人教版高中数学全套试题第三章 概率 3.3.1

3.3.1 几何概型
课时目标 1.通过实例体会几何概型的含义,会区分古典概型和几何概型.2.掌握几何 概型的概率计算公式,会求一些事件的概率.
1.几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与____________________________________,则称这样的概 率模型为几何概率模型,简称几何概型. 根据定义,向半径为 r 的圆内投针,落在圆心上的概率为 0,因为点的面积为 0,但此 事件不一定不发生. 2.几何概型的特点 (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件总数)有____________个. (2)每个基本事件出现的可能性________. 3.几何概型的概率公式 P(A)=试验的构全成部事结件果A所的构区成域的长区度域?面长积度或?面体积积或? 体积?

一、选择题

1.用力将一个长为三米的米尺拉断,假设该米尺在任何一个部位被拉断是等可能的,

则米尺的断裂处恰在米尺的 1 米到 2 米刻度处的概率为( )

2

1

A.3

B.3

1

1

C.6

D.4

2.如图,边长为 2 的正方形内有一内切圆.在图形上随机撒一粒黄豆,则黄豆落到圆

内的概率是( )

π

4

A.4

B.π

4-π C. 4

4-π D. π

3.在 1 L 高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子,从中随机取出 10 mL,则含有

麦锈病种子的概率是( )

1 A.1 000

1 B.900

9

1

C.10

D.100

4.ABCD 为长方形,AB=2,BC=1,O 为 AB 的中点,在长方形 ABCD 内随机取一点,

取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为( )

π A.4

B.1-π4

π C.8

D.1-π8

5.在区间[-1,1]上任取两数 x 和 y,组成有序实数对(x,y),记事件 A 为“x2+y2<1”,

则 P(A)为( )

π

π

A.4

B.2

C.π

D.2π

6.有四个游戏盘,如下图所示,如果撒一粒黄豆落在阴影部分,则可中奖,小明希望

中奖机会大,他应当选择的游戏盘为( )



1

2

3

4

5

6

答案

二、填空题

7.一个路口的红绿灯,红灯的时间为 30 秒,黄灯的时间为 5 秒,绿灯的时间为 40 秒,

当你到达路口时看到的是绿灯的概率是________.

8.在区间[-1,2]上随机取一个数 x,则 x∈[0,1]的概率为________.

9.有一个圆面,圆面内有一个内接正三角形,若随机向圆面上投一镖都中圆面,则镖

落在三角形内的概率为________. 三、解答题

10.过等腰 Rt△ABC 的直角顶点 C 在∠ACB 内部随机作一条射线,设射线与 AB 相交

于点 D,求 AD<AC 的概率.

11.如图,在墙上挂着一块边长为 16 cm 的正方形木板,上面画了小、中、大三个同心 圆,半径分别为 2 cm,4 cm,6 cm,某人站在 3 m 之外向此板投镖,设投镖击中线上或 没有投中木板时都不算(可重投),问: (1)投中大圆内的概率是多少? (2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少? (3)投中大圆之外的概率是多少?

能力提升

12.函数 f(x)=x2-x-2,x∈[-5,5],那么任取一点 x0∈[-5,5],使 f(x0)≤0 的概率为( )

A.1

2 B.3

3

2

C.10

D.5

13.在转盘游戏中,假设有三种颜色红、绿、蓝.在转盘停止时,如果指针指向红色为

赢,绿色为平,蓝色为输,问若每种颜色被平均分成四块,不同颜色相间排列,要使赢

的概率为15,输的概率为13,则每个绿色扇形的圆心角为多少度?(假设转盘停止位置都

是等可能的)

处理几何概型问题就要先计算基本事件总体与事件 A 包含的基本事件对应的区域的长 度(角度、面积或体积),而这往往会遇到计算困难,这是本节难点之一.实际上本节的 重点不在于计算,而在于如何利用几何概型把问题转化为各种几何概率问题.为此可参 考如下办法:
(1)选择适当的观察角度; (2)把基本事件转化为与之对应的几何区域; (3)把随机事件 A 转化为与之对应的几何区域; (4)利用概率公式计算; (5)如果事件 A 对应的区域不好处理,可以用对立事件概率公式逆向思维. 同时要注意判断基本事件的等可能性,这需要严谨的思维,切忌想当然,需要从问题的 实际背景出发去判断.

答案:

3.3.1 几何概型

知识梳理

1.构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例

2.(1)无限多 (2)相等

作业设计

1.B 2.A

[P=2-3 1=13.] [由题意,P=SS正圆方形=π2××122=π4.]

3 . D [ 取 出 10 mL 麦 种 , 其 中 “ 含 有 病 种 子 ” 这 一 事 件 记 为 A , 则 P(A) =

取出种子的体积 所有种子的体积=1

10000=1100.]

4.B [当以 O 为圆心,1 为半径作圆,则圆与长方形的公共区域内的点满足到点 O 的

距离小于或等于 1, 故所求事件的概率为 P(A)=S长方S形长-方形S半圆=1-π4.]

5.A [如图,集合 S={(x,y)|-1≤x≤1,-1≤y≤1},则 S 中每个元素与随机事件

的结果一一对应,而事件 A 所对应的事件(x,y)与圆面 x2+y2<1 内的点一一对应, ∴P(A)=π4.]

6.A [A 中 P1=38,B 中 P2=26=13, C 中设正方形边长 2,则 P3=4-π4×12=4-4 π,
D 中设圆直径为 2,则 P4=12×2π×1=1π. 在 P1,P2,P3,P4 中,P1 最大.]
8 7.15

解析 P(A)=30+450+40=185.

1 8.3 解析

由几何概型知所求的 P=2-1-?-01?=13.

33 9. 4π

解析

设圆面半径为

R , 如 图 所 示 △ABC

的面积

S△ABC



3·S△AOC



1 3·2

AC·OD



3·CD·OD =3·Rsin 60°·Rcos 60° =3 43R2,

∴P=

=34π3RR22=34π3.

10. 解 在 AB 上取一点 E,使 AE=AC,连接 CE(如图),则当射线 CD 落在∠ACE 内 部时,AD<AC.易知∠ACE=67.5°,∴AD<AC 的概率 P=6970.5°°=0.75.

11.解 整个正方形木板的面积,即基本事件所占的区域总面积为 S=16×16=256

(cm2).记“投中大圆内”为事件 A,“投中小圆与中圆形成的圆环”为事件 B,“投

中大圆之外”为事件 C,则事件 A 所占区域面积为 SA=π×62=36π(cm2);事件 B 所占 区域面积为 SB=π×42-π×22=12π(cm2);事件 C 所占区域面积为 SC=(256-36π)cm2.

由几何概型的概率公式,得(1)P(A)=

SA S

=694π;(2)P(B)=SSB=634π;(3)P(C)=SSC=1-694

π.

12.C [令 x2-x-2=0,得 x1=-1,x2=2,f(x)的图象是开口向上的抛物线,与 x 轴

的交点为(-1,0),(2,0),图象在 x 轴下方,即 f(x0)≤0 的 x0 的取值范围为 x0∈[-1,2], ∴P=25--??--15??=130.]

13.解 由于转盘旋转停止位置都是等可能的,并且位置是无限多的,所以符合几何概
型的特点,问题转化为求圆盘角度或周长问题.因为赢的概率为15, 所以红色所占角度为周角的15, 即 α1=3650°=72°. 同理,蓝色占周角的13, 即 α2=3630°=120°, 所以绿色所占角度 α3=360°-120°-72°=168°. 将 α3 分成四等份, 得 α3÷4=168°÷4=42°. 即每个绿色扇形的圆心角为 42°.


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