南充一中高二下学期期末复习数学(文)试题(三)

南充一中高二下学期期末复习数学(文)试题(三)
张军 一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 ) 1.已知集合 A ? x ? 1 ? x ? 2 , B ? x x ? 1 ,则A ? ? C R B ? =( A.

?

?

?

?



? x x ? 1?
5i ?( 1 ? 2i

B.

? x x ? 1?


C.

? x ? ? x ? 2?

D.

? x ? ? x ? 2?

2.复数

A. 2 ? i

B. ?2 ? i

C. 1 ? 2i

D. ?1 ? 2i )

3.设 a, b ? R ,则“ a ? b ? 4 ”是“ a ? 2, 且b ? 2 ”的( A.必要不充分条件 C. 充分必要条件 B. 充分不必要条件

D. 既非充分又非必要条件 )

4. 在等差数列 {an } 中, a4 ? 2, a5 ? 4 ,记 an 的前 n 项和为 Sn ,则 S8 ? ( A.12 B.16 C .24 D.48 )

5. 已知 m, n 表示两条不同直线, ? 表示平面,下列说法正确的是( A.若 m // ? , n // ? , 则 m / / n C.若 m ? ? , m ? n ,则 n / /?

B.若 m / /? , m ? n ,则 n ? ? D.若 m ? ? , n ? ? ,则 m ? n )

6. 执行下面的框图,若输入的 N 是 6 ,则输出 p 的值是(

A.120

B.720

C.1440

D.5040
π ) 的部分图像,其中 A,B 两点之间的距 2

7. 如图所示为函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? )(? ? 0, 0 ? ? ? 离为 5,那么 f (?1) ? ( A.-1 B.1
x ?x

) C. ? 3 D. 3

8. 若 函 数 f ? x ? ? ka ? a

? ?? 上 既 是 奇 函 数 又 是 增 函 数 , 则 ? a ? 0且a ? 1? 在? ??,


g ? x ? ? loga ? x ? k ? 的图象是(

-1-

A 9.

B

C

D

已知函数 f ? x ? 对任意 x ? R ,都有 f ? x ? 6? ? f ? x ? ? 0, 函数

y ? f ? x ?1? 的图像关于 ?1,0 ? 对称,且 f ? 2? ? 4, 则 f ? 2014? ? (
A. ?16 B. ?8 C. ?4 D. 4



10. 定义 f ( x) ? g ( x) ? h( x) 对任意 x ? D 恒成立,称 g ( x) 在区间 D 上被 f ( x), h( x) 所夹. 若 y ? ln x 在 ? 0, ?? ? 被 y ? ? A. (0, )

2 e

a 和 y ? (1 ? a) x 所夹,则实数 a 的取值范围( x 2 1 e ?1 e ?1 2 ) , ) B. ( , C. ( D. ( ,1) e e e e e
2



二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分。 11.对命题“ ?x ? R, 都有 x ? 0 ”的否定为________

?1? 2 12. log 2 6 ? log 4 9 ? 27 ? ? ? =________ ?4? r r r r r r 13.已知向量 a, b 的夹角为 60°,且 a ? 2, b ? 1,则 a ? b ? ________
14.设 V ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c . 若 b ? c ? 2a, 且 3sin A ? 5sin B, 则角 ?C ? ________ 15. 已知集合 A ? f ( x) f 2 ( x) ? f 2 ( y ) ? f ( x ? y )gf ( x ? y ), x,y ? R , 有下列命题: ①若 f ( x) ? ?

2 3

?

1

?

?

?1, x ? 0 , 则 f ( x) ? A ;②若 f ( x) ? kx 则 f ( x) ? A ; ??1, x ? 0

③若 f ( x) ? A ,则 y ? f ( x) 可为奇函数; ④若 f ( x) ? A ,则对任意不等实数 x1 , x2 ,总有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 成立. x1 ? x2

其中所有正确命题的序号是________. (填上所有正确命题的序号)

-2-

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分.解答要写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.设 x ? R ,函数 f ( x) ? cos x(2 3 sin x ? cos x) ? sin 2 x . (1)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (2)若 f ( ) ?

?

2

1 ? 2? ,( ? ? ? ), 求 sin ? . 2 6 3

17.下图是从遂宁某中学参加高三体育考试的学生中抽出的 60 名学生体育成绩(均为整数)的 频率分布直方图,该直方图恰好缺少了成绩在区间[70,80)内的图形,根据图形的信息,回答 下列问题: (1)求成绩在区间[70,80)内的频率,并补全这个频率分布直方图;估计这次考试的及格率 (60 分及以上为及格); 2 (2)假设成绩在[80,90)内的学生中有 的成绩在 85 分以下(不含 85 分),从成绩在[80,90) 3 内的学生中选出两人,求恰好有 1 人的成绩在[85,90) (含 85 分)内的概率.

18 . 在 如 图 所 示 的 几 何 体 中 , 四 边 形 ABCD 为 矩 形 , 平 面 ABEF ? 平 面

ABCD, EF // AB, ? BAF ? 90o , AD ? 2, AB ? AF ? 2 EF ? 1, 点 P 在棱 DF 上.
(1)若 P 为 DF 的中点,求证: BF //平面 ACP ; (2)若直线 PC 与平面 FAD 所成角的正弦值为

2 ,求 PF 的长度. 3
F E P A B C D
-3-

19. 已知定义在 x ? [?1,1] 上的偶函数 f ( x) 满足:当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? x ? 2 2 ? x . (1)求函数 f ( x) 在 x ? [?1,1] 上的解析式; (2)设 g ( x) ? ax ? 6 ? 2a (a ? 0) ,若对于任意 x1 , x 2 ? [?1,1] ,都有 g ( x 2 ) ? f ( x1 ) 成立, 求实数 a 的取值范围.

20.设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 a1 =2, an?1 ? 2Sn ? 2 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 若数列 ?bn ? 的各项均为正数, 且 ?bn ? 是

n n 与 的等比中项, 求 bn 的前 n 项和为 Tn ; an an ? 2

21.设函数 f ( x) ?

ln x . x2

(1)求 f ( x) 的极大值; (2)当方程 f ( x) ?

a ? 0(a ? R ? ) 有唯一解时,方程 2e

g ( x) ? txf ?( x) ?

ax 2 ? 2tx ? t ? 0 也有唯一解,求正实数 t 的值; x2

-4-

一、选择题(5×10=50 分) 题号 答案 1 D 2 B 3 A 4 C 5 D 6 B 7 A 8 A 9 C 10 B

二、填空题(5 ? 5=25 分) 11. ?x0 ? R, 使得 x0 2 ? 0 12.-6 13. 3 14. ?

2 3

15.②③

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分. 16.(本小题满分 12 分) 解: (1) f ( x) ? cos x(2 3 sin x ? cos x) ? sin 2 x ? 2 3 sin x cos x ? cos 2 x ? sin 2 x

? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) 6
由 2 k? ?

?

??????3 分

?

2

? 2x ?

?

6

? 2 k? ?

?

2
? ?

, k ? z , 解得 k? ?

?
6

? x ? k? ?

?
3

,k ? z

所以函数 f ( x) 的单调增区间是 ? k? ? (2)由 f ( ) ? 2sin(? ? 由

?
6

, k? ?

??
3? ?

, k ? z . ??????6 分

?

?
6

?
6

2

)?

?? ?

2? ? ? 得0 ?? ? ? 3 6 2

1 ? 1 得 sin(? ? ) ? 2 6 4

? ? 15 ? cos(? ? ) ? 1 ? sin 2 (? ? ) ? 6 6 4

??????9 分

? ? ? ? ? ? ? ? sin ? ? sin ?(? ? ) ? ) ? ? sin(? ? ) cos ? cos(? ? ) sin 6 6 6 6 6 6 ? ?
=

1 3 15 1 3 ? 15 ? ? ? ? 4 2 4 2 8

??????12 分

17.(本小题满分 12 分)
-5-

解:(1)因为各组的频率和等于 1,故成绩在[70,80)内的频率为

f 4 =1-(0.01×2+0.015+0.020+0.005)×10
=0.4. ??????2 分

频率分布直方图如右图

??????4 分

依题意,60 分及以上的分数在第三、四、五、六段,故其频率和为 (0.02+0.04+0.01 +0.005)×10=0.75,所以抽样学生成绩的及格率是 75% ??????5 分

(2)因为成绩在[80,90)内的人数=0.01×10×60=6,所以成绩在[80,85)和[85,90)内的 人数分别为 4 人和 2 人. ??????6 分

假设[80,85)段的学生的编号为 1,2,3,4;[85,90)段的学生编号为 5,6. 记第一次抽到的学生编号为 x,第二次抽到的学生编号为 y,用数对(x,y)表示基本事件: (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6), (4,5),(4,6),(5,6),其基本事件总数 n=15. ??????9 分

记恰有 1 人成绩在[85,90)内的事件为 A.事件 A 包含基本事件:(1,5),(1,6),(2,5), (2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),事件 A 包含的基本事件数 m=8. 故所求概率为 P(A)= =

m 8 n 15

??????11 分 ??????12 分

8 故恰有 1 人的成绩在[85,90)内的概率是 15

18.(本小题满分 12 分) 解:(1)证明:连接 BD,交 AC 于点 O,连接 OP. 因为 P 是 DF 中点,O 为矩形 ABCD 对角线的交点, 所以 OP 为三角形 BDF 中位线, 所以 BF // OP, 因为 BF ? 平面 ACP,OP ? 平面 ACP, 所以 BF // 平面 ACP. ??????5 分
B E F P

A O C

D

(2)因为∠BAF=90?,所以 AF⊥AB, 又因为 平面 ABEF⊥平面 ABCD,且平面 ABEF ∩平面 ABCD= AB, 所以 AF⊥平面 ABCD,

-6-

从而 AF⊥CD 又因为四边形 ABCD 为矩形 所以 AD⊥CD 从而 CD⊥平面 FAD 所以∠CPD 就是直线 PC 与平面 FAD 所成角 又 Q sin ?CPD ? ??????8 分 ??????10 分 ???12 分

5 5 CD 2 ? PF ? ? , 且 CD ? 1 ? PD ? 2 2 CP 3

19.(本小题满分 12 分) 解: (1)设 x ? [?1,0] ,则 ? x ?[0,1] ,因为 f ( x) 定义 x ? [?1,1] 在偶函数, 所以 f ( x) ? f (? x) = ? x ? 2 2 ? x 。 所以 f ( x) ? ?

? ?x ? 2 2 ? x ? ?? x ? 2 2 ? x

x ? [0,1] x ? [?1, 0]

??????5 分

(2)因为对任意 x1 , x2 ? [?1,1] ,都有 g ( x 2 ) ? f ( x1 ) 成立, 所以 f ( x) max ? g ( x) min ??????6 分

又因为 f ( x) 是定义在 [ ?1,1] 的偶函数, 所以 f ( x) 在区间 [?1,0] 和区间 [0,1] 上的值域 相同。 当 x ? [0,1] 时 f ( x) ? x ? 2 2 ? x ,设 t ?

2? x ,
??????9 分

2 则 t ?[1, 2) ,函数化为 y ? 2 ? t ? 2t 则 f ( x) max ? 3

又 g ( x) min ? ?3a ? 6 所以 ?3a ? 6 ? 3 ? a ? 1 故 a 的取值范围为(0,1) 20.(本小题满分 13 分) 解: (1)当 n≥2 时,由 an?1 ? 2Sn ? 2 ,得 an ? 2Sn?1 ? 2 , 两式相减得 an?1 ? an ? 2(Sn ? Sn?1 ) ? 2an ,故 ??????12 分

an ?1 ? 3(n ? 2) , ????2 分 an

当 n ? 1 时, a2 ? 2S1 ? 2 ? 2a1 ? 2 ? 6 ,此时

a2 ? 3, a1
-7-

故当 n ? 1时,

a n ?1 ? 3 ,则数列 ?an ?是首项为 2,公比为 3 的等比数列, an
??????6 分 (没有检验当 n ? 1 时扣 1 分) ??????8 分

∴ an ? 2 ? 3n?1 . (2) bn ?

n n n n n . ? ? ? ? n ?1 n ?1 an an ? 2 2?3 2?3 2 ? 3n

1 1 2 n ( ? 2 ? ... ? n ) . 2 3 3 3 1 2 3 n 2 1 2 3 n 则 2Tn ? ? 2 ? 3 ? ... ? n . ①,则 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ... ? n ?1 . ② 3 3 3 3 3 3 3 3 3
所以 Tn ? 则①-②得:

1 1 [1 ? ( ) n ] 4 1 1 1 1 n 3 ? n ? 1 ? 2n ? 3 . Tn ? ? 2 ? 3 ? ... ? n ? n?1 ? 3 1 3 3 3 3 3 3 3n ?1 2 2 ? 3n?1 1? 3 3 2n ? 3 所以 Tn ? ? ??????13 分 8 8 ? 3n
21.(本小题满分 14 分) 解: (1) f ?( x) ?

x ? 2x ln x 1 ? 2ln x ? . x4 x3

??????2 分 ??????3 分

由 f ?( x) ? 0 得 x ? e ,

x
f ?( x)
f ( x)

(0, e )

e
0 极大值

( e , ??)
?
递减

?
递增

从而 f ( x) 在 (0, e ) 单调递增,在 ( e , ??) 单调递减.

f ( x)极大 ? f ( e ) ?

1 . 2e

??????6 分

(2)由(1)的结论知方程 f ( x) ? 方程 g ( x) ? txf ?( x) ?

a ? 0( a ? R ? ) 有唯一解 ? a ? 1 2e

????7 分

ax 2 ? 2tx ? t ? 0 有唯一解 x2

即 x2 ? 2t ln x ? 2tx ? 0( x ? 0) 有唯一解 设 G ( x) ? x2 ? 2t ln x ? 2tx ? 0( x ? 0)
2 令 G?( x) ? 0 则 x ? tx ? t ? 0

? G ?( x) ?

2 2 ( x ? tx ? t ) x

-8-

设 x 2 ? tx ? t ? 0 的两根为 x1 , x2 ,不妨设 x1 ? x2 ∵t ? 0

? x1 ? 0 ? x2

t ? t 2 ? 4t t ? t 2 ? 4t ? x1 ? , x2 ? 2 2

? G ( x) 在区间 (0, x2 ) 上递减,在区间 ( x2 , ??) 递增
从而 G ( x) 在 x ? x2 处取得极小值 要使 G ( x) ? x2 ? 2t ln x ? 2tx ? 0( x ? 0) 有唯一解,则 G( x2 ) ? 0 即: x22 ? 2t ln x2 ? 2tx2 ? 0 ①

Q G ( x) 在 x ? x2 处取得极小值

? x22 ? tx2 ? t ? 0 ②,由①②得: 2t ln x2 ? tx2 ? t ? 0
即: 2ln x2 ? x2 ? 1 ? 0

? x2 ? 1 ,

2 又∵ x2 是方程 x ? tx ? t ? 0 的根

?1 ? t ? t ? 0

从而 t ?

1 2

-9-


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