巧用判别式法解决数学问题_图文

巧用判别式法解决数学问题
作者:尹伦 童恺 学校:宁波外国语学校

2 形如 ax ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )的方程叫做一元二次方程,其中 a, b, c 为此方程的系

数,而 ? ? b ? 4ac 叫做方程的判别式。判别式的基本功能是判断一个一元二次方程是否
2

有实数根,以及实数根的个数。而在竞赛题中,判别式则适用于更多的领域,有着更多、更 巧妙的应用。本文将探讨怎样用判别式法巧解竞赛题。

一、判断根的情况
这是判别式的基本功能,即判断一个一元二次方程是否有实数根,以及实数根的个数。 在具体的题目中它的应用有许多变化,请看一下例题。
2 例 1 已 知 p, q, r 都 是 正 数 。 求 证 : 关 于 x 的 三 个 方 程 : x ?

px ?

q ?0 , 8

x2 ? qx ?

r p ? 0 , x 2 ? r x ? ? 0 中至少有一个方程有两个不相等的正实数根。 8 8
——《初中数学培优教程·专题讲座》第五章

证明 从反面考虑:假设三个方程都没有不相等的实数根,则:

q ?0 2 r ?2 ? q ? ? 0 2 p ?3 ? r ? ? 0 2 p?q?r ? 0 ,与 p, q, r 为正数矛盾。故其中必有一个方程有不等的实数根。 三式相加,得 2 q q 2 x 2 ? >0,表明 x1、 不妨设方程 x ? p x ? ? 0 的两根为 x1,x2,根据韦达定理有 x 1 · 8 8 ?1 ? p ?
x2 同号。又 x1 ? x 2 ? 个不等正实数根。

p ? 0 ,所以 x1,x2 均大于 0.综上所述,至少存在有一个方程有两

二、求字母系数的取值范围
这同样也是判别式的基本用法之一, 在中考和竞赛题目中出现频率较高。 而此时需要注 意二次项系数的取值情况,并进行分类讨论,如例 2:

例 2 若关于 x 的方程 (m 2 ? 1) x 2 ? 2(m ? 2) x ? 1 ? 0 有实数根,求 m 的取值范围。 ——2004 年河北省初中数学竞赛试题 解 (1)当 m ? 1 ? 0 时,方程是一元二次方程
2

方程有实数根,则△ ? 0,则

m 2 ? 1 ≠0
△= ?? 2(m ? 2)? ? 4(m 2 ? 1) ≥0
2

解得 m ? ?

5 且 m ? ?1 4

(2)若方程为一元一次方程,则

m2 ?1 ? 0 ? 2(m ? 2) ? 0
解得 m ? ?1 且当 m ? 1 时,原方程为 ? 6 x ? 1 ? 0, 有实根 x ?

1 6 1 2

当 m ? ?1时,原方程为 ? 2 x ? 1 ? 0,有实根 x ? ∴综上所述,当 m ? ? 时,原方程有实数根。

5 4

三、利用判别式解决一元二次方程整数根问题
下面介绍一些判别式更高级的用法。 利用判别式解决一元二次方程整数根就是一例。 经 过我们的研究发现, 这类题型在初中竞赛中有极高的出现频率。 下面选择了一道全国初中数 学联赛的试题来说明一般的解法。 例 3 已知方程 x ? 6 x ? 4n ? 32n ? 0 的根都是整数,求整数 n 的值.
2 2

——2004 年全国初中数学联赛



x 2 ? 6x ? 4n 2 ? 32n ? 0 ? ? 36 ? 16n2 ? 128n = ( 4 4n 2 ? 32n ? 9) ?0
设 4n ? 32n ? 9 ? m(m ? 0)
2 2 2 (2n ? 8) ? m 2 ? 55

(2n ? 8 ? m)(2n ? 8 ? m) ? 55 2 n ? 8 ? m ? 2n ? 8 ? m

由两者奇偶性相同得到如下四组可能情况:

2n ? 8 ? m ? 55 2n ? 8 ? m ? 1
0, ? 18, 8 解得 n ? 10,

2n ? 8 ? m ? 11 2n ? 8 ? m ? 5

2n ? 8 ? m ? -1 2n ? 8 ? m ? - 5 5

2n ? 8 ? m ? -5 2n ? 8 ? m ? - 1 1

四、利用判别式求最值
在竞赛题中, 除将二次方程转化成二次函数顶点式来求最值以外, 判别式是最常用的一 种方法。下面举两例来具体说明。

(y ? 3) ? 6的所有实数对( x,y),求 例 4 满足(x ? 3) ?
2 2

y 的最大值。 x

思路 这里可以令 解 令

y ? t, 然后将原方程表示为一个关于 x 的一元二次方程, 利用△求出 t max x

y ? t ,则 (t 2 ? 1 )x 2 ? ( 6 t ?1 )x ? 12 ? 0 x
2 2

(t ? 1 ) ? 48 (t ? 1 ) ?0 △ ? 36
即 t ? 6t ? 1 ? (t ? 3 ? 2)(t ? 3 ? 2) ?0
2

此时 t 的解集为 3 ? 2 2 ? t ? 3 ? 2 2

( ) 所以 max ? t max ? 3 ? 2 2

y x

例 5 已知 a、b、c 满足 a ? b ? c ? 2,abc ? 4 (1)求 a、b、c 中的最大者的最小值 (2)求 a ? b ? c的最小值 ——2003 年全国初中数学联赛 思路 用 b、c 来表示 a,根据韦达定理建立以 b、c 为两根的一元二次方程,利用△求 a min 解 (1) 因为条件中的两式都是关于 a、 b、 c 的对称式, a、 b、 c 地位均等, 不妨设 a ? b、c ∵ a ? b ? c ? 2, a ? b、c ∴a>0, 且 b ? c ? 2 ? a,bc ? ∴b、c 为一元二次方程 x
‘ 2

4 a 4 ? 0 的两实数根 a

? (2 ? a)x ?

(2 ? a) ? 4 ? 则△ ?
2

4 ?0, a

a 3 ? 4a 2 ? 4a ? 16 ? 0 (a 2 ? 4)(a ? 4) ? 0
∴a ? 4

时,满足题意,故 a、b、c中最大者的最小值为 4 当 a ? 4,b ? c ? ?1
(2)∵ abc ? 0,a ? b ? c ? 2 ∴ a ? 0, b ? 0, c ? 0 ∴ a ? b ? c ? a ? b ? c ? a ? (2 ? a) ? 2a ? 2 当 a 取最小值即得原式最小值,由(1) amin ? 4 得 ( a ? b ? c ) min ? 6

五、判别式的综合应用问题
(1)判别式与三角形 在处理边与边关系时,我们通常会使用因式分解,而面对某些特定的问题,判别式也能 发挥一定的作用。 例 6 如图,AD 为△ABC(AB>AC)的角平分线,AD 的中垂线和 BC 的延长线交于点 E, 设 CE=a,DE=b,BE=c.求证:关于 x 的二次方程 ax ? 2bx ? c ? 0有两个相等的实根 。
2



连结 AE ∵AD 的中垂线和 BC 的延长线交于点 E ∴EA=ED ∴∠EAD=∠ADE ∵∠BAD=∠DAC ∴ ?B ? ?ADE - ?BAD ? ?EAD - ?DAC ? ?CAE ∵∠AEC=∠BEA ∴△BAE∽△ACE ∴

A

AE EC ? BE AE
2 2

∴ AE ? BE ? EC ? DE ∵CE=a,DE=b,BE=c.

B

D

C

E

∴ b ? ac,即b ? ac ? 0
2 2

∴关于 x 的二次方程 ax ? 2bx ? c ? 0 的判别式
2 2 ?? (? 2b) ? 4ac ? ( 4 b 2 ? ac) ?0

∴关于 x 的二次方程 ax ? 2bx ? c ? 0有两个相等的实根
2

——《初中数学培优竞赛分类题典》

(2)判别式与整数问题 判别式在根为正整数的情况下, 往往能与完全平方数联系起来, 通过同余等方法解决问 题,例如下题中的判别式应用使问题迎刃而解。 例 7 设 x ? a ? b ? c , y ? a ? c ? b , z ? b ? c ? a ,其中 a, b, c 是待定的质数,如果

x 2 ? y , z ? y ? 2 ,试求积 abc 的所有可能的值。
解 由题意得 a ?

x? y x?z y?z ,b ? ,c ? 2 2 2

? y ? x2
?a ? x2 ? x , 2

x 2 ? x ? 2a ? 0

? ? 8a ? 1 ? (2n ? 1) 2 (n为自然数) 8a ? 1 ? 4n 2 ? 4n ? 1 2a ? n(n ? 1)

? a为质数 ? n ? 2,a ? n ? 1 ? 3
x2 ? x ? 6 ? 0 又? z ? y ? 2 ? x ? ?3,y ? 9,z ? 25或x ? 2,y ? 4,z ? 16 ? a ? 3,b ? 11 ,c ? 17或a ? 3,b ? 9,c ? 10 (b,c不为质数,舍去) ? abc ? 561
(3)判别式与函数 判别式在函数这一数形结合问题中发挥着重要作用,它与系数的具体关系如下: 对于形如 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的二次函数: 若函数值恒大于等于 0, 则 a ? 0, ? ? 0 ;
2

若函数值恒小于等于 0,则 a ? 0, ? ? 0 (反之也成立) 。试看下例。 例8
2 设 m, n 为正整数,且 m ? 2 ,如果对一切实数 t ,二次函数 y ? x ? (3 ? mt) x ? 3mt

的图象与 x 轴的两个交点间的距离不小于 2t ? n ,求 m, n 的值. —— 2007 年全国初中数学联合竞赛 解 因为一元二次方程 x ? (3 ? mt) x ? 3mt ? 0 的两根分别为 mt 和 ? 3 ,所以二次函数
2

y ? x 2 ? (3 ? mt) x ? 3mt的图象与 x 轴的两个交点间的距离为 mt ? 3 .









mt ? 3 ? 2t ? n





(mt ? 3)2 ? (2t ? n)2
0





(m2 ?

4 t2 ) ?
2

m ( ? 6 n ?4 t.2 ? )

n 9 ?

由题意知, m ? 4 ? 0 ,且上式对一切实数 t 恒成立,所以
2 ? ?m ? 4 ? 0, ? 2 2 2 ? ?? ? (6m ? 4n) ? 4(m ? 4)(9 ? n ) ? 0,

?m ? 2, ?m ? 2, ?m ? 3, ?m ? 6, 所以 ? 或? ?? ?? 2 m n ? 6 , n ? 2 , 4( mn ? 6) ? 0, ?n ? 1. ? ? ?

由上述各例题不难发现,判别式在各种题型中都能发挥其特殊的作用,促使问题的解 决,让人感受到其中的奇妙与魅力。我们所总结的例题只是判别式应用中的一小部分,更多 的还需要未来去更多地推敲与探索。※


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