江苏省常州市武进区横山桥高级中学2013-2014学年高二上学期数学学案《第60课时 逆矩阵、特

基础训练 ?0 -1? 1.矩阵? ?的逆矩阵是________. ?1 0? ?1 2?对应的变换作用下得到点 P′,点 P′再经过矩阵 A-1 对应的 2.点 P(2,3)经矩阵 A=? ? ?3 4? 变换作用下得到点 P″,则点 P″的坐标是________. 2? ?1 ? 3.矩阵?5 ? -3?的特征值是________. ?2 ? ?1 1? 1 0? ? 2?,则(AB)-1=________. 4.若 A=? ?,B=? ? ? ?0 2? ?0 1? 重点讲解 1.矩阵的逆矩阵 (1)一般地, 设 ρ 是一个线性变换, 如果存在线性变换 σ, 使得 σρ=ρσ=I, 则称变换 ρ 可逆. 并 且称 σ 是 ρ 的逆变换. (2)设 A 是一个二阶矩阵,如果存在二阶矩阵 B,使得 BA=AB=E,则称矩阵 A________, 或称矩阵 A 是____________,并且称 B 是 A 的__________. (3)(性质 1)设 A 是一个二阶矩阵,如果 A 是可逆的,则 A 的逆矩阵是________.A 的逆矩阵 记为________. - (4)(性质 2)设 A,B 是二阶矩阵,如果 A,B 都可逆,则 AB 也可逆,且(AB) 1=__________. (5)已知 A,B,C 为二阶矩阵,且 AB=AC,若矩阵 A____________,则 B=C. -b d ?a b?(ad-bc≠0),它的逆矩阵为 A-1= ad-bc ad-bc . (6)对于二阶可逆矩阵 A=? ? ?c d ? -c a ad-bc ad-bc 2.二阶行列式与方程组的解 ? ?ax+by=m, ?a b?称为二阶行列式,它的运算 对于关于 x,y 的二元一次方程组? 我们把? ? ?c d ? ?cx+dy=n, ? ?a b?=ad-bc. 结果是一个________(或多项式),记为 det(A)=? ? ?c d ? ?a b?记为 D,?m b?记为 D ,?a m?记为 D ,则当 D≠0 时,方 若将方程组中行列式? ? ? ? ? ? x y ?c d ? ?n d ? ?c n ? Dx x= , D 程组的解为 Dy y= . D ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.二阶矩阵的特征值和特征向量 (1)特征值与特征向量的概念 设 A 是一个二阶矩阵,如果对于实数 λ,存在一个非零向量 α,使得 Aα=λα,那么 λ 称为 A 的一个________,α 称为 A 的一个属于特征值 λ 的一个__________. (2)特征多项式 ?a b? 的一个特征值,它的一个特征向量为 α = ?x? ,则 A ?x? = 设 λ 是二阶矩阵 A = ? ? ?? ?? ?c d ? ?y? ?y? ?ax+by=λx, ??λ-a?x-by=0, ? ? ________________,即? 也即? (*) ? ? ?cx+dy=λy, ?-cx+?λ-d?y=0. 定义:设 A=? ?a b? 是 一 个 二 阶 矩 阵 , λ ∈ R , 我 们 把 行 列 式 f(λ) = ?λ-a -b? = ? ? ? ?c d ? ?-c λ-d ? __________________________称为 A 的特征多项式. (3)矩阵的特征值与特征向量的求法 如果 λ 是二阶矩阵 A 的特征值,则 λ 一定是二阶矩阵 A 的特征多项式的一个根,即 f(λ)=0, ?x0? ?x0? 此时,将 λ 代入二元一次方程组 (*),就可得到一组非零解? ?,于是非零向量? ?即为 A ?y0? ?y0? 的属于 λ 的一个______________. 典题拓展 ?1 0?,B=?0 -1?,求(AB)-1. 例 1 已知矩阵 A=? ? ? ? ?0 2? ?1 0? ?1? 例 2 已知二阶矩阵 M 有特征值 λ=8 及对应的一个特征向量 e1=? ?,并且矩阵 M 对应的变 ?1? 换将点(-1,2)变换成(-2,4). (1)求矩阵 M; (2)求矩阵 M 的另一个特征值,及对应的一个特征向量 e2 的坐标之间的关系; (3)求直线 l:x-y+1=0 在矩阵 M 的作用下的直线 l′的方程. ?8 -5? ?7? 变式: 矩阵 M=? ?,向量 X=? ?,求 M4X. ?8? ?6 -3? 例 3 在军事密码学中,密码发送的数学原理是:发送方将要传送的信息数字化后用一个矩 阵 X 表示(不足的元素可以补上 0,字与字之间的空格也以 0 记,且以密码先后顺序按列组 成矩阵),在矩阵的左边乘上一个双方约定的可逆矩阵 A,得到 B=AX,则 B 即为传送出去 - - 的密码, 接收方收到密码后, 只需左乘 A 的逆矩阵 A 1, 即可得到发送出去的明码 X=A 1B. 不妨以二阶矩阵为例,先将英文字母数字化,让 a→1,b→2,…,z→26.现已知发送方传出 ?2 3?,试破解发送的密码. 的密码为 7,13,39,67,双方约定的可逆矩阵为? ? ?4 5? 变式:现用矩阵对信息进行加密后传递,规定英文字母数字化为:a→1,b→2,…,z→26, ?1 4?,发送方传递的密码为 67,30,31,8,密码按列组成矩阵,此组密码 双方约定的矩阵为? ? ?0 2? 所发信息为________. 巩固迁移 c? ?a 3?的逆矩阵 A-1=?b 1. 设可逆矩阵 A=? 则 a, b, c 的值分别为________, ________, ? ? ?, ?4 5? ?a -1? ________. ?3 2?的逆矩阵 A-1=______. 2.矩阵 A=? ? ?2 1? ? 22x- 22y=-1, 3. 已知二元一次方程组? 2 2 ? 2 x+ 2 y=1, 从线性变换的角度求解时应把向量? ?-1? ?绕原 ? 1? 点作

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