dujiajiyi00:高中数学 专题 共面、共线、平面的交线问题课堂同步试题 新人教A版

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共面、共线、平面的交线问题

典例在线

高考频度:★★☆☆☆

难易程度:★★☆☆☆

如图,已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,E ,F 分别为 D1C1 ,C1B1 的中点,AC BD ? P ,

A1C1 EF ? Q .求证: (1) D , B , F , E 四点共面;

(2)若 A1C 交平面 DBFE 于 R 点,则 P , Q , R 三点共线.

【参考答案】(1)详见解析.(2)详见解析.
【试题解析】(1)如图所示,连接 D1B1 .
1

∵EF 是 △D1B1C1 的中位线,∴ EF∥B1D1 . 在正方体 AC1 中,∵ B1D1∥BD ,∴ EF∥BD . ∴EF,BD 确定一个平面,即 D , B , F , E 四点共面.
【解题必备】(1)证明共面问题的主要依据是公理 1、公理 2 及其推论,可以先确定一个平 面,再证明其余的点、线在此平面内,即纳入平面法,也可以证明有关点、线确定一个平面, 其余点、线确定一个平面,且这两个平面重合,即平面重合法.
2

(2)证明共线问题的主要依据是公理 3,常用的有两种方法:①首先找出两个平面,然后 证明这些点都是这两个平面的公共点,根据公理 3 知这些点都在这两个平面的交线上;②选 择其中两点确定一条直线,然后证明其他点也在这条直线上. (3)公理 3 告诉我们,如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该 点的公共直线.因此只要找出这两个平面的另一个公共点,就找出了它们的交线. 学霸推荐 1.如图所示,已知直线 a 与 b 不共面,直线 c∩a=M,直线 b∩c=N,又 a∩平面 =A,b∩
平面 =B,c∩平面 =C,求证:A,B,C 三点不共线.
2 . 如 图 所 示 , 正 方 体 ABCD ? A1B1C1D1 的 棱 长 为 8 cm , M,N,P 分 别 是 A1B1,AD,BB1 的中点.
(1)画出过 M,N,P 三点的平面与平面 ABCD 的交线以及与平面 BB1C1C 的交线; (2)设过 M,N,P 三点的平面与 BC 交于 Q ,求 PQ 的长.
3

1.【解析】假设 A,B,C 三点共线,即都在直线 l 上, 因为 A,B,C∈α ,所以 . 因为 c∩l=C,所以 c 与 l 可确定一个平面 β . 因为 c∩a=M,所以 M∈β , 又因为 A∈β ,所以 , 同理 ,所以直线 a,b 共面,这与已知 a,b 不共面矛盾. 因此,假设不成立,即 A,B,C 三点不共线.
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