2018-2019学年高中数学(人教B版)必修1课件:3.1 3.1.2 第二课时 指数函数及其性质的应用(习题课)_图文

第二课时 指数函数及其性质的应用(习题课) 利用指数函数的单调性比较大小 [典例] 比较下列各组数的大小: - - (1)1.52.5 和 1.53.2; (2)0.6 1.2 和 0.6 1.5; (3)1.50.3 和 0.81.2. [解] (1)∵函数 y=1.5x 在 R 上是增函数,2.5<3.2, ∴1.52.5<1.53.2. (2)∵函数 y=0.6x 在 R 上是减函数,-1.2>-1.5, ∴0.6 - 1.2 <0.6 - 1.5 . (3)由指数函数的性质知 1.50.3>1.50=1, 而 0.81.2<0.80=1, ∴1.50.3>0.81.2. 比较指数式大小的 3 种类型及处理方法 [活学活用] 比较下列各题中两个值的大小. (1)0.8 - 0.1, 1.250.2; (2)1.70.3,0.93.1. 解: (1)∵ 0< 0.8< 1, ∴ y= 0.8x 在 R 上是减函数. ∵- 0.2<- 0.1,∴ 0.8 即 0.8 - 0.1 -0.2 > 0.8 -0.1 , < 1.250.2. (2)∵ 1.70.3> 1.70= 1,0.93.1< 0.90= 1, ∴ 1.70.3> 0.93.1. 解简单的指数不等式 [典例] 求解下列不等式: x (1)已知 3 ?1 ?- ≥? ? 0.5,求实数 ?3 ? x 的取值范围. (2)若 a-5x>ax+7(a>0 且 a≠1),求 x 的取值范围. [ 解] ?1 ? - 0.5 (1)因为? ? = 30.5, 所以由 ?3 ? 3 x ?1 ? - 0.5 ≥? ? ?3 ? 可得: 3x≥30.5, 因为 y= 3x 为增函数,所以 x≥ 0.5.故实数 x 的取 值范围为[0.5,+∞) (2)①当 0<a<1 时,函数 y= ax 是减函数,则由 a-5x >a x+7 7 可得 - 5x< x+7,解得 x>- . 6 ②当 a> 1 时,函数 y=ax 是增函数,则由 a-5x> ax+7 7 可得- 5x>x+7,解得 x<- . 6 7 7 综上,当 0< a<1 时,x>- ;当 a>1 时,x<- . 6 6 指数型不等式的解法 (1)指数型不等式 af(x)>ag(x)(a> 0,且 a≠ 1)的解法: 当 a> 1 时,f(x)> g(x); 当 0< a< 1 时,f(x)< g(x). (2)如果不等式的形式不是同底指数式的形式,要首先 进行变形将不等式两边的底数进行统一,此时常用到以下 结论:1= a (a>0,且 a≠ 1),a 0 -x ?1 ? =? ?x(a>0,且 ?a ? a≠ 1)等. [活学活用] ?1 ? 2 解不等式:? ? x -2 ≤2. ?2 ? ?1 ? 2 -1 2 x -2 2-x 2 解:∵? ? =(2 )x -2=2 , ?2 ? ∴原不等式等价于 22-x2≤21. ∵y=2x 是 R 上的增函数,∴2-x2≤1, ∴x2≥1,即 x≥1 或 x≤-1. ∴原不等式的解集是{x|x≥1 或 x≤-1}. 指数型函数的单调性 ?1 ? x2-2 x [典例] 判断 f(x)=? ? 的单调性,并求其值域. ?3 ? ?1 ?u 2 [解] 令 u= x - 2x,则原函数变为 y=? ? . ?3 ? ∵ u= x2- 2x= (x-1)2- 1 在 (- ∞,1]上递减 ,在 [1,+ ∞ )上递 ?1 ?u 增 ,又 ∵ y=? ? 在 (-∞ ,+∞ )上递减 , ?3 ? ?1? x2-2 x ∴ y=? ? 在 (-∞ ,1]上递增 ,在 [1,+∞ )上递减 . 3 ? ? ∵ u= x2- 2x= (x-1)2- 1≥ - 1, ?1? u ∴ y=? ? , u∈ [- 1,+∞ ), ?3? ?1 ?u ?1? -1 ∴ 0<? ? ≤? ? =3, ?3 ? ?3? ∴原函数的值域为 (0,3]. [一题多变] 1.[ 变条件] 本例中“x∈ R”变为“x∈[ -1,2]”.判断 f(x) 的单调性,并求其值域. 解:由本例解析知,又 x∈[-1,2], ?1 ? 2 ∴ f(x)=? ? x -2 x ?3 ? (x∈[- 1,2])在[- 1,1]上是增函数, 在 (1,2] 上是减函数. ∵ u= x2- 2x(x∈ [ - 1,2] )的最小值、最大值分别为 umin =- 1, umax= 3, ∴f(x)的最大值、 最小值分别为 -1 ?1 ? f(1)=? ? ?3 ? ?1 ?3 1 ? ? = 3,f(- 1)= = .∴函数 27 ?3 ? ?1 ? f(x)的值域为? , 3?. ?27 ? 2.[变设问]在本例条件下,解不等式 f(x)<f(1). ?1 ? 2 ?1 ?- 1 x -2 x 解: ∵f(x)<f(1),即? ? <? ? ,∴ x2- 2x>- 1,∴ ?3 ? ?3 ? (x- 1)2> 0,∴ x≠ 1, ∴不等式的解集为 {x|x≠ 1}. 函数 y=af(x)(a>0,a≠1)的单调性的处理技巧 (1)关于指数型函数 y=af(x)(a>0,且 a≠1)的单调性 由两点决定,一是底数 a>1 还是 0<a<1;二是 f(x)的 单调性,它由两个函数 y=au,u=f(x)复合而成. (2)求复合函数的单调区间, 首先求出函数的定义域, 然后把函数分解成 y=f(u), u=φ(x), 通过考查 f(u)和 φ(x) 的单调性,求出 y=f(φ(x))的单调性. “多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(十八)” (单击进入电子文档)

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