南充一中高二下学期期末复习数学(文)试题(三)

南充一中高二下学期期末复习数学(文)试题(三)
张军 一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。)

1.已知集合 A ? ?x ?1 ? x ? 2?, B ? ?x x ? 1?,则A ? ?CRB? =(



A. ?x x ? 1? B. ?x x ? 1?

2.复数 5i ? (



1? 2i

A. 2 ? i

B. ?2 ? i

C. ?x ? ? x ? 2? D. ?x ? ? x ? 2?

C.1? 2i

D. ?1? 2i

3.设 a,b ? R ,则“ a ? b ? 4 ”是“ a ? 2,且b ? 2 ”的(



A.必要不充分条件 C. 充分必要条件

B. 充分不必要条件 D. 既非充分又非必要条件

4. 在等差数列{an}中, a4 ? 2, a5 ? 4 ,记 an 的前 n 项和为 Sn ,则 S8 ? (



A.12

B.16

C .24

D.48

5. 已知 m, n 表示两条不同直线,? 表示平面,下列说法正确的是(



A.若 m //? , n //? , 则 m / /n B.若 m / /? , m ? n ,则 n ? ?

C.若 m ? ? , m ? n ,则 n / /? D.若 m ? ? , n ?? ,则 m ? n

6. 执行下面的框图,若输入的 N 是 6 ,则输出 p 的值是(



A.120

B.720

C.1440

D.5040

7. 如图所示为函数 f (x) ? 2sin(?x ? ?)(? ? 0, 0 ? ? ? π ) 的部分图像,其中 A,B 两点之间的距 2

离为 5,那么 f (?1) ? (



A.-1

B.1

C. ? 3

D. 3

8. 若 函 数 f ? x? ? kax ? a?x ?a ? 0且a ? 1?在???,? ?? 上 既 是 奇 函 数 又 是 增 函 数 , 则

g ? x? ? loga ? x ? k ? 的图象是(



-1-

A

B

C

D

9. 已知函数 f ? x? 对任意 x ? R ,都有 f ? x ? 6? ? f ? x? ? 0, 函数

y ? f ? x ?1? 的图像关于 ?1,0? 对称,且 f ?2? ? 4, 则 f ?2014? ? (



A. ?16

B. ?8

C. ?4

D. 4

10. 定义 f (x) ? g(x) ? h(x) 对任意 x ? D 恒成立,称 g(x) 在区间 D 上被 f (x), h(x) 所夹.

若 y ? ln x 在 ?0, ??? 被 y ? ? a 和 y ? (1? a)x 所夹,则实数 a 的取值范围(



x

A. (0, 2) e

B. (1 , e ?1) ee

C. (e ?1, 2) ee

D. ( 2 ,1) e

二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分。

11.对命题“ ?x ? R, 都有 x2 ? 0 ”的否定为________

1

12. log2

6

? log4

9?

2
27 3

? ?? ?

1 ??2 ?
4?

=________

13.已知向量

ar ,

r b

的夹角为

60°,且

ar

r ? 2, b

? 1,则

ar

?

r b

? ________

14.设VABC 的内角 A, B,C 所对边的长分别为 a,b, c . 若 b ? c ? 2a,

且 3sin A ? 5sin B, 则角 ?C ? ________

? ? 15. 已知集合 A ? f (x) f 2 (x) ? f 2 ( y) ? f (x ? y)gf (x ? y), x,y ? R ,

有下列命题:

①若

f

(x)

?

?1, x ???1,

?0 x?

,则 0

f

(x) ?

A ;②若

f

(x)

?

kx



f

(x) ?

A;

③若 f (x) ? A ,则 y ? f (x) 可为奇函数;

④若

f

(x) ?

A ,则对任意不等实数 x1, x2 ,总有

f

(x1) ? f (x2 ) x1 ? x2

?

0 成立.

其中所有正确命题的序号是________.(填上所有正确命题的序号)

-2-

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分.解答要写出文字说明,证明过程或演算步骤.

16.设 x ? R ,函数 f (x) ? cos x(2 3 sin x ? cos x) ? sin2 x .

(1)求函数 f (x) 的单调递增区间;

(2)若 f (? ) ? 1 , (? ? ? ? 2? ),求sin ? .

2 26

3

17.下图是从遂宁某中学参加高三体育考试的学生中抽出的 60 名学生体育成绩(均为整数)的 频率分布直方图,该直方图恰好缺少了成绩在区间[70,80)内的图形,根据图形的信息,回答 下列问题: (1)求成绩在区间[70,80)内的频率,并补全这个频率分布直方图;估计这次考试的及格率 (60 分及以上为及格); (2)假设成绩在[80,90)内的学生中有23的成绩在 85 分以下(不含 85 分),从成绩在[80,90) 内的学生中选出两人,求恰好有 1 人的成绩在[85,90) (含 85 分)内的概率.

18 . 在 如 图 所 示 的 几 何 体 中 , 四 边 形 ABCD 为 矩 形 , 平 面 ABEF ? 平 面

ABCD, EF // AB,?BAF ? 90o , AD ? 2, AB ? AF ? 2 EF ? 1,点 P 在棱 DF 上.

(1)若 P 为 DF 的中点,求证: BF //平面 ACP ;

(2)若直线 PC 与平面 FAD 所成角的正弦值为 2 ,求 PF 的长度. 3
F

E

P

A B

D
-3-
C

19. 已知定义在 x ?[?1,1]上的偶函数 f (x) 满足:当 x ?[0,1] 时, f (x) ? x ? 2 2 ? x . (1)求函数 f (x) 在 x ?[?1,1] 上的解析式; (2)设 g(x) ? ax ? 6 ? 2a(a ? 0) ,若对于任意 x1, x2 ?[?1,1],都有 g(x2 ) ? f (x1 ) 成立,
求实数 a 的取值范围.

20.设数列?an? 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 =2, an?1 ? 2Sn ? 2 .

(1)求数列?an? 的通项公式;

(2)若数列

?bn

?

的各项均为正数,且

?bn

?



n an



n an?2

的等比中项,求 bn

的前 n 项和为Tn ;

21.设函数

f

(x)

?

ln x x2

.

(1)求 f (x) 的极大值;

(2)当方程 f (x) ? a ? 0(a ? R? ) 有唯一解时,方程 2e

g(x)

?

txf

?(x) ?

ax2

? 2tx x2

?t

?

0

也有唯一解,求正实数 t

的值;

-4-

一、选择题(5×10=50 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A C D B A A C B

二、填空题(5? 5=25 分) 11. ?x0 ? R, 使得 x02 ? 0

12.-6

13. 3

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分.

14. 2 ? 3

15.②③

16.(本小题满分 12 分)

解:(1) f (x) ? cos x(2 3 sin x ? cos x) ? sin2 x ? 2 3 sin x cos x ? cos2 x ? sin2 x

? 3 sin 2x ? cos 2x ? 2sin(2x ? ? ) 6

………………3 分

由 2k? ? ? ? 2x ? ? ? 2k? ? ? , k ? z, 解得 k? ? ? ? x ? k? ? ? , k ? z

2

6

2

6

3

所以函数

f

(x)

的单调增区间是

???k?

?

? 6

,

k?

?

? 3

? ??

,

k?z.

………………6 分

(2)由 f (? ) ? 2sin(? ? ? ) ? 1 得 sin(? ? ? ) ? 1

2

62

64

由 ? ? ? ? 2? 得 0 ? ? ? ? ? ?

6

3

62

?cos(? ? ? ) ? 1? sin2 (? ? ? ) ? 15

6

64

………………9 分

sin ?

?

sin

???(?

?

? 6

)

?

? 6

)???

?

sin(?

?

? 6

)

cos

? 6

?

cos(?

?

? 6

) sin

? 6

= 1 ? 3 ? 15 ? 1 ? 3 ? 15

42 4 2

8

17.(本小题满分 12 分)

………………12 分

-5-

解:(1)因为各组的频率和等于 1,故成绩在[70,80)内的频率为

f4 =1-(0.01×2+0.015+0.020+0.005)×10

=0.4.

………………2 分

频率分布直方图如右图

………………4 分

依题意,60 分及以上的分数在第三、四、五、六段,故其频率和为(0.02+0.04+0.01

+0.005)×10=0.75,所以抽样学生成绩的及格率是 75%

………………5 分

(2)因为成绩在[80,90)内的人数=0.01×10×60=6,所以成绩在[80,85)和[85,90)内的

人数分别为 4 人和 2 人.

………………6 分

假设[80,85)段的学生的编号为 1,2,3,4;[85,90)段的学生编号为 5,6.

记第一次抽到的学生编号为 x,第二次抽到的学生编号为 y,用数对(x,y)表示基本事件:

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),

(4,5),(4,6),(5,6),其基本事件总数 n=15.

………………9 分

记恰有 1 人成绩在[85,90)内的事件为 A.事件 A 包含基本事件:(1,5),(1,6),(2,5),

(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),事件 A 包含的基本事件数 m=8.

故所求概率为 P(A)=mn=185

………………11 分

故恰有 1 人的成绩在[85,90)内的概率是185

………………12 分

18.(本小题满分 12 分)

解:(1)证明:连接 BD,交 AC 于点 O,连接 OP.

因为 P 是 DF 中点,O 为矩形 ABCD 对角线的交点, F

所以 OP 为三角形 BDF 中位线,

E P

所以 BF // OP,

A

D

因为 BF ? 平面 ACP,OP ? 平面 ACP,
B
所以 BF // 平面 ACP. ………………5 分

O C

(2)因为∠BAF=90?,所以 AF⊥AB,

又因为 平面 ABEF⊥平面 ABCD,且平面 ABEF ∩平面 ABCD= AB,

所以 AF⊥平面 ABCD,

-6-

从而 AF⊥CD

又因为四边形 ABCD 为矩形

所以 AD⊥CD

从而 CD⊥平面 FAD

………………8 分

所以∠CPD 就是直线 PC 与平面 FAD 所成角

………………10 分

又 Q sin ?CPD ? CD ? 2 , 且 CD ? 1? PD ? 5 ? PF ? 5 ………12 分

CP 3

2

2

19.(本小题满分 12 分)

解:(1)设 x ?[?1,0] ,则 ?x ?[0,1] ,因为 f (x) 定义 x ?[?1,1]在偶函数,

所以 f (x) ? f (?x) = ?x ? 2 2 ? x 。

所以

f

(x)

?

?? x ?

?

2

2?x

???x ? 2 2 ? x

x ?[0,1] x ?[?1, 0]

………………5 分

(2)因为对任意 x1, x2 ?[?1,1] ,都有 g(x2 ) ? f (x1 ) 成立,

所以 f (x)max ? g(x)min

………………6 分

又因为 f (x) 是定义在[?1,1] 的偶函数,所以 f (x) 在区间[?1,0] 和区间[0,1] 上的值域

相同。

当 x ?[0,1] 时 f (x) ? x ? 2 2 ? x ,设 t ? 2 ? x ,

则 t ?[1, 2) ,函数化为 y ? 2 ? t2 ? 2t 则 f (x)max ? 3 又 g(x)min ? ?3a ? 6 所以 ?3a ? 6 ? 3 ? a ? 1 故 a 的取值范围为(0,1)
20.(本小题满分 13 分)

………………9 分 ………………12 分

解:(1)当 n≥2 时,由 an?1 ? 2Sn ? 2 ,得 an ? 2Sn?1 ? 2 ,

两式相减得 an?1 ? an

? 2(Sn

?

Sn?1

)

?

2an

,故

an?1 an

? 3(n ? 2) ,

…………2 分

当n

? 1 时, a2

?

2S1

?2

?

2a1 ? 2

?

6 ,此时

a2 a1

? 3,

-7-

故当 n

? 1时,

an?1 an

?

3 ,则数列?an?是首项为

2,公比为

3

的等比数列,

∴ an ? 2?3n?1 .

………………6 分 (没有检验当 n ? 1 时扣 1 分)

(2) bn ?

n? n ? an an?2

n 2 ? 3n?1

?

2

n ? 3n?1

?

n 2? 3n

.

………………8 分

所以 Tn

?

1 2

(1 3

?

2 32

? ...?

n 3n

).

则 2Tn

?

1 3

?

2 32

?

3 33

? ...?

n 3n

.

①,则

2 3

Tn

?

1 32

?

2 33

?

3 34

? ...?

n 3n?1

.



则①-②得:

4 3

Tn

?

1 3

?

1 32

?

1 33

? ...?

1 3n

?

n 3n?1

?

1 [1? (1)n ] 33
1? 1

?

n 3n?1

?

1 2

?

2n ? 3 2 ? 3n?1

.

3

所以 Tn

?

3 8

?

2n ? 3 8? 3n

………………13 分

21.(本小题满分 14 分)

解:(1)

f

?(x)

?

x

?

2x ln x4

x

?

1?

2ln x3

x.

………………2 分

由 f ?(x) ? 0 得 x ? e,

………………3 分

x

(0, e)

e

( e, ??)

f ?(x)

?

0

?

f (x)

递增

极大值

递减

从而 f (x) 在 (0, e) 单调递增,在 ( e, ??) 单调递减.

1

f (x)极大 ? f (

e) ? . 2e

………………6 分

(2)由(1)的结论知方程 f (x) ? a ? 0(a ? R?) 有唯一解 ? a ?1 …………7 分 2e

方程

g(x)

?

txf

?(x) ?

ax2

? 2tx x2

?t

?

0 有唯一解

即 x2 ? 2t ln x ? 2tx ? 0(x ? 0) 有唯一解 设 G(x) ? x2 ? 2t ln x ? 2tx ? 0(x ? 0) 令 G?(x) ? 0 则 x2 ? tx ? t ? 0

?G?(x) ? 2 (x2 ? tx ? t) x

-8-

设 x2 ? tx ? t ? 0 的两根为 x1, x2 ,不妨设 x1 ? x2

∵ t ? 0 ? x1 ? 0 ? x2

? x1 ? t ?

t2 2

?

4t

,

x2

?

t

?

t2 ? 4t 2

?G(x) 在区间 (0, x2 ) 上递减,在区间 (x2, ??) 递增

从而 G(x) 在 x ? x2 处取得极小值

要使 G(x) ? x2 ? 2t ln x ? 2tx ? 0(x ? 0) 有唯一解,则 G(x2 ) ? 0 即: x22 ? 2t ln x2 ? 2tx2 ? 0 ①

Q G(x) 在 x ? x2 处取得极小值

? x22 ? tx2 ? t ? 0 ②,由①②得: 2t ln x2 ? tx2 ? t ? 0

即: 2 ln x2 ? x2 ?1 ? 0 ? x2 ? 1 ,

又∵ x2 是方程 x2 ? tx ? t ? 0 的根

?1?t ?t ? 0

从而 t ? 1 2

-9-


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