高三数学课件-立体几何课件7 最新_图文

第八章 立体几何 第6讲 空间向量及其运算 1.空间向量的有关概念 名称 零向量 概念 模为 0 的向量 表示 |a|=0 |a|=1 a= b 单位向量 长度(模)为 1 的向量 相等向量 方向 相同 且模相等的向 量 名称 概念 表示 a 的相反向量 为-a a∥ b a∥α,b∥α 相反向量 方向 相反 且模相等的向量 表示空间向量的有向线段所在 的直线互相 平行或重合 共线向量 共面向量 平行于同一 平面 的向量 2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理:对空间任意两个向量 a,b(b≠0),a∥b 的充 要条件是存在实数 λ,使得 a=λb. (2)共面向量定理:如果两个向量 a,b 不共线,则向量 p 与向量 a,b 共面?存在惟一的有序实数对(x,y),使 p= xa+yb. (3)空间向量基本定理:如果三个向量 a,b,c 不共面,那么对 空间任一向量 p, 存在有序实数组{x, y, z}, 使得 p= xa+yb+zc , 把{a,b,c}叫做空间的一个基底. 3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角:已知两个非零向量 a,b,在空间任取一点 → → O,作OA=a,OB=b,则∠AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角,记 π 作〈a,b〉 ,其范围是 0≤〈a,b〉≤π ,若〈a,b〉= ,则 2 称 a 与 b 互相垂直 ,记作 a⊥b. ②两向量的数量积: 已知空间两个非零向量 a, b, 则|a||b|cos 〈a,b〉叫做向量 a,b 的数量积,记作 a· b,即 a· b= |a||b|cos〈a,b〉 . (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律:(λa)· b=λ(a· b); ②交换律:a· b=b· a; b+a· c ③分配律:a· (b+c)= a· . 4.空间向量的坐标表示及其应用 设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3). 向量表示 数量积 共线 垂直 模 夹角 a· b a=λb(b≠0) a· b=0 (a≠0,b≠0) |a| 〈a,b〉(a≠0, b≠0) 坐标表示 a1b1+a2b2+a3b3 a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3 a1b1+a2b2+a3b3=0 2 2 a2 + a + a 1 2 3 cos〈a,b〉= a1b1+a2b2+a3b3 2 2 2 2 2 a2 + a + a · b + b + b 1 2 3 1 2 3 (1)计算空间两点 P、Q 间的距离 → →2 若PQ=a+b+c,则|PQ| =|a|2+|b|2+|c|2+2a· b+2b· c+2c· a. (2)利用共面向量证明直线 MN∥平面 ABC 的方法只需证明存在实 → → → 数 λ、μ,使得MN=λAB+μAC且 M?平面 ABC. 1 . ( 选 修 2 - 1 P89 练 习 T2 改 编 ) 如 图 , E 是 正 方 体 → → → ABCDA1B1C1D1 上平面 A1B1C1D1 的中心,若AE=xAB+yBC → +zBB1,则 x+y+z 等于( C ) 1 A.0 B.1 C. 2 D. 2 → → → → 1→ 解析: AE=AA1+A1E=AA1+ AC 2 1→ 1→ → → 1 → → =BB1+ (BC-BA)= AB+ BC+BB1 2 2 2 1 1 ∴x= ,y= ,z=1,故选 C. 2 2 2.(选修 2-1 P98A 组 T8 改编)已知 a=(2,3,1),b=(-4,2,x), 且 a⊥b,则|b|=( D ) A.3 2 C.2 5 B.4 2 D.2 6 解析:∵a⊥b,∴a· b=0. 即 2×(-4)+3×2+x=0,∴x=2. ∴|b|= ?-4?2+22+22=2 6.故选 D. 3.(选修 2-1 P92 练习 T3 改编)如图,线段 AB,BD 在平面 α 内, BD⊥AB,AC⊥α.且 AB=BD=1,CD= 6,则 CA 的长为( D ) A.1 C. 3 B. 2 D.2 → → → → 解析:由题意得CD=CA+AB+BD, → → → 且|AB|=|BD|=1,|CD|= 6, → → → → → → CA⊥AB,CA⊥BD,AB⊥BD. → 2 →2 →2 → 2 → → → → → → ∴|CD| =|CA| +|AB| +|BD| +2CA· AB+2CA· BD+2AB· BD, →2 即 6=|CA| +2, → ∴|CA|=2,即 CA 的长为 2,故选 D. 4. (选修 2-1 P92 练习 T1 改编)如图, 在正三棱柱 ABCA1B1C1 中, AB AB1⊥BC1,则 的值为( C ) BB1 2 A. 2 C. 2 B.1 D. 3 → → → → → → → 解析:设AB=a,AC=b,AA1=c,且AA1⊥AB,AA1⊥AC, → → → 〈AB,AC〉=60° ,又设 AB=1,∴AB1=a+c. → → → → → → BC1=AC1-AB=AC+AA1-AB=-a+b+c. → → ∵AB1⊥BC1,∴AB1· BC1=0, 即(a+c)· (-a+b+c)=0. ∴-a2+c2+a· b+c· b=0, 1 ∴|c| +1×1× -12=0. 2 2 2 AB 1 ∴|c|= ,∴ = = 2,故选 C. 2 BB1 2 2 5.(选修 2-1 P88 思考改编)A、B、C 是不共线三点,且 P 是平面 → 1→ → ABC 上一点, 对于空间任一点 O, 均有OP= OA+(sin θ)OB+(cos 3 5 → - θ)OC,则 sin 2θ=________. 9 解析:由题意得 A、B、C、P 四点共面, 1 则 +sin θ+cos θ=1, 3 2 即 sin θ+cos

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