?

?0?

? ???

? 0

? ???

? ???

? 0

? ???

? ???

? 1

? ???

(2)求非齐次线性方程组的特解
若非齐次线性方 Ax程 ?b的 组秩R(A)? R(B)?r,而方程组中未知数 数为 的 n,那 个么对 增广矩B阵 进行初等行,使 变其 换成为行最简 矩阵.

?? 1 ?0

0 1

? ?

0 0

c1,r ?1 c 2,r ?1

? ?

c1,n c 2,n

d 1 ?? d 2?

?? ? ? ? ? ? ? ??

?

?

? 0 0 ? 1 cr,r?1 ? cr,n d r ?,

? ?

0

0?

0

0

?0

0

? ?

?? ? ? ? ? ? ? ??

?? 0 0 ? 0 0 ? 0 0 ??

将上述矩阵中最后一列的前 r个分量依次作为

特解的第 1,2,?,r个分量,其余 n?r个分量全部取 零,于是得

?? d 1 ??

? d 2?

? ??

?

?

?

? ?d

? r?,

? ?

0

? ?

? ??

?? 0 ??

即为所求非齐次线性方程组的一个特解.

典型例题
一、向量组线性关系的判定 二、求向量组的秩 三、向量空间的判定 四、基础解系的证法 五、解向量的证法

一、向量组线性关系的判定
线性相关与线性无关的概念都是针对一个特
定的向量组?1,? 2,?,? m而言的,当我们考虑到向
量空间中两种基本运算的结合物? ?线性组合
k1?1 ? k2? 2 ??km? m时,其结果为向量空间中的
一个特殊向量? 零向量,那么,一个自然的问题是:
是否存在一组不全为零的数k1, k2,?, km ,也使得 其线性组和为零向量?

答案只有两种 : 存在或不存在 .这样 , 也就自
然而然地提出了线性相 关与线性无关的概念 ; 若存在 ,则称该向量组线性相关 ;若不存在 ,则称 该向量组线性无关 ,所谓不存在 ,指的是当且仅 当
k1 ? k2 ? ? ? km ? 0 时 , 才有
k1? 1 ? k 2? 2 ? ? k m? m ? 0.

线性相关与线性无关可还以通过线性表出
的概念来体现,即看其中有无某个向(量 不是任 意一个向量),可由其余向量线性表?出此外,还 应注意到: 线性相关与线性无关一是对排中对 立的概念, 据此, 在论证某些相关性问时题, 我 们往往采用反证法 .

研究这类问题一般有两个方法

方法1 从定义出发

令k1?1 ?k2?2 ??km?m ? 0,

??a11?? ??a21??

??am1?? ??0??

?a12? k1? ? ?

?

?a22? k2? ? ?

???

?am2? km? ? ?

?

?0? ???

???a1n???

???a2n???

???amn??? ???0???

整理得线性方程组

?a11k1?a21k2???am1km?0,

??a12k1?a22k2???am2km?0, ???????????????

(?)

??a1nk1?a2nk2???amnkm?0,

若线性方 (?)只 程有 组唯一 ,则?零 1,?解 2, ?,?m线性无 . 关
若线性方 (?)有 程非 组零 ,则?解 1,?2,?,?m
线性相 . 关

方法2 利用矩阵的秩与向量组的秩之间关 系判定
给出一组n维向量?1,?2,?,?m,就得到一个 相应的矩阵 A ? (?1,?2,?,?m),首先求出R(A).
若R(A) ? m,则?1,?2,?,?m线性无关, 若R(A) ? m,则?1,?2,?,?m线性相关.

例1 研究下列向量组的线性相关性 ? 1? ? 0? ??1? ?? ?? ??
?1???2?,?2?? 2?,?3?? 0?.
?? 3?? ???5?? ?? 2??

解一

令k1?1 ? k2?2 ? k3?3 ? 0,即

?? 1 ?? ?? 0 ?? ???1?? ??0?? k1?? 2? ? k2? 2 ? ? k3? 0 ? ? ?0?
?? 3 ?? ???5?? ?? 2 ?? ??0??

整理得到

? ?? ?

k1

?k3 ? 0,

?2k1 ? 2k2 ? 0,

(?)

? ??

3k1 ?5k2 ? 2k3 ? 0.

?线性方程组(?)的系数行列式

1 0 ?1 ? 2 2 0 ? 0, 3 ?5 2
?线性方程组(?)必有非零解,从而?1,?2,?3
线性相关.

解二 ?? 1?? ?? 0?? ???1??
??1???2?,?2?? 2?,?3?? 0?,
?? 3?? ???5?? ?? 2??

? 矩A 阵 ?(?1,?2,?3)?????12

0 2

?1?? 0?,

??3 ?5 2??

??1 0 ?1??初等行 ??1变0换?1??

A???2 2 0? ~ ?0 2 ?2?

??3 ?5 2??

??0 0 0??

R(A)?2?3,
故向量 ?1,?组 2,?3线性相 . 关

例 2设?1,?2,?,?r线性相,证 关明 :存在不全 为零的t1,数 t2,?,tr,使对任何?向 都量 有
?1?t1?,?2?t2?,?,?r ?tr ?(r?2)
线性相. 关
? ?? ?? ? 分析 我们从定义 ,考出 察发 向量方程
k 1 ( 1 ? t 1 ) ? k 2 ( 2 ? t 2 ) ? ? ? k r ( r ? t r ) ? 0 即向量方程
k1?1?k2?2???kr?r ?(k1t1?k2t2???krtr)??0

是否有某组数 不 k1,全 k2,? 为 ,kr零 ,而的 使得
每?个 恒有非 ,因 零此 解可得.如下证
证明 因为 ?1,?2,?,?r线性相 ,所 关以存在不
为零的k1数 ,k2,?,kr,使
k1?1?k2?2???kr?r ?0
考虑线性方程
k1x1?k2x2?? ?krxr?0 因r为 ?2,它必有 ,设 (t非 1,t2,? 零 ,tr)为 解任
零,则 解对任 ?,都 意有 向量

? ? ? k1 1?k2 2?? ?kr r ? ?(k1t1?k2t2?? ?krtr) ?0

k1(?1?t1?)?k2(?2?t2?) ???kr(?r?tr?)?0
由k1,k2,?,kr不全为零 : 得知
?1?t1?,?2?t2?,?,?r?tr?
线性相 . 关

例3已知向量 ?1,?组2,?,?s的秩r是 ,证明 :?1, ?2,?,?s中任r意 个线性无关的向 成量 它均 的构
一个最大线性. 无关组
分析 证明向量组的一个部分组构成最大线性无 关组的基本方法就是:
根据最大线性无关组的定义来证,它往往还 与向量组的秩相联系.

证明 不失一般 ,设性 ?i1,?i2,?,?ir是?1,?2,?, ?s中的任r个 意线性无关的 ,于向是量对于任意 的?k(k?1,2,?,s),向量?组i1,?i2,?,?ir ,?k线性
相关 ,否则这向量组的r.秩大于
?? ? ? 又向 i1,量 i2,? ,组 ir线性 ,所 无 k 以 可 关 ?? ? 以i1 由 , i2,? , ir线性 . 表出
由定,这 义就证?i明 1,?i2了 ,??ir是?1,?2, ?,?s的一个最大线 . 性无关组

二、求向量组的秩
求一个向量组的秩,可以把它转化为矩阵的 秩来求,这个矩阵是由这组向量为行(列)向量 所排成的.
若矩阵 A经过初等行(列)变换化为矩阵B, 则 A和B中任何对应的列(行)向量组都有相同的 线性相关性.
如果向量组的向量以列(行)向量的形式给 出,把向量作为矩阵的列(行),对矩阵作初等 行(列)变换,这样,不仅可以求出向量组的秩, 而且可以求出最大线性无关组.

例4求向量组
?1T?(1, ?1, 0, 0), ?T2 ?(?1, 2, 1, ?1), ?T3 ?(0, 1, 1, ?1), ?T 4 ?(?1, 3, 2, 1), ?T 5 ?(?2, 6, 4, 1) 的秩 .
解 作A 矩 ? ??1阵 ?2 ?3 ?4 ?5 ?,对 A 作初
行,变 化 A 为 换 阶梯形

A ? ??1 ?2 ?3 ?4 ?5?

?? 1 ? 1 0 ? 1 ? 2??

?

? ?

?1 0

2 1

1 1

3 2

6? 4?

??? 0 ? 1 ? 1 1 1 ???

?1 ?1 0 ?1 ? 2?

~r2?r1??0 1 ?0 1

1 1

2 2

? 4? 4?

???0 ?1 ?1 1 1 ???

~ r3r?4(??r1)2r2???10
?0

?1 1 0

0 1 0

?1 2 0

? 2?? 4? 0?

???0 0 0 3 5 ???

?1 ?1 0 ?1 ? 2?

~ r4?r3

? ?

0

1

1

2

?0 0 0 3

? 4? 5?

???0 0 0 0 0 ???

记 ???作 1 ?2 ?3 ?4 ?5 ?? U .

?1 ?1 0 ?1 ? 2?

??????

?

U ? (1 2 3 4 5 ) ? ?? 00

1 0

1 0

2 3

4? 5?

??? 0 0 0 0 0 ???

A 的列 ?R (A 秩 )?3,

故向 ?1 ,?2 ,量 ?3 ,?4 ,? 组 5 的3 秩 . 为

又?1,?2,?4是U的列向量组的线 一性 个

无关, 组

所以 ?1,?2,?4也是 A的列向量组的一

线性无.关组

三、向量空间的判定
判断向量的集合是否构成向量空间,需看集合 是否对于加法和数乘两种运算封闭.若封闭,则构 成向量空间;否则,不构成向量空间.
例5判断 R3中与向 (0,0量 ,1)不平行的全 所组成的集合 向是 量否 空 . 构 间成
解 R3中与向 (0,量 0,1)不平行的全体向 成的集合不构成 间. 向量空

? 对向量
?1?(0 ,k ,0 )? ,2?(0 ,? k ,1 )k (?0 ),
?1,?2均不平(0,行 0,1)于 ,但
?? 1 ?2? (0 ,0 ,1 ).
因此 R3中与向 (0,0,量 1)不平行的全体 所组成的集合 封对 闭 . 加法不
故所给向量集合向 不量 构空 成.间

四、基础解系的证法
例6 证明与基础解系等价的线性无关的向量组 也是基础解系.
分析 要证明某一向量组是方程组AX ?0的基础解 系,需要证明三个结论:
(1)该组向量都是方程组的解; (2)该组向量线性无关; (3)方程组的任一解均可由该向量组线性表示.

证明 设?1,?2,?,?t是方程A组X?0的一个基础解 系,a1,a2,?,an是与?1,?2,?,?t 等价的线性无关
向量组 ,因为等价的线性无 向关 量的 组所含向量 数是相同,所 的以这两个向量组 向所 量含 个数相, 等 即t ?n.
由向量组的等价关知系 ,ai 可 易以表示?成 1, ?2,?,?t的线性组(i合?1,2,?,t),而解的线性组
合仍然是原方程组,故的a1解 ,a2,?,at 都是 AX?0
的解.

由题,a设 1,a2,? 知 ,at线性. 无关
设?为方程A组 X?0的任一,则 解 ?可由 ?1,
?2,?,?t线性表,由示向量组的,等 ?1,?价 2, 性 ?,?t均可a由 1,a2,?,at线性表,故 示 ?也可由
a1,a2,?,at线性表. 示
故由,定 a1,a2,? 义 ,at也 知是A 方 X ?0 程
的一个. 基础解系 注 当线性方程组有非零解时,基础解系的取
法不唯一,且不同的基础解系之间是等价的.

五、解向量的证法
例7 设? ?是非齐次线性方程组AX ? B的一个解, ?1 ,?,? n?r 是其导出组的一个基础解系.证明:
(1)? ? ,?1 ,?,? n?r 线性无关; (2)? ? ,? ? ? ?1 ,?,? ? ? ? n?r 是方程组AX ? B的
n ? r ? 1个线性无关的解. (3)方程组AX ? B的任一解X ,都可以表示为这
n ? r ? 1个解的线性组合,而且组合系数之和为1.

? ? ? 证明 (1 )令 k 0?? k 11 ? ? ? k n ? r n ? r? 0 , (? )
其中 k 0? 0 .必有
否则,有?? ? ?kk10?1 ???kkn0?r?n?r,由于?1,?2, ?,?n?r是 齐 次 方 程AX组? 0的 解,故 等 式 右 边 为 其 线 性 组,必 合是AX? 0的 解,而 等 式 左?边 ?是 非
齐次方程A组 X? B的解,矛盾,所以k0 ?0. 将 k0?0代(?)入 式 ,则有
? ? ? k11?k2 2?? ?kn ?r n ?r?0,

因为 ?1,?2,?,?n?r是AX?0的基础,解 所系 以 ?1,?2,?,?n?r线性无 ,故关有
k1?k2???kn?r ?0,
于是 ??,?1,?2,?,?n?r线性无 . 关 (2)由线性方程组知 解 ???的 ?i(i性 ?1,质 2,
?,n?r)都是 AX?B的解 ,再证它们线. 性无
令 k0???k1(????1)?? ?kn?r(????n?r)?0,
则 (k0?k1?? ?kn?r)???k1?1?? ?kn?r?n?r?0, 由 (1)的证?明 ?,?1,?知 2,? ,?n?r线性,所 无以 关

?k0 ? k1 ? k2 ? ? ? kn?r ? 0,

? ?? ?

k1 k2

? 0, ? 0,

? ??????????? ?

??

kn?r ? 0,

解之 ,得 k0?k1?k2???kn?r ?0,
故??,????1,????2,?,????n?r线性无 . 关

(3 )设 X 为方 A? X B 的 程任 ,组 则 X 可 一 表
??? ? X ? ? ? t 1 1 ? t 22 ? ? ? t n ? rn ? r
???? ??? ? ? ? t 1 ( ? ? 1 ? ? ) ? ? ? t n ? r ( ? ? n ? r ? ? )
?(1?t1?? ?tn?r)???t1(????1)?? ? ? ?tn?r( ??n?r)
令 1 ? t 1 ? ? ? t n ? r ? t 0 , 则 t 0 ? t 1 ? ? ? t n ? r ? 1 ,
故 AX ?B的任X都 一可 解以表示

? ?? ?? X ? t0? ? t1 (? ?1 )? ? ? tn ? r(? ?n ? r),
且 t0 ? t1 ? ? ? tn ? r? 1 . 注意(1)本例是对非齐次线性方程组 A? X B的解 的结构作进一步的分析和讨论,即非齐次线性方 程组一定存在着 n?r?1个线性无关的解,题中 (2)的证明表明了它的存在性.
(2)对齐次线性方程组,当 R (A )?r?n时, 有无穷多组解,其中任一解可由其基础解系线性 表示.
(3)对非齐次线性方程组 A? X B,有时也把 如题中所给的 n?r?1个解称为 A? X B的基础 解系,所不同的是它的线性组合只有当线性组合 系数之和为1时,才是方程组的解.

第四章 测试题
一、填空题(每小题5分,共40分).
? ? ? 1 .设 1? ?2 ,? 1 ,0 ,5 ?,2? ?? 4 ,? 2 ,3 ,0 ?3? ?? 1 ,0 ,1 ,k ?, ? 4? ?? 1 ,0 ,2 ,1 ?,则 k ? 时 ,线性 . 相
2 .设 ? 1? ?2 ,? 1 ,3 ,0 ?,?2? ?1 ,2 ,0 ,? 2 ?,?3? ?0 ,? 5 ,3 ,4 ?, ?4? ?? 1 ,3 ,t,0 ?,则 t? 时 ,线性 . 无关
3.已知向 ?1? 量 ?1,2,组 3,4?,?2??2,3,4,5?,?3? ?3,4,5,6?,?4??4,5,6,7?,则该向量组的

4.n维单位 ?1,?向 2,? ,量 ?n均 组 可由 ?1,? 向 2, ? ,?s线性 ,则 表向 出量个数
1 0100 11000
5. 已知A? 0 1 1 0 0则秩R?A??
00110 01011

6.方程 A组 X ?0以 ?1??1,0,2?,?2??0,1,?1?为其
础解 ,则 系 该方程的系数矩阵
7.设 ?????1 2???,???1,2,3?,A??,?则R 秩 ?A??
??3??
8.向量 ?1?组 ?1,2,3,4?,?2??2,3,4,5?,?3??3,4,5,6? ?4??4,5,6,7?的一个极大无关组是
二、计算题 (每小题8分,共24分).
???? ? 1 .已 1 ? 2 知 2 ? 3 3 ? 4? 0 ,其 1 ? ? 5 中 ,? 8 ,? 1 ,2 ? , ? ? ? 2 ? ? 2 ,? 1 ,4 ,? 3 ? ,3 ? ? ? 3 ,2 ,? 5 ,4 ? ,求 .

? ? ? 2 . 已知 1 ? ? t , 2 , 1 ? ,2 向 ? ? 2 , t , 0 ? ,3 ? 量 ? 1 , ? 1 , 1 ? 组
试求 t为出 何 ,向 值量 ?时 1,?2 组 ,?3线性 , 相
线性 ?无关
3.求实 a和 b,使 数向 ?1? 量 ?1,1,0,0 组 ?,?2??0,1,1,0? ?3??0,0,1,1?与向 ?1?量 ?1,a,b,1 组 ?,?2??2,1,1,2?, ?3??0,1,2,1?等. 价
三、证明题 (每小题8分,共24分).
1 .设 A 为 m ?n 矩 ,B 阵 为 n?m 矩 ,且 阵 m ?n ,试证
de At)? B (0 .

2 .设 A 为 n ? n 矩 ,B 是 n 阵 ? s 矩 ,且 阵 R ?B ?秩 ? n , ?n ? s ?,证明
?1?若 AB ?0,则 A?0; ?2?若 AB ?B,则 A?E.
3. 已知向?I量 ??1,组 ?2,?3;?II??1,?2,?3,?4;?II?I ?1,?2,?3,?5如果各向量组 为R的 ?I??秩 R?分 II? 别 ?3,R?II?I?4,试证:向 明量:?组 1,?2,?3,?5??4的
秩为 4.

?????? 四、向量组 ?1,?2,?3 线性无关,问常数 l,m 满足
什么条件时,向量组 l1 ? 2 ,2 ? 3 ,m 3 ? 1 线性无关.(12分)

测试题答案
一1.、 ?3; 2. 任意 ;3.实 2 ; 4.数 n?s; 15
5.5 ; 6.??211?;7.1 ; 8.?1,?2.
? 二 1 . ? ? 、 0 , 1 , 2 ? 2 ? ;
2. 当 t??2,3时 ,?1,?2,?3线性;无关 当 t??2,3时 ,?1,?2,?3线性.相关
3. a?b?0.
四l、 m ??1.


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