(第9课时)平面向量的数量积及运算律(1)



题:平面向量的数量积及运算律(1)

教学目的: 1 掌握平面向量的数量积及其几何意义; 2 掌握平面向量数量积的重要性质及运算律; 3 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题; 4 掌握向量垂直的条件 教学重点:平面向量的数量积定义 教学难点:平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 内容分析: 本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义,理解定义之后便 可引导学生推导数量积的运算律,然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量 数量积的认识 主要知识点:平面向量数量积的定义及几何意义;平面向量数量 积的 5 个重要性质;平面向量数量积的运算律 教学过程:
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一、复习引入: 1. 向量共线定理
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向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是:有且只有一个非
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?

?

零实数λ ,使 b =λ a

2.平面向量基本定理:如果 e 1 , e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对 于这一平面内的任一向量 a ,有且只有一对实数λ 1,λ 2 使 a =λ 1 e 1 +λ 2 e 2 3.平面向量的坐标表示 分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i 、 j 作为基底 任作一个向量 a ,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数 x 、 y ,使得 a ? xi ? yj
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?

?

把 ( x , y ) 叫做向量 a 的(直角)坐标,记作 a ? ( x , y ) 4.平面向量的坐标运算 若 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x 2 , y 2 ) , 则 a ? b ? ( x1 ? x 2 , y1 ? y 2 ) , a ? b ? ( x1 ? x 2 , y1 ? y 2 ) , ? a ? (? x , ? y )
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若 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,则 AB ? ? x 2 ? x 1 , y 2 ? y 1 ? 5. a ∥ b ( b ? 0 )的充要条件是 x1y2-x2y1=0 6.线段的定比分点及λ P1, P2 是直线 l 上的两点,P 是 l 上不同于 P1, P2 的任一点,存在实数λ , 使
P1 P = λ
PP 2 , λ 叫 做 点 P 分 P1 P 2 所 成 的 比 , 有 三 种 情 况 :
?
? ?

λ >0(内分) 7 定比分点坐标公式:
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(外分) λ <0 (λ <-1)

( 外分)λ <0 (-1<λ <0)

若点 P1(x1,y1) ,P2(x2,y2),λ 为实数,且 P1 P =λ PP 2 ,则点 P 的坐标 为(
x1 ? ? x 2 1? ? y1 ? ? y 2 1? ?

,

) ,我们称λ 为点 P 分 P1 P 2 所成的比

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8 点 P 的位置与λ 的范围的关系:
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①当λ >0时, P1 P 与 PP 2 同向共线,这时称点 P 为 P1 P 2 的内分点

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②当λ <0( ? ? ? 1 )时, P1 P 与 PP 2 反向共线,这时称点 P 为 P1 P 2 的外分点 9 线段定比分点坐标公式的向量形式:
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在平面内任取一点 O,设 OP 1 =a, OP 2 =b, 可得 OP =
a ? ?b 1? ? ? 1 1? ? a ?

?
1? ?

b

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10.力做的功:W = |F|?|s|cos?,?是 F 与 s 的夹角 二、讲解新课: 1.两个非零向量夹角的概念 已知非零向量a与b,作 OA =a, OB =b,则∠AOB=θ (0≤θ ≤π )叫a与b的夹角 说明: (1)当θ =0时,a与b同向; (2)当θ =π 时,a与b反向;
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(3)当θ =

?
2

时,a与b垂直,记a⊥b;

(4)注意在两向量的夹角定义,两向量必须是同起点的 范围 0?≤?≤180?
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C 2.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角是 θ ,则数量|a||b|cos?叫a与b的数量积,记作 a?b,即有 a?b = |a||b|cos?, (0≤θ ≤π ) 并规定 0 与任何向量的数量积为 0 ?探究:两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 (1)两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由 cos?的符号所决定 (2)两个向量的数量积称为内积,写成 a?b;今后要学到两个向量的外积 a×b, 而 a?b 是两个向量的数量的积,书写时要严格区分 符号“· ”在向量运算中不 是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替 (3) 在实数中,若 a?0, a?b=0,则 b=0;但是在数量积中, a?0, a?b=0, 且 若 且 不能推出 b=0 因为其中 cos?有可能为 0 (4)已知实数 a、b、c(b?0),则 ab=bc ? a=c 但是 a?b = b?c a=c 如右图:a?b = |a||b|cos? = |b||OA|,b?c = |b||c|cos? = |b||OA| ? a?b = b?c 但 a ? c (5)在实数中,有(a?b)c = a(b?c),但是(a?b)c ? a(b?c) 显然, 这是因为左端是与 c 共线的向量, 而右端是与 a 共线的向量, 而一般 a 与 c 不共线 3. “投影”的概念:作图
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定义:|b|cos?叫做向量 b 在 a 方向上的投影 投影也是一个数量,不是向量;当?为锐角时投影为正值;当?为钝角时投影为 负值;当?为直角时投影为 0;当? = 0?时投影为 |b|;当? = 180?时投影为 ?|b| 4.向量的数量积的几何意义: 数量积 a?b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cos?的乘积 5.两个向量的数量积的性质: 设 a、b 为两个非零向量,e 是与 b 同向的单位向量 1?e?a = a?e =|a|cos? 2?a?b ? a?b = 0
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3?当 a 与 b 同向时,a?b = |a||b|;当 a 与 b 反向时,a?b = ?|a||b| 特别的 a?a = |a|2 或 | a | ?
a ?b | a || b |
a ?a

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4?cos? =

5?|a?b| ≤ |a||b| 三、讲解范例: 例 1 判断正误,并简要说明理由
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①a·0=0;②0·a=0;③0- AB = BA ;④|a·b|=|a||

b|;⑤若a≠0,则对任一非零b有a·b≠0;⑥a·b=0,则a与b中 至少有一个为 0;⑦对任意向量a,b,с 都有(a·b)с =a(b·с ) ; 2 2 ⑧a与b是两个单位向量,则a =b
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解:上述 8 个命题中只有③⑧正确; 对于①:两个向量的数量积是一个实数,应有 0·a=0; 对于②:应有0·a=0; 对于④:由数量积定义有|a ·b|=|a|·|b|·|cosθ |≤| a||b|,这里θ 是a与b的夹角,只有θ =0或θ =π 时, 才有|a· | b =|a|·|b|; 对于⑤:若非零向量a、b垂直,有a·b=0; 对于⑥:由a·b=0可知a⊥b可以都非零; 对于⑦:若a与с 共线,记a=λ с 则a·b=(λ с ) b=λ (с ·b)=λ (b·с ) · , ∴(a·b) =λ (b·с )с =(b·с )λ с =(b·с )a ·с 若a与с 不共线,则(a·b)с ≠(b·с )a 评述:这一类型题,要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律 例 2 已知|a|=3,|b|=6,当①a∥b,②a⊥b,③a与b的夹角 是 60°时,分别求a·b 解:①当a∥b时,若a与b同向,则它们的夹角θ =0°, ∴a·b=|a|·|b|cos0°=3×6×1=18; 若a与b反向,则它们的夹角θ =180°, ∴a·b=|a||b|cos180°=3×6×(-1)=-18; ②当a⊥b时,它们的夹角θ =90°, ∴a·b=0; ③当a与b的夹角是 60°时,有
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a·b=|a||b|cos60°=3×6×

1 2

=9

评述:两个向量的数量积与它们的夹角有关,其范围是[0°,180°] ,因 此,当a∥b时,有 0°或 180°两种可能 四、课堂练习: 五、小结 通过本节学习,要求大家掌握平面向量的数量积的定义、重要性质、 运算律,并能运用它们解决相关的问题 六、课后作业:
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七、板书设计(略) 八、课后记及备用资料: 1 概念辨析:正确理解向量夹角定义 对于两向量夹角的定义,两向量的夹角指从同一点出发的两个 向量所构成的较小的非负角,因对向量夹角定义理解不清而造成解 题错误是一些易见的错误,如:
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1 已知△ABC 中,a=5,b=8,C=60°,求 BC · CA
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对此题,有同学求解如下: 解:如图,∵| BC |=a=5,| CA |=b=8,C=60°, ∴ BC · CA =| BC |·| CA |cosC=5×8cos60°=20

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分析:上述解答,乍看正确,但事实上确实有错误,原因就在于没能正确理解 向量夹角的定义,即上例中 BC 与 CA 两向量的起点并不同,因此,C并不是 它们的夹角,而正确的夹角应当是 C 的补角 120° 2 向量的数量积不满足结合律 分析:若有(a·b)с =a· b·с ) a、b夹角为α ,b、с 夹角为 ( ,设 β ,则(a·b)с =|a|·|b|cosα ·с , a·(b·с )=a·|b||с |cosβ ∴若a=с , =β , α 则|a|=|с |, 进而有: a· ) =a· b· ) ( b с ( с 这是一种特殊情形,一般情况则不成立 举反例如下:
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已知|a|=1,|b|=1,|с |= 2 ,a与b夹角是 60°,b与 с 夹角是 45°,则: (a·b)·с =(|a|·|b|cos60°)с =
1 2

с ,

a·(b·с )=(|b|·|с |cos45°)a=a

1 2

с ≠a,故(a·b) ≠a· b·с ) ·с (


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