天津市塘沽区紫云中学高三数学总复习 2.7 函数与方程

2.7

函数与方程

(时间:45 分钟 满分:100 分) 一、选择题(每小题 7 分,共 35 分) 3 1.在以下区间中,存在函数 f(x)=x +3x-3 的零点的是 A.[-1,0] B.[1,2] C.[0,1] D.[2,3] -x 2 2.方程 2 +x =3 的实数解的个数为 A.2 B.3 C.1 D.4
?ln x+2x- ? 3.函数 f(x)=? ? ?-x x+

(

)

(

)

x x

的零点的个数是

( ) A.0 B.1 C.2 D.3 2 2 4.方程|x -2x|=a +1 (a>0)的解的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 x 5.(2010·天津)函数 f(x)=e +x-2 的零点所在的一个区间是 ( ) A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2) 二、填空题(每小题 6 分,共 24 分) 6.函数 f(x)=3x-7+ln x 的零点位于区间(n,n+1) (n∈N)内,则 n=________. 2 7. 已知函数 f(x)=x +(1-k)x-k 的一个零点在(2,3)内, 则实数 k 的取值范围是________. 2 8 .若函数 f(x) = x + ax + b 的两个零点是- 2 和 3 ,则不等式 af( - 2x)>0 的解集是 __________.

三、解答题(共 41 分) 2 10.(13 分)关于 x 的二次方程 x +(m-1)x+1=0 在区间[0,2]上有解,求实数 m 的取值范 围. x x 11.(14 分)已知函数 f(x)=4 +m·2 +1 有且仅有一个零点,求 m 的取值范围,并求出该零 点. 2 12.(14 分)(1)m 为何值时,f(x)=x +2mx+3m+4. ①有且仅有一个零点;②有两个零点且均比-1 大; 2 (2)若函数 f(x)=|4x-x |+a 有 4 个零点,求实数 a 的取值范围.

答案 1.C 2.A 3.D 4.B 5.C
? ? 3 6.2 7.(2,3) 8.?x|- <x<1? 2 ? ?
2

9.1+ 2或 1

10.解 设 f(x)=x +(m-1)x+1,x∈[0,2], ①若 f(x)=0 在区间 [0,2]上有一解, ∵f(0)=1>0,则应有 f(2)≤0, 3 2 又∵f(2)=2 +(m-1)×2+1,∴m≤- . 2 ②若 f(x)=0 在区间[0,2]上有两解,则 Δ ≥0 ? ? m-1 ?0<- 2 <2 ? ?f

m- -4≥0 ? ? ,∴?-3<m<1 ? +1≥0 ?4+ m-

2

.

m≥3或m≤-1 ? ?-3<m<1 ∴? 3 m≥- ? ? 2

3 ,∴- ≤m≤-1, 2

由①②可知 m≤-1. x x 11.解 ∵f(x)=4 +m·2 +1 有且仅有一个零点, x 2 x 即方程(2 ) +m·2 +1=0 仅有一个实根. x 2 设 2 =t (t>0),则 t +mt+1=0. 2 当 Δ =0 时,即 m -4=0, ∴m=-2 时,t=1;m=2 时,t=-1(不合题意,舍去), x ∴2 =1,x=0 符合题意. 当 Δ >0 时,即 m>2 或 m<-2 时, t2+mt+1=0 有两正或两负根, 即 f(x)有两个零点或没有零点. ∴这种情况不符合题意. 综上可知:m=-2 时,f(x)有唯一零点,该零点为 x=0. 2 12.解 (1)①f(x)=x +2mx+3m+4 有且仅有一个零点?方程 f(x)=0 有两个相等实根 2 2 ?Δ =0,即 4m -4(3m+4)=0,即 m -3m-4=0,∴m=4 或 m=-1. ②方法一 设 f(x)的两个零点分别为 x1,x2, 则 x1+x2=-2m,x1·x2=3m+4. Δ =4m - m+ ? ? x2+ 由题意,知? x1+ ? ? x1+ + x2+
2

?

m -3m-4>0 ? ? ?3m+4-2m+1>0 ? ?-2m+2>0

2

m>4或m<-1, ? ? ??m>-5, ? ?m<1,

∴-5<m<-1.故 m 的取值范围为(-5,-1). Δ >0, ? ? 方法二 由题意,知?-m>-1, ? , ?f -

m -3m-4>0, ? ? 即?m<1, ? ?1-2m+3m+4>0.

2

∴-5<m<-1.∴m 的取值范围为(-5,-1). 2 (2)令 f(x)=0,得|4x-x |+a=0, 2 即|4x-x |=-a. 2 令 g(x)=|4x-x |, h(x)=-a. 作出 g(x)、h(x)的图象. 由图象可知,当 0<-a<4, 即-4<a<0 时,g(x)与 h(x)的图象有 4 个交点,即 f(x)有 4 个零点. 故 a 的取值范围为(-4,0).


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