2019年最大值与最小值190376.ppt_图文

一、复习引入
1.当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的 方法是: ①如果在x0附近的左侧 f/(x)>0 ,右侧f/(x)<0 ,那 么,f(x0)是极大值; ②如果在x0附近的左侧 f/(x)<0, 右侧f/(x)>0 ,那 么,f(x0) 是极小值. 2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充 分条件.极值只能在函数的导数为零且在其附近左右 两侧的导数异号时取到. 3.在某些问题中,往往关心的是函数在一个定义区间上, 哪个值最大,哪个值最小,而不是极值.

洪泽外国语中学 程怀宏

二、新课—最大值与最小值
y 观察右边一个定义 在区间[a,b]上的函数 y=f(x)的图象,你能 找出函数y=f(x)在 区间[a,b]上的最大 a x1 o X X b 值、最小值吗? f(x2) f(x1)、f(x3) 是极小值,_________ 发现图中____________ 是极 f(b) ,最小值 大值,在区间上的函数的最大值是______ f(x3) 。 是_______
2 3

x

问题在于如果在没有给出函数图象的情况下,怎 样才能判断出f(x3)是最小值,而f(b)是最大值呢?

求函数最值的一般方法: 一、是利用函数性质 二、是利用不等式 三、今天学习利用导数

f(x)在闭区间[a,b]上的最值:
(如果在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条连续不 断的曲线,那么它必有最大值和最小值)

(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值) (2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中 最大的一个为最大值,最小的一个最小值 表格法

例1、求函数f(x)=x2-4x+3在区间[-1,4]内 的最大值和最小值 法一 、 将二次函数f(x)=x2-4x+3配方,利用 二次函数单调性处理

例1 求函数f(x)=x2-4x+3在区间[-1,4]内的最值。

解法二、 f ’(x)=2x-4 令f ’(x)=0,即2x-4=0, 得x=2 x -1 (-1,2) 2 (2,4) y, y

4

-

0

+

-1 8 3 故函数f(x) 在区间[-1,4]内的最大值为 8,最小值为-1.

一般地,求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小 值的步骤如下: ①:求y=f(x)在(a,b)内的极值(极大值与极小值);
②:将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、 f(b) 比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最 小值. 求函数的最值时,应注意以下几点: (1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概 念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围 内讨论问题,是一个整体性的概念. (2)闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内 的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极 值必是函数的最值.

(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各 有一个,而函数的极值则可能不止一个,也可能没有 极值,并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小 值),但除端点外在区间内部的最大值(或最小值),则 一定是极大值(或极小值). (4)如果函数不在闭区间[a,b]上可导,则在确定函 数的最值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端 点处的值,还要比较函数在定义域内各不可导的点 处的值. (5)在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只 有一个极值点(这样的函数称为单峰函数),那么要根 据实际意义判定是最大值还是最小值即可,不必再 与端点的函数值进行比较.

练习P77

1、2

1 例2求 函 数 y ? x ? sin x在 区 间 [0,2? ]上 的 最 大 值 与 最 小 值 . 2 1 ? 解: f ( x ) ? ? cos x . 2 2? 4? 令 f ?( x ) ? 0 ,解得 x1 ? , x2 ? . 3 3

当x变化时, y?, y 的变化情况如下表: 2? 4? 2 ? 4? 2 ? ( , ) x 0 (0, ) 3 3

f ?( x )
f(x) 0

3

3

3

(

4? ,2? ) 3

2?

+
?
3

0
? 3 2

-

0
2? 3 ? 3 2

+

?

从上表可知,最大值是∏,最小值是0.

练习1:求函数f(x)=2x3+3x2-12x+14在区间[-3,4]上的最
大值和最小值.

答案:最大值为f(4)=142,最小值为f(1)=7.

2 3 2 3 延伸1:设 3 ? a ? 1 ,函数 f ( x ) ? x ? 2 ax ? b( ?1 ? x ? 1) 的最 6

大值为1,最小值为 ?
2

解:令 f ?( x) ? 3 x ? 3ax ? 0 得x=0或a. 当x变化时, f ?( x ) ,f(x)的变化情况如下表: x -1 (0 (0, 1,0) a) + 0 a (a, 1) + 1

2

,求常数a,b.

0 f’( x) 由表知,当x=0时,f(x)取得极大值b,而f(0)>f(a),f(0)> f(x) -1b ↘ 1↗ ↗ f(-1),f(1)>f(-1).故需比较f(1)与 f(0)的大小. 3 3a/2+b a /2+b 3a/2+b f(0)-f(1)=3a/2-1>0,所以f(x)的最大值为f(0)=b,故b =1.

又f(-1)-f(a)=(a+1)2(a-2)/2<0,所以f(x)的最小值为f(-1) =-1-3a/2+b=-3a/2,所以 ? 3a ? ? 6 ? a ? 6 .
2 2 3

延伸2:设p>1,0≤x≤1,求函数f(x)=xp+(1-x)p的值域.
说明:由于f(x)在[0,1]上连续可导,必有最大值与最小值, 因此求函数f(x)的值域,可转化为求最值. p?1 p?1 p?1 p?1 解: f ?( x) ? px ? p(1 ? x) ? p[ x ? (1 ? x) ]. 令 f ?( x ) ? 0 ,则得xp-1=(1-x)p-1,即x=1-x,x=1/2.
1
1 1 而 f ( 2 ) ? 2 p ?1 ,f(0)=f(1)=1,因为p>1,故1>1/2p-1.

所以f(x)的最小值为

2

p ?1

,最大值为1.
1 2
p ?1

从而函数f(x)的值域为 [

,1].

练习1:求函数f(x)=2x3+3x2-12x+14在区间[-3,4]上的最
大值和最小值.

答案:最大值为f(4)=142,最小值为f(1)=7.

练习2:求函数f(x)=p2x2(1-x)p(p是正数)在[0,1]上的最
2 p?1 解: f ?( x) ? p x(1 ? x) [2 ? (2 ? p) x].

大值.

2 . 令 f ?( x ) ? 0,解得 x1 ? 0, x2 ? 1, x3 ? 2? p 2 p 2? p ) ? 4( ) , 在[0,1]上,有f(0)=0,f(1)=0, f ( 2? p 2? p p 2? p 故所求最大值是4( ) . 2? p

思考、已知函数f(x)=x2-2(m-1)x+4在区间[1,5] 内的最小值为2,求m的值


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