高中理科数学解题方法篇(化归思想)_图文

转化与化归思想

主干知识整合
转化与化归的思想, 就是在研究和解决数学问题时采用 某种方式,借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问 题通过变换加以转化, 进而达到解决问题的思想. 等价转化 有一些模式可以遵循, 总是将抽象转化为具体, 化复杂为简 单(高维向低维的转化,多元向一元的转化,高次向低次的 转化等)、化未知为已知.在用化归方法解题时要求我们的 思维一定要有灵活性、多样性、联想性、开放性,通过变换 迅速而合理地寻找和选择解决问题的途径和方法.

1.化归的常用模式

2.化归与转化应遵循的基本原则: (1)熟悉化原则:将陌生的问题转化为熟悉的问题,以利于我们运用熟知的知识、经 验和问题来解决; (2)简单化原则:将复杂的问题化归为简单问题,通过对简单问题的解决,达到解决 复杂问题的目的,或获得某种解题的启示和依据; (3)和谐化原则:化归问题的条件或结论,使其表现形式更符合数与形内部所表示的 和谐的形式,或者转化命题,使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维 规律; (4)直观化原则:将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决; (5)正难则反原则:当问题正面讨论遇到困难时,可考虑问题的反面,设法从问题的 反面去探求,使问题获解。

3.常见的化归方法 (1)换元法:例如利用“换元”将无理式化为有理式,高次 问题化为低次问题; (2)数形结合法:把形(数)转化为数(形),数形互补、互换 获得问题的解题思路; (3)向量法(复数法):把问题转化为向量(复数)问题; (4)参数法:通过引入参数,转化问题的形式,易于解决; (5)建模法:构造数学模型,把实际问题转化为数学问题或 把一类数学问题转化为另一类数学问题; (6)坐标法:以坐标为工具,实现“数”、“形”的对应、 转化;

(7)类比法:类比是根据两个对象或两类事物间存在着相同或不同 的属性,联想到另一类事物也可能具有某种属性的思想方法, 一般由特 殊向一般类比,抽象向具体类比,低维向高维类比,平行类比; (8)特殊化法:将一般问题特殊化,从特殊问题的解决中,寻找一 般问题的解题策略; (9)一般化方法:有时问题的本质特征可能被具体问题所掩盖,这 时应把特殊问题一般化,寻找解题思路; (10)加强命题法:即把命题结论加强为原命题的充分条件; (11)正与反的转化; (12)函数与方程、不等式之间的转化; (13)空间与平面之间的转化; (14)整体与局部的转化等等.

一、一般与特殊的转化
例1 过抛物线y ? ax2 ( a ? 0)的焦点F作一直线与抛物线交 1 1 于P、Q两点,若线段PF、FQ的长分别为p、q, 则 ? p q 的值为( ) 2   A. a B  a C    D   2a 4a 3
PF ? FQ ?

y F P o x Q

分析:令PQ特殊化,使其垂直于y轴,易求得 1 1 1 .得 ? =4a .答案选 D 2a p q

直线位置的特殊化, 使问题变得非常容易.体现出 了特殊化的强大威力!类似还有特殊值、特殊数列、特 殊函数、特殊图形等!

练习1[2010·安徽卷] 设{an}是任意等比数 列,它的前n项和,前2n项和与前3n项和分别 为X,Y,Z,则下列等式中恒成立的是( ) A.X+Z=2Y B.Y(Y-X)=Z(Z-X) C.Y2=XZ D.Y(Y-X)=X(Z-X)
(1)D 【解析】 取等比数列1,2,4,令n=1,得X=1, Y=3,Z=7代入验算,只有选项D满足. 【点评】 对于含有较多字母的客观题,可以取 满足条件的数字代替字母,代入验证,若能排除3个 选项,剩下唯一正确的就一定正确,若不能完全排除, 可以取其他数字验证继续排除.本题也可以用首项a1、 公比q和项数n表示代入验证得结论.

练习2
cos 2? ? cos 2 ? ? 120 ? ) ? cos 2 ? ? 240 ? ) ( ( 的值为( )

1 A -1 B 0 C   D 1 2
令? ? 0?,易得答案为B

5 (3) 【解析】 顶点 B 取椭圆短轴端点, B(0,3), sinA 即 则 4 B 3 B 4 B B 3 4 24 =sinC=cos = , sin = , ∴sinB=2sin cos =2× × = , 2 5 2 5 2 2 5 5 25 sinA+sinC 5 ∴ = . sinB 4

二、多元向少元转化

例2、已知 x ? 2)2 ? 2y 2 ? 1,则2y 2 ? 3x的最大值是 ____ (

解析   x ? 2) ? 2 y ? 1, ? (
2 2

? 2 y ? 1 ? ( x ? 2)
2

2

1 2 11 ? t ? 2 y ? 3 x ? ? x ? x ? 3 ? ?( x ? ) ? 2 4
2 2
?

又 ? (x ? 2) ? 1 ?1 ? x ? 3
2

1 2 11 ?函数t ? ?( x ? ) ? 在[1, 上单调递减 3] 2 4

?当x ? 1时,取得最大值 ? 3

三、数与形的转化

1、几何问题代数化
? 立体几何中用向量法求角求距离等

山东12高考18题

在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是等腰梯形,AB∥CD,∠ DAB=60°,FC⊥平面 ABCD,AE⊥BD,CB=CD=CF

(Ⅰ)求证:BD⊥平面 AED; (Ⅱ)求二面角 F-BD-C 的余弦值。
解析: (Ⅰ)在等腰梯形 ABCD 中,AB∥CD,∠DAB=60°,CB=CD, 由余弦定理可知 BD 2 ? CD2 ? CB 2 ? 2CD ? CB ? cos(180 0 ? ?DAB) ? 3CD 2 , 即 BD ? 3CD ? 3 AD ,在 ?ABD 中,∠DAB=60°,BD ? 3 AD ,则 ?ABD 为直角三角形,且 AD ? DB 。又 AE⊥BD, AD ? 平面 AED, AE ? 平 面 AED,且 AD ? AE ? A ,故 BD⊥平面 AED;

Ⅱ)由(Ⅰ)可知 AC ? CB ,设 CB ? 1 ,则 CA ? BD ? 3 ,建立如图所示 的空间直角坐标系, F (0,01), B(0,1,0), D(
BDC 的一个法向量.
? 3 3 ? m ?BD ? 0 ? ? x? y ? 0, 设向量 m ? ( x, y, z ) 为平面 BDF 的法向量, ? 则 ,即 ? 2 2 ?m ? FB ? 0 ? ? y?z ?0 ?
3 1 ,? ,0) ,向量 n ? (0,0,1) 为平面 2 2

取 y ? 1 ,则 x ? 3, z ? 1 ,则 m ? ( 3,1,1) 为平面 BDF 的一个法向量.
cos ? m, n ?? m ?n mn ? 1 5 ? 5 ,而二面角 F-BD-C 的平面角为锐角,则 5
5 。 5

二面角 F-BD-C 的余弦值为

2、代数问题几何化

四 正面与反面的转化
在处理某一问题时,按习惯思维从正面思考比较困难,这时 用逆向思维的方式从反面去考虑,往往使问题变得比较简单。

间?? 1, 1? 内至少有一个值c, 使f (c) ? 0, 求实数p的取值范围。
解:如果在[-1,1]内没有值满足f(c) >0
则 f(-1) ≤0 f(1) ≤0 p≤-1/2或p≥1 p≤-3或p≥3/2 ∴p≤-3或p≥3/2 取补集为-3<p<3/2,即为满足条件的p的取值范围。

例3.若二次函数f ( x) ? 4 x 2 ? 2( p ? 2) x ? 2 p 2 ? p ? 1在区

正难则反
-1 1

y



x

练习.若下列方程:x +4ax-4a+3=0,x +(a-1)x +a2=0,x2+2ax-2a=0 中至少有一个方程有实根,试求 实数 a 的取值范围.

2

2

?Δ1=16a2-4?-4a+3?<0, ? 设三个方程均无实根, ?Δ2=?a-1?2-4a2<0, 则有 ?Δ =4a2-4?-2a?<0. ? 3 1 ? 3 ?-2<a<2, ? 3 1 解得? 即- <a<-1. 2 ?a<-1或a>3, ? ?-2<a<0. 3 所以当 a≥-1 或 a≤- 时,三个方程至少有一个方程有 2 实根.

五、主与次的转化
利用主元与参变量的关系,视参变量为主元(即变量与主元的角 色换位)常常可以简化问题的解决,先看下面两题。

例 1: x 2 ? ax ? 2 ≤0 对 x ? [?1,1] 上恒成立,求实数 a 的取值范围. 例 2:对任何 a ? [?1,1] 函数 f ( x) ? x 2 ? (a ? 4) x ? 4 ? 2a 的值总大于 0,则实 数 x 的取值范围是:_______
y

对于例 1:令 f ( x) ? x ? ax ? 2 则从图像知
2

-1

o
-2

1

x

f (?1) ≤0
f (1) ≤0

-1≤a≤1

对于例 2:我们也可以转化为例 1 的形式 只需视 f (x) 为关于 a 的函数,问题就可以转化为例 1 的情况: 令 g ( x) ? ( x ? 2)a ? ( x ? 2) 2 ( x ? 2) 为关于 a 的一次函数, 由图像知 g (?1) >0
g (1) >0

? 或 x<1 或 x>3

练习

例4、若方程x 3 ? 3x ? a ? 0有三个相异的实数根,求a的取值范围.

六、函数与方程的转化

?2? a ? 2

如果是两个相异的根呢? a 一个呢?
函数与方程的转化
-1

? ?2或2

a ? 2或a ? ?2

y

2 1

o
-2

x

数与形的转化

七、命题与等价命题的化归

例 6 设 f(x)=2cos2x+cosx-1(0<x<π),若方程 f(x)=k(cosx-2)中的 cosx 有一正一负两个值, 求实 数 k 的取值范围.
【解答】 令 cosx=t, t∈(-1,1), 则由 f(x)=k(cosx-2), 得 2t2+(1-k)t+2k-1=0,(1) 方程 f(x)=k(cosx-2)中的 cosx 有一正一负两个值, 等价于关于 t 的方程(1)在 t∈(-1,1)中有两根异号. 设 g(t)=2t2+(1-k)t+2k-1, ?g?0?<0, ? 1 则原问题又等价于 ?g?-1?>0, 由此可得 0<k<2. ?g?1?>0, ?

备选题已知 f(x)是定义在实数集 R 上的奇函数, f(x)在[0, 且 +∞)上是增函数.是否存在实数 m,使 f(cos2θ-3)+f(4m ? π? -2mcosθ)>f(0)对所有的 θ∈ ?0, 2 ?均成立?若存在, 求出适 ? ? 合条件的实数 m;若不存在,请说明理由
【解答】由

f(x)是定义在实数集 R 上的奇函数可得 f(0)=0,

所以 f(x)在实数集 R 上是增函数. 又 f(x)在[0,+∞)上是增函数, ? π? 要使 f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)>f(0)对所有的 θ∈?0, 2 ? ? ? ? ? π ?0, ?恒成立. 均成立, 只需 f(cos2θ-3)>f(2mcosθ-4m)对 θ∈ 2
? ?

又 f(x)在实数集 R 上是增函数, 所以 cos2θ-3>2mcosθ-4m, ? π? 2 即 cos θ-mcosθ+2m-2>0 对 θ∈?0, ?恒成立 2? ? ? π? 所以问题转化为对一切的 令 cosθ=t,θ∈?0, 2 ?, 则 t∈[0,1], ? 2 ? t∈[0,1], 不等式 t -mt+2m-2>0 恒成立.即

t2-2 t2-2 t2-2 m> 对 t∈[0,1]恒成立, f(t)= 设 , 则 f(t)= = t-2 t-2 t-2

2 (t-2)+ +4 ≤4-2 2,当且仅当 t= 2- 2 时等号成立. t-2
所以 m>4-2 2, 所以存在实数 m 且 m>4-2 2,

使 f(cos2θ - 3) + f(4m - 2mcosθ)>f(0) 对 所 有 的 θ ∈ ? π? ?0, ?均成立. 2? ?

练习

5、

如果函数 f(x)=x2+bx+c 对任意实数 t 都有 f(2+t)=f(2-t),那么 f(2),f(1),f(4)的 大小关系是________.

解析:转化为在同一个单调区间上比较大小问题. 由 f(2+t)=f(2-t)知 f(x)的对称轴为 x=2. ∴f(x)在[2,+∞)上为单调增函数.
f(1)=f (2×2-1)=f(3) ∵f(2) <f(3)<f(4) ∴f(2)<f(1)<f(4). 答案:f(2)<f(1)<f(4)

6、 函数 f(x)=

x+ 1-x的值域为________.

解析:∵f(x)的定义域为 x∈[0,1],

?0≤α≤π?. ∴设 x=sin α? 2?
2

?α+π?∈[1, 2]. 则 f(x)=y=sin α+cos α= 2sin? 4?

选择题
1、 已知数列{an}对任意的 p,q∈N 满足 ap+q=ap+aq 且 a2=-6,那么 a10 等于(
*

)

A.-165
5 A.-1≤k≤ 4 5 C.0≤k≤ 4

B.-33

C.-30
5 B.- ≤k≤0 4 5 D.- ≤k≤1 4
B. 2-2 D.1- 2

D.-21

2.方程 sin2x+cos x+k=0 有解,则 k 的取值范围是

全国Ⅰ)设 a、b、c 是单位向量,有 a· b=0,则(a-c)· (b-c)的最小值为( 3、(2009· A.-2 C.-1

)

1、

解析:由 ap+q=ap+aq,a2=-6,得 a4=a2+a2=-12,同理 a8=a4+a4=-24,所 以 a10=a8+a2=-24-6=-30.

2、

解析:k=cos2x-cos x-1 1 5 =?cos x-2?2- ? ? 4 1 5 当 cos x= 时,kmin=- 2 4 当 cos x=-1 时,kmax=1, 5 ∴- ≤k≤1,故选 D. 4

3、 设 a=(1,0),b=(0,1),c=(cos θ,sin θ),则
(a-c)· (b-c)=(1-cos θ,-sin θ)· (-cos θ,1-sin θ)=1-sin θ-cos θ=1- 2 π sin?θ+4? ? ? π 因此当 sin?θ+4?=1 时,(a-c)· (b-c) 取到最小值 1- 2. ? ?


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