江苏专用2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.5椭圆课件文_图文

§9.5 椭 圆

内容索引

基础知识 题型分类

自主学习 深度剖析

课时作业

基础知识

自主学习

知识梳理

1.椭圆的概念
平面内到两个定点 F1, F2的距离的和等于常数 (大于F1F2)的点的轨迹叫

做 椭圆 ,两个定点 F 1, F 2叫做椭圆的 焦点 ,两焦点间的距离叫做椭圆
的 焦距 .

集合P={M|MF1+MF2=2a},F1F2=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数:
(1)若 a>c ,则集合P为椭圆; (2)若 a=c ,则集合P为线段; (3)若 a<c ,则集合P为空集.

2.椭圆的标准方程和几何性质

标准方程

x y 2+ 2=1 a b (a>b>0)

2

2

y2 x2 2+ 2=1 a b (a>b>0)

图形

范围 对称性 性 质

-a≤x≤a -b≤y≤b 对称轴:坐标轴 A1(-a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b)

-b≤x≤b -a≤y≤a 对称中心:原点 A1(0,-a),A2(0,a) B1(-b,0),B2(b,0)

顶点
轴 焦距

2b 长轴A1A2的长为 2a ;短轴B1B2的长为___ 2c F1F2=___

离心率
a,b,c的关系

c e= a ∈(0,1)
a2=b2+c2 __________

知识拓展 点P(x0,y0)和椭圆的关系
2 x2 y 0 (1)点P(x0,y0)在椭圆内? 0 + 2 2 <1. a b 2 2 x y 0 =1. (2)点P(x0,y0)在椭圆上? 0 a2+b2 2 2 x y 0 >1. (3)点P(x0,y0)在椭圆外? 0 a2+b2

思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内到两个定点F1,F2的距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆.( × ) (2)椭圆上一点P与两焦点F1,F2构成△PF1F2的周长为2a+2c(其中a为椭圆 的长半轴长,c为椭圆的半焦距).( √ ) (3)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.( × ) (4)方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆.( √ )
y2 x2 (5) 2+ 2 =1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆.( × ) a b 2 2 2 2 x y y x (6) 2+ 2 =1(a>b>0)与 2+ 2 =1(a>b>0)的焦距相等.( √ ) a b a b

考点自测

x y 4或8 1.(教材改编)椭圆 =1的焦距为4,则m=_____. + 10-m m-2
答案 解析

2

2

由题意知
? ? ?10-m>m-2>0, ?m-2>10-m>0, ? 或? ? ? ??10-m?-?m-2?=4 ??m-2?-?10-m?=4,

解得m=4或m=8.

2.(2016· 苏州检测 )在平面直角坐标系 xOy内,动点P到定点 F( -1,0)的 距离与 P 到定直线 x =- 4 的距离的比值为 1 . 则动点 P 的轨迹 C 的方程 2 x2 y2 + 3 =1 4 为__________.
答案 解析

设点P(x,y),由题意知

?x+1?2+y2 1 =2 ,化简得3x2+4y2=12, |x+4|

x2 y2 所以动点P的轨迹C的方程为 + =1. 4 3

3.(2016· 全国乙卷改编)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆 1 1 答案 解析 中心到l的距离为其短轴长的 ,则该椭圆的离心率为___. 2 4 如图,由题意得,BF=a,OF=c,OB=b,
1 1 OD= · 2b= b. 4 2

在Rt△FOB中,OF· OB=BF· OD, 1 即cb=a· 2 b, c 1 解得a=2c,故椭圆离心率e= = . a 2

1 4.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于 ,则C的 2 x2 y2 + = 1 4 3 答案 解析 方程是_________.

c 1 由题意知c=1,e= = , a 2
所以a=2,b2=a2-c2=3.
x2 y2 故所求椭圆方程为 + =1. 4 3

x2 y2 5.( 教材改编 ) 已知点 P 是椭圆 + = 1 上 y 轴右侧的一点,且以点 P 5 4 及 焦 点 F 1, F 2为 顶 点 的 三 角 形 的 面 积 等 于 1 , 则 点 P 的 坐 标 为
? 15 ? ? 15 ? ? ? ? ? ,1?或? 2 ,-1? ? 2 ? ? ? ? ____________________.

答案

解析

设P(x,y),由题意知c2=a2-b2=5-4=1, 所以c=1,则F1(-1,0),F2(1,0), 由题意可得点P到x轴的距离为1, x2 y2 所以y=±1,把y=±1代入 + =1,得x=± 15, 5 4 2
? 15 ? ? 15 ? 15 ? ? ? ? 或 又x>0,所以x= , 所以P点坐标为 ? , 1 ,- 1 ? ? ?. 2 ? 2 ? ? 2 ?

题型分类

深度剖析

题型一 椭圆的定义及标准方程 命题点1 利用定义求轨迹 例1 (2016· 徐州模拟)如图所示,一圆形纸片的圆心为O,F是圆内一定点, M是圆周上一动点,把纸片折叠使M与F重合,然后抹平纸片,折痕为CD, 椭圆 设CD与OM交于点P,则点P的轨迹是______.
答案 解析
几何画板展示

由条件知PM=PF,
∴PO+PF=PO+PM=OM=R>OF.

∴P点的轨迹是以O,F为焦点的椭圆.

命题点2 利用待定系数法求椭圆方程 例2 (1)已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴长是短轴长的3倍,并且
x2 2 y2 x2 +y =1或 + =1 9 81 9 过点P(3,0),则椭圆的方程为_____________________.
答案 解析

(2)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点P1( 6 ,1), x2 y2 + = 1 答案 解析 9 3 P2(- 3,- 2 ),则椭圆的方程为__________. 设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n).

∵椭圆经过点P1,P2,∴点P1,P2的坐标适合椭圆方程.
? ?6m+n=1, 即? ? ?3m+2n=1,

① ②

? ?m=1, x2 y2 ? 9 ∴所求椭圆方程为 + =1. ①②两式联立,解得 ? 9 3 1 ? n=3. ? ?

命题点3 利用定义解决“焦点三角形”问题 x2 y2 例3 已知F1,F2是椭圆C: 2+ 2 =1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上 a b → → 答案 解析 3 的一点,且 PF1⊥PF2 .若△PF1F2的面积为9,则b=___.

设PF1=r1,PF2=r2,
? ?r1+r2=2a, 则? 2 2 2 ? r + r = 4 c , 2 ? 1
2 2-4c2=4b2, 因为2r1r2=(r1+r2)2-( r2 ) = 4 a + r 1 2

几何画板展示

又因为 S△PF1F2

1 ? r1r2 ? b2 ? 9, 所以b=3. 2

引申探究 1.在例3中,若增加条件“△PF1F2的周长为18”,其他条件不变,求该 椭圆的方程.
解答

由原题得b2=a2-c2=9,

又2a+2c=18,
所以a-c=1,解得a=5,
2 2 x y 故椭圆方程为 + =1. 25 9

→ → 2. 在例 3 中,若将条件 “ PF1⊥PF2 ”“△PF1F2 的面积为 9” 分别改为

“∠F1PF2=60°”“S△PF1F2 ? 3 3 ”,结果如何?
解答

PF1+PF2=2a,又∠F1PF2=60°,
2 2 所以 PF2 - 2 PF · PF cos 60 °= + PF F F 1 2 1 2 1 2,

即(PF1+PF2)2-3PF1· PF2=4c2, 所以3PF1· PF2=4a2-4c2=4b2, 所以PF1· PF2=b2, 所以PF1· PF2= 4b2 , 3 1 14 2 3 3 2 又因为S△PF1F2 ? PF1 · PF2 · sin 60?= ·b · = b =3 3, 所以 b = 3. 23 2 3 2

思维升华
(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法,利用椭圆的定义定形状时, 一定要注意常数2a>F1F2这一条件. (2) 求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法,具体过程是先定形, 再定量,即首先确定焦点所在位置,然后再根据条件建立关于a,b的 方程组.如果焦点位置不确定,要考虑是否有两解,有时为了解题方便, 也可把椭圆方程设为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)的形式. (3)当P在椭圆上时,与椭圆的两焦点F1,F2组成的三角形通常称为“焦 点三角形”,利用定义可求其周长;利用定义和余弦定理可求PF1· PF2; 通过整体代入可求其面积等.

跟踪训练1 (1)(2016· 盐城模拟)已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2

+ y 2= 9 ,动圆在圆 C 1 内部且和圆 C 1相内切,和圆 C 2相外切,则动圆
x2 y2 64+48=1 圆心M的轨迹方程为__________.
答案 解析
几何画板展示

设圆M的半径为r, 则MC1+MC2=(13-r)+(3+r)=16>8=C1C2, 所以M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆,且 2a=16,2c=8,
2 2 x y 故所求的轨迹方程为 + =1. 64 48

2 x (2)(2016· 镇江模拟)设F1、F2分别是椭圆 +y2=1的左、右焦点,若椭圆 4 → → → 上存在一点P,使 (OP+OF2)· PF2 =0(O为坐标原点),则△F1PF2的面积

1 是____.
答案 解析

→ → → → → → → → ∵(OP+OF2)· PF2=(OP+F1O)· PF2=F1P· PF2=0,

∴PF1⊥PF2,∠F1PF2=90°.

设PF1=m,PF2=n,

则m+n=4,m2+n2=12,2mn=4,? S

1 mn ? 1. △F1PF2 = 2

题型二 椭圆的几何性质 例4 (1)已知点F1,F2是椭圆x2+2y2=2的左,右焦点,点P是该椭圆上的 → → 2 一个动点,那么 |PF1+PF2| 的最小值是____.
答案 解析

→ 设P(x0,y0),则 PF1=(-1-x0,-y0),

→ → 2 2 2 2 ∴|PF1+PF2|= 4x2 + 4 y = 2 2 - 2 y + y = 2 - y 0 0 0 0 0+2.

→ =(1-x ,-y ),∴ → → =(-2x ,-2y ), PF2 0 0 0 0 PF1+PF2

→ → 2 2 ∴当 y0 =1时, ∵点P在椭圆上,∴0≤ y0 ≤1, |PF1+PF2|

取最小值2.

x y (2)(2016· 全国丙卷改编)已知O为坐标原点,F是椭圆C: 2+ 2 =1(a>b a b > 0) 的左焦点, A , B 分别为椭圆 C 的左,右顶点 .P 为 C 上一点,且
PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经 1 过OE的中点,则C的离心率为_____. 3 答案 解析
? ? am ? am ? 设M(-c,m),则 E?0,a-c? ,OE的中点为D,则 D?0,2?a-c?? , ? ? ? ?

2

2

m m 1 = 又B,D,M三点共线,所以 ,a=3c,e= . 2?a-c? a+c 3

(1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧 ①注意椭圆几何性质中的不等关系

思维升华

在求与椭圆有关的一些量的范围,或者最大值、最小值时,经常用到椭圆 标准方程中x,y的范围,离心率的范围等不等关系. ②利用椭圆几何性质的技巧 求解与椭圆几何性质有关的问题时,要结合图形进行分析,当涉及顶点、 焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的内在联系. (2)求椭圆的离心率问题的一般思路 求椭圆的离心率或其范围时,一般是依据题设得出一个关于a,b,c的等 式或不等式,利用a2=b2+c2消去b,即可求得离心率或离心率的范围.

x2 y2 跟踪训练2 (2016· 江苏)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆 2+ 2 a b b =1(a>b>0)的右焦点,直线y= 与椭圆交于B,C两点,且∠BFC= 2 6 90°,则该椭圆的离心率是_____. 3
答案 解析

题型三 直线与椭圆
x y 例5 (2016· 天津)设椭圆 2+ =1(a> 3) 的右焦点为F,右顶点为A. a 3 1 1 3e 已知 OF+OA=FA,其中O为原点,e为椭圆的离心率.
2 2

(1)求椭圆的方程; 解答
1 1 3e 1 1 3c 设 F(c,0),由OF+OA=FA,即c +a= , a?a-c?

可得a2-c2=3c2. 又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4.
x2 y2 所以椭圆的方程为 + =1. 4 3

(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于 点M,与y轴交于点H.若BF⊥HF,且∠MOA=∠MAO,求直线l的斜率.
解答

思维升华
(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方 程与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程, 解决相关问题.涉及弦中点的问题时用“点差法”解决,往往会更简单. (2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则
AB= ?1+k ?[?x1+x2? -4x1x2]=
2 2

1 ?1+k2?[?y1+y2?2-4y1y2]

(k为直线斜率). 提醒:利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进

行的,不要忽略判别式.

2 x 跟踪训练3 如图,已知椭圆O: +y2=1的右焦点为F,B,C分别为 4 椭圆O的上,下顶点,P是直线l:y=-2上的一个动点(与y轴交点除外),

直线PC交椭圆O于另一点M. (1)当直线PM过椭圆的右焦点F时,求△FBM的面积;
解答

(2)①记直线BM,BP的斜率分别为k1,k2,求证:k1· k2为定值;
解答

→ → 的取值范围. ②求 PB · PM
解答

高频小考点8 高考中求椭圆的离心率问题

考点分析

离心率是椭圆的重要几何性质,是高考重点考查的一个知

识点,这类问题一般有两类:一类是根据一定的条件求椭圆的离心率;
另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围,无论是哪类问题,其 难点都是建立关于 a,b,c的关系式(等式或不等式),并且最后要把其 中的b用a ,c表示,转化为关于离心率 e的关系式,这是化解有关椭圆 的离心率问题难点的根本方法.

x2 y2 典例1 (2015· 福建改编)已知椭圆E: 2+ 2 =1(a>b>0)的右焦点为F, a b 短轴的一个端点为 M ,直线 l : 3x - 4y = 0 交椭圆 E 于 A , B 两点 . 若 AF + 4 BF=4 ,点 M 到直线 l 的距离不小于 ,则椭圆 E 的离心率的取值范围 5 ? 3? ? ? ?0, ? 2 ? ? 是 ________.
答案 解析

典例2

2 x (14分)(2016· 浙江)如图, 设椭圆 2 +y2=1(a>1). a

(1)求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a,k表示);

(2) 若任意以点 A (0,1) 为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点,求椭圆
离心率的取值范围.
规范解答

课时作业

x2 y2 1.(2016· 盐城模拟)已知椭圆C: + =1(m>0)的左、 右焦点分别为F1、 3 m 2m F2,过F2的直线l交C于A、B两点,若△AF1B的周长为4 3,则椭圆C的
x2 y2 + 2 =1 3 方程为_________.
答案 解析

∵△AF1B的周长=AF1+BF1+AF2+BF2=4a,
∴4a=4 3,故 a= 3,即 3m=( 3)2,∴m=1.
x2 y2 ∴椭圆的方程为 3 + 2 =1.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

2 2 x y 2.(2016· 苏北四市一模)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0),点A、B1、B2、F依 a b 次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点.若直线AB2与直线B1F的交点 1 2 a 答案 解析 2 恰在直线x= 上,则椭圆的离心率为____. c

x y x y 由题意知直线AB2:- + =1,直线B1F:c-b =1, a b 2ac 联立解得x= ,若交点在椭圆的右准线上, a-c 2 则 2ac =a ,即2c2+ac-a2=0, a-c c 1 2 所以2e +e-1=0,解得e= . 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

x2 y2 3.若对任意k∈R,直线y-kx-1=0与椭圆 + =1恒有公共点,则实 2 m [1,2)∪(2,+∞) 数m的取值范围是_______________. 答案 解析

联立直线与椭圆的方程,
消去y得(2k2+m)x2+4kx+2-2m=0,

因为直线与椭圆恒有公共点,
所以Δ=16k2-4(2k2+m)(2-2m)≥0,即2k2+m-1≥0恒成立,

因为k∈R,所以k2≥0,则m-1≥0,所以m≥1,
又m≠2,所以实数m的取值范围是[1,2)∪(2,+∞).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

1 1 y2 2 4.(2016· 南昌模拟)已知椭圆: +x =1,过点P( , )的直线与椭圆相 2 2 9 9x+y-5=0 交于A,B两点,且弦AB被点P平分,则直线AB的方程为____________.
答案 解析

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x2 5.(2016· 宿迁模拟)已知F1、F2是椭圆 +y2=1的两个焦点,P为椭圆上 4 (0,1)或(0,-1) 一动点,则使PF1· PF2取得最大值的点P为______________.
答案 解析

由椭圆定义得PF1+PF2=2a=4,
PF1+PF2 2 ∴PF1· PF2≤( ) =4, 2

当且仅当PF1=PF2=2,
即P(0,-1)或(0,1)时,PF1· PF2取得最大值.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

*6.已知两定点A(-2,0)和B(2,0),动点P(x,y)在直线l:y=x+3上移动,
2 26 椭圆C以A,B为焦点且经过点P,则椭圆C的离心率的最大值为_____. 13
答案 解析

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x2 y2 7.若椭圆 2+ 2 =1(a>0,b>0)的焦点在x轴上,过点(2,1)作圆x2+y2=4 a b 的切线,切点分别为 A , B ,直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点, x2 y2 答案 解析 20+16=1 则椭圆方程为____________.
n-1 n 设切点坐标为(m,n),则 =-1,即m2+n2-n-2m=0. · m-2 m ∵m2+n2=4,∴2m+n-4=0,即直线AB的方程为2x+y-4=0.

∵直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,

∴2c-4=0,b-4=0,解得c=2,b=4,∴a2=b2+c2=20,
x2 y2 ∴椭圆方程为 + =1. 20 16
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

x2 y2 8.已知P为椭圆 + =1上的一点,M,N分别为圆(x+3)2+y2=1和圆 25 16 7 (x-3)2+y2=4上的点,则PM+PN的最小值为____.
答案 解析

由题意知椭圆的两个焦点F1,F2分别是两圆的圆心,
且PF1+PF2=10,

从而PM+PN的最小值为PF1+PF2-1-2=7.

1

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x2 9.(2017· 连云港质检)椭圆 +y2=1的左,右焦点分别为F1,F2,点P为 4 椭 圆 上 一 动 点 , 若 ∠ F 1P F 2为 钝 角 , 则 点 P 的 横 坐 标 的 取 值 范 围

2 6 2 6 (- 3 , 3 ) 是_____________.

答案

解析

→ → 设椭圆上一点P的坐标为(x,y),则F1P=(x+ 3,y),F2P=(x- 3,y).

→ → ∵∠F1PF2为钝角,∴F1P· F2P<0,即x2-3+y2<0,①
2 2 x x 3 2 2 2 2 8 ∵y =1- 4 ,代入①,得 x -3+1- 4 <0,4x <2,∴x <3.

2 6 2 6 2 6 2 6 解得- 3 <x< 3 ,∴x∈(- 3 , 3 ).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

2 2 1 x y 10.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率等于 ,其焦点分别为A,B,C为 3 a b sin A+sin B 3 椭圆上异于长轴端点的任意一点,则在△ABC中, =____. sin C

答案

解析

sin A+sin B CB+CA 在△ABC中,由正弦定理得 sin C = AB ,

因为点C在椭圆上,所以由椭圆定义知CA+CB=2a,
sin A+sin B 2a 1 而AB=2c,所以 sin C =2c= e=3.

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x2 y2 11.(2016· 南京模拟)如图,椭圆C:a2+b2 =1(a>b>0)的右焦点为F,右顶 5 点,上顶点分别为A,B,且AB= BF. 2 (1)求椭圆C的离心率;
解答

5 由已知AB= BF, 2 5 2 2 即 a +b = 2 a ,4a2+4b2=5a2,4a2+4(a2-c2)=5a2, 3 c ∴e=a= 2 .
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

(2) 若斜率为 2 的直线 l 过点 (0,2) ,且 l 交椭圆 C于 P , Q 两点, OP⊥OQ ,
求直线l的方程及椭圆C的方程.
解答

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x2 y2 12.(2015· 安徽)设椭圆E的方程为 2+ 2 =1(a>b>0),点O为坐标原点,点 a b

A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足BM=2MA, 直线OM的斜率为 5 . (1)求E的离心率e; 解答 由题设条件知,点M的坐标为
5 5 b 又 kOM= 10 ,从而2a= 10 ,
c 2 5 进而得 a= 5b,c= a -b =2b,故 e=a= 5 .
2 2

10

?2 1 ? ? ? a , b ? 3 ? ?3 ?



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(2) 设点 C 的坐标为 (0 ,- b) , N为线段 AC 的中点,点 N关于直线 AB的 7 对称点的纵坐标为 ,求E的方程. 2
解答

1

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x2 y2 *13.(2016· 南京市学情调研)如图,已知椭圆 2+ 2 =1 (a>b>0)的离心率e a b = 2, 一条准线方程为x=2.过椭圆的上顶点A作一条与x轴、y轴都不垂直 2 的直线交椭圆于另一点P,P关于x轴的对称点为Q.

(1)求椭圆的方程; 解答

2 a c 因为a= 2 , c =2,
所以 a= 2,c=1,所以 b= a2-c2=1.

2

x2 2 故椭圆的方程为 +y =1. 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

(2) 若直线AP, AQ 与 x轴交点的横坐标分别为 m, n ,求证: mn 为常数, 并求出此常数.
解答

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