江西省重点中学盟校2019届高三数学第一次联考试题理

江西省重点中学盟校届高三第一次联考理科数学试卷

第卷(选择题:共分)

一、选择题:(每小题分,共分.每小题所给出的四个选项只有一项是符合题意)

.已知集合 A ? {1, 2,3, 4,5}, B ? {x | x ?1 ? 0, x ? Z} ,则 A I B ? (

)

4?x

. {2, 3}

.{1, 2,3, 4}

.{1, 2,3}

.{1, 2,3,5}

.已知复数 z ? 1? 3i ,则 z ? (

)

3?i

.2



2



.1

2

. 已 知 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f ? x? 满 足 : 当 x ? 0 时 , f ? x? ? l o g2 ? ?1 x? , 则
f ? f ?7?? ?( )

. ?1

. ?2

.1

.2

? ? .设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? a3 ? 6 , S10 ? 100 ,则 a5 ? (

)

.8

.9

.10

.11

.已知条件 p : a ? ?1 ,条件 q :直线 x ? ay ?1 ? 0 与直线 x ? a2 y ?1 ? 0 平行,则 p 是 q 的

() .充要条件 .必要不充分条件 .充分不必要条件 .既不充分也不必要条件
.程序框图如下图所示,若上述程序运行的结果 S ?1320 ,则判断框中应填入( )

. 开k ?始12


.k ?k12?, 1S1? 1 . k ?10 . k S? 9? S ? k

k ? k ?1

? ? .已知 a ? 1, b ? 2 ,且 a ? a ? b ,则向是量 a 在 b 方向上的投影为( )

输出 S

结束

.1

.2



.2

2

2

.把函数 f (x) ? 2 sin(2x ? ?) 的图象上每个点的横坐标扩大到原来的 2 倍,再向左平移 ?

6

3

个单位,得到函数 g(x) 的图象,则函数 g(x) 的一个单调递减区间为( )

.[? , 2? ]

.[? , 4?] 33

.[ ? , ?] 12 3

.[ ? , 5?] 44

1 / 12

9.已知右图是一个几何体的三视图及有关数据如图所示, 则该几何体的棱的长度中,最大的是( )

.2 3 .2 2 . 5 . 3

.以双曲线 C : x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? 0,b ? 0) 上一点 M

为圆心



正视图

3
左视图

圆,该圆与 x 轴相切于 C 的一个焦点 F ,与 y 轴交于 P,Q 两

点,若 PQ ? 2 3 c ,则双曲线 C 的离心率是(

)

3

俯视图

.3

.5

.2

.2

.今有 6 个人组成的旅游团,包括个大人,个小孩,去庐山旅游,准备同时乘缆车观光,现

有三辆不同的缆车可供选择,每辆缆车最多可乘人,为了安全起见,小孩乘缆车必须要大

人陪同,则不同的乘车方式有( )种

. 204

. 288

. 348

. 396

.若曲线 f ? x? ? aex ? ax(0 ? x ? 2) 和 g ? x? ? ?x3 ? x2(x ? 0) 上分别存在点 A, B ,使得

?AOB 是以原点 O

为直角顶点的直角三角形,

AB



y

轴于点 C

,且

uuur AC

?

1

uur CB

,则实数

2

a 的取值范围是( )

?1

1?



? ?

10(e2

?1)

,

6(e

?1)

? ?



? ? ?

1 6(e ?1)

,

1 2

? ? ?



? ??

e

1 ?

1

,1???

? 1 1?



? ?

10(e2

?1)

,

2

? ?

第卷(非选择题:共分)

二、填空题(本大题共小题,每题分,共计分。请将正确答案直接填在答题卡的相应位置)

? .若 a ? ? sin xdx ,则 ( a ? x)9 的展开式中常数项为

0

x



.在 ?ABC 中,a,b, c 分别是内角 A, B,C 的对边,若 a ? 2 ,b ? 2c ,cos A ? 1 ,则 ?ABC 4
的面积

等于



?x ? 2 y ?19 ? 0

.已知关于实数

x,

y

的不等式组

? ?

x? y?8?0

构成的平面区域为 ? ,若 ?? x, y??? ,

??2x ? y ?14 ? 0

2 / 12

使得 ? x ?1?2 ? ? y ? 4?2 ? m恒成立,则实数 m 的最小值是



.已知四棱锥 S ? ABCD 的所有顶点都在球 O 的球面上, SD ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 是

等 腰 梯 形 , AB / /CD 且 满 足 A B? 2 A D? 2 DC? 2, SC ? 2 , 则 球 O 的 表 面 积





三.解答题:(本大题共小题.共分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

.(本小题满分分)

已知数列{an} 为正项等比数列,满足 a3 ? 4 ,且 a5 ,3a4 , a6 构成等差数列,数列{bn} 满

足 bn ? log2 an ? log2 an?1 .

(Ⅰ)求数列{an} ,{bn}的通项公式;

(Ⅱ)若数列{bn}的前 n

项和为 Sn ,数列{cn}满足 cn

?

4

S

1
n

?

1

,求数列

{cn

}

的前

n

项和

Tn .
.(本小题满分分)
如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,且 AD ? PD ?1,平面 PCD ? 平 面 ABCD ,?PDC ?120 ,点 E 为线段 PC 的中点,点 F 是线段 AB 上的一
个动点.
(Ⅰ)求证:平面 DEF ? 平面 PBC ;
(Ⅱ)设二面角 C ? DE ? F 的平面角为? ,试判断在线段 AB 上是否存在 AF
这样的点 F ,使得 tan? ? 2 3 ,若存在,求出 FB 的值;若不存在,请说

明理由. .(本小题满分分)
为了适应高考改革,某中学推行“创新课堂”教学.高一平行甲班采用“传统教学”的 教学方式授课,高一平行乙班采用“创新课堂”的教学方式授课,为了比较教学效果,期中 考试后,分别从两个班中各随机抽取 20 名学生的成绩进行统计分析,结果如下表:(记成绩 不低于120 分者为“成绩优秀”)

分数

?80,90? ?90,100? ?100,110? ?110,120? ?120,130? ?130,140?

?140,150 ?

3 / 12

甲班频数

1

1

4

5

4

3

2

乙班频数

0

1

1

2

6

6

4

(Ⅰ)由以上统计数据填写下面的 2? 2 列联表,并判断是否有 95% 以上的把握认为“成 绩优秀与教学方式有关”?

甲班

乙班

总计

成绩优秀

成绩不优秀

总计

(Ⅱ)现从上述样本“成绩不优秀”的学生中,抽取 3 人进行考核,记“成绩不优秀”

的乙班人数为 X ,求 X 的分布列和期望.

参考公式: K 2 ?

n(ad ? bc)2

,其中 n ? a ? b ? c ? d .

(a ? b)(c ? d)(a ? c)(b ? d)

临界值表

P(K 2 ? k0 )

0.100

0.050

0.010

0.001

k0 20.(本小题满分分)

2.706

3.841

6.635

10.828

已知椭圆 C :

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

?

0) 的离心率为

2 ,焦点分别为 F1, F2 ,点 P 是椭圆 C 2

上的点, ?PF1F2 面积的最大值是 2 .
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

(Ⅱ)设直线 l 与椭圆 C 交于 M , N 两点,点 D 是椭圆 C 上的点, O 是坐标原点,若

OM ? ON ? OD, 判定四边形 OMDN 的面积是否为定值?若为定值,求出定值;如果不是,
请说明理由. .(本小题满分分)

已知函数 f (x) ? x (1? a ln x) , a ? R .

(Ⅰ)若 f (x) 在 (0,1] 上存在极大值点,求实数 a 的取值范围;

n
? (Ⅱ)求证: ln i ? 2( n ?1)2 ,其中 n ? N? , n ? 2 . i ?1
4 / 12

请考生在第、题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。做答时用铅笔 在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 .(本小题满分分)选修:坐标系与参数方程选讲
在平面直角坐标系中,以原点为极点,以 x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系, 已知曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 为 ? 2 ? 2 ? c o s?? 4? s i??n , 直4 线 l1 的 极 坐 标 方 程 为
?(cos? ? sin? ) ? 3. (Ⅰ)写出曲线 C 和直线 l1 的直角坐标方程; (Ⅱ)设直线 l2 过点 P(?1, 0) 与曲线 C 交于不同两点 A, B , AB 的中点为 M , l1 与 l2
的交点为 N ,求| PM | ? | PN | .
.(本题满分分)选修;不等式选讲
若关于 x 的不等式 2x ? 2 ? 2x ?1 ? t ? 0 在实数范围内有解. (Ⅰ)求实数 t 的取值范围; ( Ⅱ ) 若 实 数 t 的 最 大 值 为 a , 且 正 实 数 m, n, p 满 足 m ? 2n ? 3p ? a , 求 证 : 1 ? 2 ?3. m? p n? p
5 / 12

江西省重点中学盟校届高三第一次联考理科数学参考答案 一、选择题: 题号 答案

二、填空题: . 672 . 15 4

. 37

. 5?

三、解答题:

.解:(Ⅰ)设等比数列{an}的公比为 q(q ? 0) ,由题意,得

a5 ? a6 ? 6a4 ? q ? q2 ? 6 解得 q ? 2 或 q ? ?3 (舍)…………………分 又 a3 ? 4 ? a1 ? 1所以 an ? a1qn?1 ? 2n?1 ………………分

bn ? log2 an ? log2 an?1 ? n ?1? n ? 2n ?1 ………………分

(Ⅱ)

Sn

?

n(b1?bn ) 2

?

n[1?

(2n 2

?1)]

?

n2 .……………分

∴ cn

?

1 4n2 ?1

?

1 2

? ??

1 2n ?1

?

1? 2n ?1 ??

,…………………分

∴ Tn

?

1 2

??????1?

1 3

? ??

?

? ??

1 3

?

1? 5 ??

?

?

? ??

1 2n ?1

?

1 ?? 2n ?1????

?

n 2n ?1

…………………分

.解:(Ⅰ) 四边形 ABCD 是正方形,∴ BC ? DC .

∵平面 PCD ? 平面 ABCD ? CD ,∴ BC ? 平面 PCD .

∵ DE ? 平面 PDC ,∴ BC ? DE .

∵ AD ? PD ? DC ,点 E 为线段 PC 的中点,∴ PC ? DE .

又∵ PC CB ? C ,∴ DE ?平面 PBC .

又∵ DE ? 平面 DEF ,∴平面 DEF ? 平面 PBC .………………分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 BC ? 平面 PCD ,∵ AD / /BC ,∴ AD ?平面 PCD .

在平面 PCD 内过 D 作 DG ? DC 交 PC 于点 G ,

∴ AD ? DG ,故 DA , DC , DG 两两垂直,以 D 为原点,

以 DA , DC , DG 所在直线分别为 x, y, z 轴,建立如图所示空间直角坐标系 D ? xyz .

因为 AD ? PD ?1, ?PCD ?120 ,∴ PC ? 3 .

6 / 12

∵ AD ?平面 PCD ,



D

?

0,

0,

0?



C

? 0,1,

0

?



P

? ???

0,

?

1 2

,

3? 2 ???



E



PC

的中点,

E

? ???

0,

1 4

,

3 4

? ???

,………………分

假 设 在 线 段 AB 上 存 在 这 样 的 点 F , 使 得 tan? ? 2 3 , 设 F ?1, m,0?(m ? 0) ,

DE

?

? ???

0,

1 4

,

3 4

? ???



DF

? ?1, m,0? ,

设平面 DEF 的法向量为 n1 ? (x , y , z) , 则 ???n1 ? DE ? 0, ??n1 ? DF ? 0,

?x ? my ? 0



?

? ??

1 4

y

?

3 z ?0 4

,令

y? 3

,则

z ? 1 ? , x?

? 3,m? 则

n1 ? (? m3 ?, ……3 ……, ……1分 ) AD ? 平 面 PCD , ? 平 面 PCD 的 一 个 法 向 量 n 2 ? (1 , 0 , 0) , tan? ? 2 3 , 则

cos? ? 13 13

∴ cos? ? cos ? n1, n2 ? ?

? 3m ? 13 . 3m2 ? 3 ?1 13

m ? 0 ,解得 m ? 1 ,∴ AF ? 1 ………………分 3 FB 2

.解:()补充的 2? 2 列联表如下表:

甲班

乙班

成绩优秀

9

16

成绩不优秀

11

4

总计

20

20

根据 2? 2 列联表中的数据,得 K 2 的观测值为 k ? 40(9 ? 4 ?16 ?11)2 ? 5.227 ? 3.841, 25?15? 20 ? 20
所以有 95% 以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”.………………分

() X 的可能取值为 0 ,1 , 2 , 3 ,

总计 25 15 40

7 / 12

P(X

? 0) ?

C131 C135

? 165 ? 455

33 ,………………分 91

P( X

? 1)

?

C121C41 C135

? 220 ? 44 ,………………分 455 91

P( X

?

2)

?

C111C42 C135

? 66 ,………………分 455

P( X

? 3) ?

C43 C135

?

4 455

,………………分

所以 X 的分布列为

X

0

1

2

P

33

44

66

91

91

455

……………分

3

4

EX ? 0? 33 ?1? 44 ? 2? 66 ? 3? 91 91 455

455

………………分

. 解 : () 由

? ? ?? ?

c? 2 a2 bc ? 2

解 得 a ? 2 ,b ? c ? 2 得 椭 圆 C 的 方 程 为

??a2 ? b2 ? c2

??

x2 ? y2 ? 1.………………分 42

()当直线 l 的斜率不存在时,直线 MN 的方程为 x ? ?1 或 x ?1 ,此时四边形 OMDN 的

面积为 6 .……分

当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 方程是 y ? kx ? m ,联立椭圆方程

? y ? kx ? m

? ? x2 ?? 4

?

y2 2

? (1? 2k 2 )x2 ?1

? 4kmx ? 2m2

?4

?0

?

?

8(4k 2

?

2

?

m2 )

?

0



x1

?

x2

?

?4km 1? 2k 2

,

x1x2

?

2m2 ? 4 1? 2k 2

y1

?

y2

?

k ( x1

?

x2 ) ? 2m

? 2m 1? 2k 2

……………分

MN ?

1? k2 2

2 4k 2 ? 2 ? m2 ………………分 1? 2k 2

8 / 12

m

点 O 到直线 MN 的距离是 d ?

………………分

1? k2

由 OM

?

ON

?

OD, 得

xD

?

?4km 1? 2k2

,

yD

?

2m 1? 2k 2

因为点

D

在曲线

C

上,所以有

(1??42kmk 2 )2

?

( 1

2m ? 2k

2

)2

?1

整理得

4

2

1? 2k 2 ? 2m2 ………………分

由题意四边形 OMDN 为平行四边形,所以四边形 OMDN 的面积为

SOMDN ? MN d ?

1? k2 2

2 4k 2 ? 2 ? m2

1? 2k2

?

m2 ?
1? k2

2 m 4k 2 ? 2 ? m2
………
1? 2k2

………分

由 1? 2k 2 ? 2m2 得 SOMDN ? 6 , 故 四 边 形 O M D N的 面 积 是 定 值 , 其 定 值 为

6 .………………分

.解:()由于

f

'( x)

?

1

?1
x 2 (1?

2a

?

a ln

x)



2

则①当 a ? 0 时, f '(x) ? 0 ? ln x ? 1? 2a , a
1? 2 a
即当 x ? (0, e a ) 时, f '(x) ? 0 , f (x) 单调递增;

1? 2 a
当 x ? (e a , ??) 时, f '(x) ? 0 , f (x) 单调递减;

1?2a
故 f (x) 在 x ? e a 处取得极大值,

则0?

1? 2 a
ea

? 1,解得: a

?

1



………………………………分

2

②当 a ? 0 时, f '(x) ? 0 恒成立, f (x) 无极值,不合题意舍去;………………分
③当 a ? 0 时, f '(x) ? 0 ? ln x ? 1? 2a , a
1? 2 a
即当 x ? (0, e a ) 时, f '(x) ? 0 , f (x) 单调递减;
1? 2 a
当 x ? (e a , ??) 时, f '(x) ? 0 , f (x) 单调递增;

9 / 12

1?2a
故 f (x) 在 x ? e a 处取得极小值,不合题意舍去;

因此当 a ? 1 时, f (x) 在 (0,1] 上存在极大值点; 2

()法一:令 a ? 1 , f (x) ? x(1? 1 ln x) ,

2

2

………………分

由()得: f (x) 在 x ?1 处取得极大值,且该极值是唯一的,

则 x (1? 1 ln x) ? 1,即 ln x ? 2(1? 1 ) ,当且仅当 x ?1 时取“”,………………分

2

x





i?2





l i?

1

n

i

?

22

? ?1 i

?

,(………i…4…?…分 1

i

i?

)

i





n

n

n

? l i ? ? i ? ? ? i ? i ? ? n ? ? n ? ? n ? 2 .……………n

i ?1

i?

i?

2

…分

n
? 法二:下面用数学归纳法证明: ln i ? 2( n ?1)2 ,对 ?n ? N? , n ? 2 恒成立. i ?1

()当 n ? 2 时,左边 ? ln 2 ? ln e ? 1 ,右边 ? 2( 2 ?1)2 ? 2? (1)2 ? 1 ,

2

22

左边 ? 右边,结论成立;

k
? ()假设当 n ? k 时,结论成立,即 ln i ? 2( k ?1)2 , i ?1

k ?1

k

当 n ? k ?1时,左边 ? ? ln i ? ? ln i ? ln(k ?1) ? 2( k ?1)2 ? ln(k ?1)

i ?1

i ?1

? 2( k ?1 ?1)2 ? 2(1? 2 k ? 2 k ?1) ? ln(k ?1) ,

而 ln(k ?1) ? 2(1? 2 k ? 2 k ?1) ? ln(k ?1) ? 2 ?

4

? ln(k ?1) ? 2 ? 2 ,

k ?1? k

k ?1

令 a ? 1 , f (x) ? x(1? 1 ln x) ,

2

2

由()得: f (x) 在 x ?1 处取得极大值,且该极值是唯一的,

10 / 12

则 x (1? 1 ln x) ? 1,即 ln x ? 2(1? 1 ) ,当且仅当 x ?1 时取“”, ………………分

2

x

则 ln(k ?1) ? 2 ?

1 k ?1

?

0



?k

?

N?

恒成立,即

2( k ?1 ?1)2 ? 2(1? 2 k ? 2 k ?1) ? ln(k ?1) ? 2( k ?1 ?1)2 成立
故当 n ? k ?1时,结论成立,
n
? 因此,综合()()得 ln i ? 2( n ?1)2 ,对 ?n ? N? , n ? 2 恒成立.………………分 i ?1
.(Ⅰ)曲线 C : ? 2 ? 2? cos? ? 4? sin? ? 4 的直角坐标方程为: x2 ? y2 ? 2x ? 4 y ? 4 ;

即 (x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 9

l1 : ?(cos? ? sin? ) ? 3 的直角坐标方程为: x ? y ? 3 ? 0 .……………分

?x ? ?1? t cos?

(Ⅱ)直线

l2

的参数方程

? ?

y

?

t

sin

?

( t 为参数),

将其代入曲线 C 的普通方程并整理得 t2 ? 4(cos? ? sin? )t ?1 ? 0 ,

设 A, B 两点的参数分别为 t1, t2 ,则

t1 ? t2 ? 4(cos? ? sin? ) …………………………………………………分

因为 M 为 AB 的中点,故点 M 的参数为 t1 ? t2 ? 2(cos? ? sin? ) ,……分 2

?x ? ?1? t c o? s



N

点的参数分别为

t3

,把

? ?

y

?ts

i ?n

代 入 x? y?3?0 整 理 得

t3

?

cos?

4 ? sin?

………分

所以 |

PM

|?|

PN

|?|

t1

? t2 2

|?|

t3

|?

2|

cos?

? sin?

|?|

cos?

4 ? sin?

|?

8

.………分

.解:()因为所以

又因为………………………分

所以………………………分

()由()可知,,则

方法一:

11 / 12

………………………分 方法二:利用柯西不等式 …………………分
12 / 12


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