【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 3.3.2 函数的极值与导数教案 新人教A版选修1-1

3.3.2

函数的极值与导数

(教师用书独具)

●三维目标 1.知识与技能 了解函数极值的概念,会从几何直观理解函数的极值与其导数的关系,并会灵活应用; 了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件. 2.过程与方法 通过对具体问题的观察、 分析来增强学生数形结合的思维意识, 提高学生运用导数的基 本思想去分析和解决实际问题的能力,及灵活运用类比、归纳、化归等数学方法的能力. 3.情感、态度与价值观 通过设立问题情境,激发学生的学习动机和好奇心理,使其主动参与交流活动.通过对 问题的提出、思考、解决培养学生自信、自立、自强的优良心理品质.通过教师对例题的讲 解培养学生良好的学习习惯及科学的学习态度. ●重点、难点 重点:函数的极值的判断方法及求函数极值的步骤. 难点:函数在某点取得极值必要条件和充分条件. 观察图象特征、自主探究、小组合作总结归纳出求极值方法步骤,并了解极值存在的充 分条件和必要条件,从而突破重点、难点.

(教师用书独具)

●教学建议 本节课力在突出“以学生为主体”的教学理念. 以问题探究为主要形式, 依照学生的认 知规律, 采用自主学习与合作探究相结合的模式. 教师在整堂课中引导着学生探索出函数的
1

极值与导数的关系.对于检验学生学习的效果,采用问题和练习的形式给予检查和纠正. 本着“学生是教学活动出发点, 也是教学活动的落脚点”的教学思想, 在整个教学活动 中,不断激发学生的学习兴趣,让学生真正的参与到知识的成长过程.主要从以下几个方面 对学生进行指导: (1)引导学生观察图象, 产生认知冲突. 极值好像是最值, 又不是最值. (2) 激发探究欲望.学生产生疑问之后,指导学生思考怎样解决问题,培养学生的分析和解决问 题的能力.(3)指导学生合作探究,小组讨论并得出结论. ●教学流程 创设问题情境,引出问题:在x=a?b?点附近,函数值有何特点? 引导学生结合给出图象,观察、比较、分析,导出问题答案,给出极值概念. 通过引导学生回答所提问题,理解极大值与极小值大小的辩证关系. 通过例1及其变式训练,使学生掌握求函数极值的步骤和方法. 通过例2及其变式训练,使学生掌握已知函数的极值求参数的方法. 通过例3及其变式训练,理解极值的含义,并学会通过极值解决综合问题. 归纳整理,进行课堂小结,整体认识本节课所学知识. 完成当堂双基达标,巩固所学知识并进行反馈矫正. ? ? ? ? ? ? ?

(对应学生用书第 58 页)

1.理解极值的定义.(难点) 课标解读 2.掌握利用导数求函数极值的步骤,能熟练地求函数的极 值.(重点) 3.会根据函数的极值求参数的值.(难点)

极值点与极值 【问题导思】 函数 y=f(x)的图象如图所示.
2

1.函数在 x=a 点的函数值与这点附近的函数值有什么大小关系? 【提示】 函数在点 x=a 的函数值比它在点 x=a 附近的其他点的函数值都小 . 2.f′(a)为多少?在点 x=a 附近,函数的导数的符号有什么规律? 【提示】 f′(a)=0,在点 x=a 附近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0. 3.函数在 x=b 点处的情况呢? 【提示】 函数在点 x=b 的函数值 f(b)比它在点 x=b 附近其他点的函数值都大, f′(b) =0,且在点 x=b 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0. 1.极小值点与极小值 函数 y=f(x)在点 x=a 的函数值 f(a)比它在点 x=a 附近其他点的函数值都小, f′(a) =0;而且在点 x=a 附近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0.则把点 a 叫做函数 y=f(x)的 极小值点,f(a)叫做函数 y=f(x)的极小值. 2.极大值点与极大值 函数 y=f(x)在点 x=b 的函数值 f(b)比它在点 x=b 附近其他点的函数值都大, f′(b) =0;而且在点 x=b 的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0.则把点 b 叫做函数 y=f(x)的极大 值点,f(b)叫做函数 y=f(x)的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点,极大值和极小 值统称为极值. 【问题导思】 函数的极大值一定大于极小值吗?

【提示】 不一定,极值刻画的是函数的局部性质,反映了函数在某一点附近的大小情况, 极 小 大 值 可 能 比 极 小 值 还 .

(对应学生用书第 58 页)

求函数的极值 求下列函数的极值点和极值.
3

1 3 2 (1)f(x)= x -x -3x+3; 3 3 (2)f(x)= +3ln x.

x

【思路探究】

求导 原函数 ― ― → 导函数 ― → f′?x?=0的点x0

判断两侧符号 ― ― → 极值 【自主解答】 (1)f′(x)=x -2x-3. 令 f′(x)=0,得 x1=3,x2=-1,如下表所示:
2

x f′(x) f(x)

(-∞,-1) + ?

-1 0 14 极大值 3

(-1,3) - ?

3 0 极小值-6

(3,+∞) + ?

14 ∴f(x)极大值= ,f(x)极小值=-6. 3 3 (2)函数 f(x)= +3ln x 的定义域为(0,+∞),

x
3

f′(x)=- 2+ = x x

3

3?x-1? , 2

x

令 f′(x)=0 得 x=1. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x f′(x) f(x)

(0,1) - ?

1 0 极小值 3

(1,+∞) + ?

因此当 x=1 时,f(x)有极小值,并且 f(1)=3.

1.求函数的极值首先要求函数的定义域,然后求 f′(x)=0 的实数根,当实数根较多 时,要充分利用表格,使极值点的确定一目了然. 2.函数极值和极值点的求解步骤: ①确定函数的定义域; ②求方程 f′(x)=0 的根; ③用方程 f′(x)=0 的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间,并列成表格; ④由 f′(x)在方程 f′(x)=0 的根左右的符号, 来判断 f(x)在这个根处取极值的情况.
4

8 求函数 y=2x+ 的极值.

x

【解】 函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).

y′=2- 2,令 y′=0,得 x=±2. x
当 x 变化时,y′、y 的变化情况如下表:

8

x y′ y

(-∞,-2) + ?

-2 0 -8

(-2,0) - ?

(0,2) - ?

2 0 8

(2,+∞) + ?

由表知:当 x=-2 时,y 极大值=-8; 当 x=2 时,y 极小值=8. 由函数的极值求参数 2 3 3 2 已知 f(x)=x +ax +bx+c 在 x=1 与 x=- 时都取得极值,且 f(-1)= , 3 2 求 a、b、c 的值. 2 3 【思路探究】 (1)函数在 x=1 和 x=- 时都取得极值,说明 f′(1)与 f′(- )的结 3 2 果怎样?(2)你能由已知条件列出方程组求解 a、b、c 吗? 【自主解答】 f′(x)=3x +2ax+b, 2 令 f′(x)=0,由题设知 x=1 与 x=- 为 f′(x)=0 的解. 3 2 2 ? ?1-3=-3a, ∴? 2 b 1×?- ?= . ? ? 3 3 1 解得 a=- ,b=-2. 2 ∴f′(x)=3x -x-2. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
2 2

x f′=(x) f(x)

2 (-∞,- ) 3 + ?

- 0

2 3

2 (- ,1) 3 - ?

1 0 3 - +c 2

(1,+∞) + ?

22 +c 27

2 由上表知,函数在 x=1 与- 处取得极值. 3
5

1 ∴a=- ,b=-2. 2 1 2 3 ∴f(x)=x - x -2x+c, 2 1 3 由 f(-1)=-1- +2+c= , 2 2 得 c=1.

已知函数的极值情况,逆向应用来确定参数或求解析式时应注意两点: (1)常根据极值点处导数为 0 和极值两条件列出方程组,用待定系数法求解. (2)因为导数值为 0 不一定此点就是极值点,故利用上述方程组解出的解必须验证.

已知 f(x)=x +3ax +bx+a 在 x=-1 和 x=3 处有极值,求 a、b 的值. 【解】 由 f(x)=x +3ax +bx+a ,得 f′(x)=3x +6ax+b. 又 f(x)在 x=-1 和 x=3 处有极值, ∴f′(-1)=3+b-6a=0,①
3 2 2 2

3

2

2

f′(3)=27+18a+b=0.②
联立①②,得?
2

? ?a=-1, ?b=-9. ?

∴f′(x)=3x -6x-9=3(x+1)(x-3). 当 x 变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下:

x f′(x) f(x)

(-∞,-1) + ?

-1 0 极大

(-1,3) - ?

3 0 极小

(3,+∞) + ?

∴f(x)在-1,3 处取极值, ∴a=-1,b=-9 符合题意. 函数极值的综合应用 已知函数 f(x)=x -3ax-1(a≠0).若函数 f(x)在 x=-1 处取得极值,直线
3

y=m 与 y=f(x)的图象有三个不同的交点,求 m 的取值范围.
【思路探究】 (1)能否由已知条件求出 a 值,确定 f(x)?(2)直线 y=m 与 y=f(x)的 图象有三个不同交点的含义是什么?如何用数形结合求出 m 的范围? 【自主解答】 ∵f(x)在 x=-1 处取得极值, ∴f′(-1)=3×(-1) -3a=0,∴a=1. ∴f(x)=x -3x-1,f′(x)=3x -3,
6
3 2 2

由 f′(x)=0 解得 x1=-1,x2=1. 当 x<-1 时,f′(x)>0; 当-1<x<1 时,f′(x)<0; 当 x>1 时,f′(x)>0. ∴由 f(x)的单调性可知, f(x)在 x=-1 处取得极大值 f(-1)=1, 在 x=1 处取得极小 值 f(1)=-3. ∵直线 y=m 与函数 y=f(x)的图象有三个不同的交点, 又 f(-3)=-19<-3,f(3)=17>1, 结合 f(x)的单调性可知,m 的取值范围是(-3,1).

1.解答本题的关键是运用数形结合的思想将函数的图象与其极值建立起关系. 2.极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用与逆用,以及与单调性问题的综合,题 目着重考查已知与未知的转化, 以及函数与方程的思想、 分类讨论的思想在解题中的应用. 在 解题过程中,熟练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键.

已知 a 为实数,函数 f(x)=-x +3x+a. (1)求函数 f(x)的极值,并画出其图象(草图); (2)当 a 为何值时,方程 f(x)=0 恰好有两个实数根? 【解】 (1)由 f(x)=-x +3x+a,得 f′(x)=-3x +3, 令 f′(x)=0,得 x=1 或 x=-1. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
3 2

3

x f′(x) f(x)

(-∞,-1) - ?

-1 0

(-1,1) + ?

1 0

(1,+∞) - ?

a-2

a+2

由表可知函数 f(x)的极小值为 f(-1)=a-2; 极大值为 f(1)=a+2. 由单调性、极值可画出函数 f(x)的大致图象, 如图所示,这里,极大值 a+2 大于极小值 a-2.

(2)结合图象,当极大值 a+2=0 时,有极小值小于 0,此时曲线 f(x)与 x 轴恰有两个 交点,即方程 f(x)=0 恰有两个实数根,所以 a=-2 满足条件;
7

当极小值 a-2=0 时,有极大值大于 0,此时曲线 f(x)与 x 轴恰有两个交点,即方程

f(x)=0 恰好有两个实数根,所以 a=2 满足条件.
综上,当 a=±2 时,方程恰有两个实数根.

8

(对应学生用书第 60 页)

因未验根而致误 已知 f(x)=x +3ax +bx+a 在 x=-1 时有极值 0,求常数 a、b 的值. 【错解】 因为 f(x)在 x=-1 时有极值 0 且 f′(x)=3x +6ax+b, 所以?
?f′?-1?=0, ? ? ?f?-1?=0, ? ?a=1, ?b=3, ? ?3-6a+b=0, ? 即? 2 ? ?-1+3a-b+a =0,
2 3 2 2

解得?

或?

? ?a=2, ?b=9. ?

【错因分析】 解出 a, b 值后, 未验证 x=-1 两侧函数的单调性而导致产生增根致误. 【防范措施】 可导函数在 x0 处的导数为 0 是该函数在 x0 处取得极值的必要不充分条 件,而并非充要条件,故由 f′(x)=0 而求出的参数需要检验,以免出错. 【正解】 因为 f(x)在 x=-1 时有极值 0,且 f′(x)=3x +6ax+b. ∴?
? ?f′?1?=0, ?f?-1?=0, ? ? ?a=1, ?b=3, ? ? ?3-6a+b=0, 即? 2 ?-1+3a-b+a =0, ?
2

解得?

或?

? ?a=2, ?b=9. ?

当 a=1,b=3 时,

f′(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0,
所以 f(x)在 R 上为增函数,无极值,故舍去. 当 a=2,b=9 时,

f′(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3).
当 x∈(-∞,-3)时,f(x)为增函数; 当 x∈(-3,-1)时,f(x)为减函数; 当 x∈(-1,+∞)时,f(x)为增函数. 所以 f(x)在 x=-1 时取得极小值, 因此 a=2,b=9.

9

1.极值是一个局部概念.由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较 是最大或最小,并不意味着它在函数的整个定义域内是最大或最小.极值是不唯一的,极大 值与极小值之间也无确定的大小关系. 2.极大值点可以看成是函数的单调递增区间与单调递减区间的分界点,极小值点可以 看成是函数的单调递减区间与单调递增区间的分界点. 3.可导函数 f(x)求极值的一般步骤: (1)确定函数的定义区间,求导数 f′(x); (2)求方程 f′(x)=0 的根; (3)用函数的导数为 0 的点, 顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间, 并列成表格; (4)检查 f′(x)在方程根的左右的值的符号, 如果左正右负, 那么 f(x)在这个根处取得 极大值; 如果左负右正, 那么 f(x)在这个根处取得极小值; 如果左右不改变符号, 那么 f(x) 在 值 这 个 根 处 无 极 .

(对应学生用书第 60 页)

10

1.下列说法正确的是(

)

A.函数在闭区间上的极大值一定比极小值大 B.函数在闭区间上的极大值一定比极小值小 C.函数 f(x)=|x|只有一个极小值 D.函数 y=f(x)在区间(a,b)上一定存在极值 【解析】 函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系,单调函数在区间(a,b)上没 有极值,故 A、B、D 错误,C 正确,函数 f(x)=|x|只有一个极小值为 0. 【答案】 C 2.函数 f(x)的定义域为区间(a,b),导函数 f′(x)在(a,b)内的图象如图 3-3-5 所示,则函数 f(x)在(a,b)内的极小值的个数为( )

图 3-3-5 A.1 C.3 【解析】 在(a,b)内,f′(x)=0 的点有 A、B、O、C. 要为函数的极小值点,则在该点处的左、右两侧导函数的符号满足左负右正,只有点 B 符合. 【答案】 A 3.函数 y=f(x)是定义在 R 上的可导函数,则 f′(x0)=0 是 x0 为函数 y=f(x)的极值 点的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要 B.2 D.4

A.充分不必要条件 C.充要条件 条件

【解析】 f′(x0)=0? / y=f(x)在 x0 处有极值,但 y=f(x)在 x0 处有极值? f′(x0) =0,应选 B. 【答案】 B 1 4.求函数 y=x+ 的极值.

x

1 x -1 【解】 y′=1- 2= 2 ,令 y′=0 解得 x=±1,而原函数的定义域为{x|x≠0},

2

x

x

11

∴当 x 变化时,y′,y 的变化情况如下表:

x y′ y

(-∞,-1) + ?

-1 0 极大值

(-1,0) - ?
极 大 值

(0,1) - ?

1 0 极小值

(1,+∞) + ?
极 小 值

所 以 当 x = - 1 时 , y 2.

= - 2 , 当 x = 1 时 , y



(对应学生用书第 111 页)

一、选择题 1.已知函数 f(x),x∈R,有唯一极值,且当 x=1 时,f(x)存在极小值,则( A.当 x∈(-∞,1)时,f′(x)>0;当 x∈(1,+∞)时,f′(x)<0 B.当 x∈(-∞,1)时,f′(x)>0;当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0 C.当 x∈(-∞,1)时,f′(x)<0;当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0 D.当 x∈(-∞,1)时,f′(x)<0;当 x∈(1,+∞)时,f′(x)<0 【解析】 f(x)在 x=1 时存在极小值,则当 x<1 时,f′(x)<0,当 x>1 时,f′(x) >0,应选 C. 【答案】 C )

图 3-3-6 2.(2013·青岛高二检测)已知函数 f(x)=ax +bx +c,其导函数 f′(x)的图象如图 3 -3-6 所示,则函数 f(x)的极小值是( A.a+b+c C.3a+2b B.3a+4b+c D.c )
3 2

【解析】 由 f′(x)的图象可知,当 x=0 时,函数取得极小值,f(x)极小值=c. 【答案】 D 3.函数 f(x)=x -3x +3x( A.x=1 时,取得极大值
12
3 2

)

B.x=1 时,取得极小值 C.x=-1 时,取得极大值 D.无极值点 【解析】 f′(x)=3x -6x+3=3(x-1) ≥0 恒成立. ∴f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,f(x)无极值. 【答案】 D 4.(2013·临沂高二检测)已知函数 f(x)=x +ax +3x+5 在 x=-3 时取得极值,则 a =( ) A.2 B.3
2 3 2 2 2

C.4

D.5

【解析】 f′(x)=3x +2ax+3,由题意:f′(-3)=27-6a+3=0 ∴a=5.应选 D. 【答案】 D 5.如图 3-3-7 所示是函数 f(x)=x +bx +cx+d 的大致图象,则 x1+x2等于(
3 2 2 2

)

图 3-3-7 A. 2 3 4 B. 3
3

8 C. 3
2

12 D. 3

【解析】 函数 f(x)=x +bx +cx+d 图象过点(0,0),(1,0),(2,0),得 d=0,b+c +1=0,4b+2c+8=0,则 b=-3,c=2,f′(x)=3x +2bx+c=3x -6x+2,且 x1,x2 是 函数 f(x)=x +bx +cx+d 的两个极值点, 即 x1, x2 是方程 3x -6x+2=0 的实根, x1+x2= 4 8 2 (x1+x2) -2x1x2=4- = . 3 3 【答案】 C 二、填空题 6.若函数 y=-x +6x +m 的极大值为 13,则实数 m 等于________. 【解析】 y′=-3x +12x=-3x(x-4). 令 y′=0 得 x1=0,x2=4. 列表可知 y 极大=f(4)=32+m=13. ∴m=-19. 【答案】 -19 7.若 f(x)=x +3ax +3(a+2)x+1 有极大值和极小值,则 a 的取值范围是________. 【解析】 f′(x)=3x +6ax+3(a+2), 由题意 f′(x)=0 有两个不等的实根,
13
2 3 2 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2

故 Δ =(6a) -4×3×3(a+2)>0,解之得 a>2 或 a<-1. 【答案】 (-∞,-1)∪(2,+∞) 8.(2013·昆明高二检测)如果函数 y=f(x)的导函数的图象如图 3-3-8 所示,给出 下列判断:

2

图 3-3-8 1 (1)函数 y=f(x)在区间(-3,- )内单调递增; 2 1 (2)函数 y=f(x)在区间(- ,3)内单调递减; 2 (3)函数 y=f(x)在区间(4,5)内单调递增; (4)当 x=2 时,函数 y=f(x)有极小值; 1 (5)当 x=- 时,函数 y=f(x)有极大值. 2 则上述判断中正确的是________. 【解析】 由导函数的图象知: 当 x∈(-∞,-2)时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当 x∈(-2,2)时,f′(x)>0,f(x)单调递增; 当 x∈(2,4)时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当 x∈(4,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增; 在 x=-2 时,f(x)取极小值; 在 x=2 时,f(x)取极大值; 在 x=4 时,f(x)取极小值; 所以只有(3)正确. 【答案】 (3) 三、解答题 9.求下列函数的极值. (1)f(x)=x -12x;(2)f(x)=
3

2x -2. x2+1

【解】 (1)函数 f(x)的定义域为 R.

f′(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2).
令 f′(x)=0,得 x=-2 或 x=2. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

14

x f′(x) f(x) f(-2)=16 f(2)=-16

(-∞,-2) + ? ? ?

-2 0 极大值 极小值

(-2,2) -

2 0

(2,+∞) +

所以当 x=-2 时,函数有极大值, 且 f(-2)=(-2) -12×(-2)=16; 当 x=2 时,函数有极小值, 且 f(2)=2 -12×2=-16. (2)函数的定义域为 R.
3 3

f′(x)=

2?x +1?-4x 2?x-1??x+1? =- . 2 2 2 2 ?x +1? ?x +1?

2

2

令 f′(x)=0,得 x=-1 或 x=1. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x f′(x) f(x)
-3 -1

(-∞,-1) - ? ? ?

-1 0 极小值 极大值

(-1,1) +

1 0

(1,+∞) -

所以当 x=-1 时,函数有极小值, -2 且 f(-1)= -2=-3; 2 当 x=1 时,函数有极大值; 2 且 f(1)= -2=-1. 2 10.设 x=1 与 x=2 是函数 f(x)=aln x+bx +x 的两个极值点. (1)试确定常数 a 和 b 的值; (2)判断 x=1,x=2 是函数 f(x)的极大值点还是极小值点,并说明理由. 【解】 (1)因为 f(x)=aln x+bx +x, 所以 f′(x)= +2bx+1. 由极值点的必要条件可知:f′(1)=f′(2)=0,
2 2

a x

a+2b+1=0, ? ? 即?a +4b+1=0, ? ?2
15

2 1 解方程组得 a=- ,b=- . 3 6 2 1 2 (2)由(1)知 f(x)=- ln x- x +x(x>0). 3 6

f′(x)=- x-1- x+1.
当 x∈(0,1)时,f′(x)<0; 当 x∈(1,2)时,f′(x)>0; 当 x∈(2,+∞)时,f′(x)<0. 5 4 2 故在 x=1 处函数 f(x)取得极小值 ,在 x=2 处函数取得极大值 - ln 2. 6 3 3 所以 x=1 是函数 f(x)的极小值点,x=2 是函数 f(x)的极大值点. 11.设 a 为实数,函数 f(x)=x -x -x+a. (1)求 f(x)的极值; (2)当 a 在什么范围内取值时,曲线 y=f(x)与 x 轴仅有一个交点? 【解】 (1)f′(x)=3x -2x-1. 1 令 f′(x)=0,则 x=- 或 x=1. 3 当 x 变化时 f′(x)、f(x)变化情况如下表:
2 3 2

2 3

1 3

x f′(x) f(x)

?-∞,-1? ? ? 3? ?
+ ?

- 0

1 3

?-1,1? ? 3 ? ? ?
- ?

1 0 极小值

(1,+∞) + ?

极大值

? 1? 5 所以 f(x)的极大值是 f?- ?= +a, ? 3? 27
极小值是 f(1)=a-1. (2)函数 f(x)=x -x -x+a=(x-1) (x+1)+a-1, 由此可知 x 取足够大的正数时有 f(x)>0, x 取足够小的负数时有 f(x)<0, 所以曲线 y =f(x)与 x 轴至少有一个交点. 5 因此若 y=f(x)与 x 轴仅有一个交点,应有 +a<0 或 a-1>0. 27
3 2 2

16

5? ? 所以当 a∈?-∞,- ?∪(1,+∞)时曲线 y=f(x)与 x 轴仅有一个交点. 27? ?

(教师用书独具)

已知函数 f(x)=ax +bln x,其中 ab≠0,求证:当 ab>0 时,函数 f(x)没有极值点. 【证明】 ∵f(x)=ax +bln x(ab≠0) ∴f(x)的定义域为(0,+∞)
2

2

b 2ax2+b f′(x)=2ax+ = x x
当 ab>0 时,若 a>0,b>0,则 f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上是单调递增的;若 a <0,b<0,则 f′(x)<0,f(x)在(0,+∞)上是单调递减的. ∴当 ab>0 时,函数 f(x)没有极值点.

已知函数 f(x)=ax +bln x,其中 ab≠0,求函数有极值时 a、b 满足的条件. 【解】 f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=2ax+ =
2

2

b 2ax2+b . x x

若函数 f(x)有极值,首先 f′(x)=0,即 2ax +b=0 在(0,+∞)上有根. 因为 ab≠0,x =- ,所以当 ab<0 时, 2a 2ax +b=0 在(0,+∞)上有根 x= 又当 a>0,b<0 时,f′(x)在 x= = - 取得极小值; 2a 当 a<0,b>0 时,f′(x)在 x= = - 取得极大值. 2a - 两侧的符号是左正右负,此时函数 f(x)在 x 2a
2 2

b

- . 2a - 两侧的符号是左负右正,此时函数 f(x)在 x 2a

b

b

b

b

b

17

综上,函数 f(x)=ax +bln x(ab≠0)有极值时,a,b 所满足的条件是 ab<0.

2

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