高等数学(下册)D104对面积曲面积分-PPT精选文档_图文

第四节 对面积的曲面积分

第十章

一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法

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一、对面积的曲面积分的概念与性质 ( x ,y ,z ), 求质 引例: 设曲面形构件具有连续面密度 ?
量 M. 类似求平面薄板质量的思想, 采用 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限”

z ( ? , ? , ? ) k k k

的方法, 可得

lim M ?

? ( ? , ? , ? ) ? S ? k k k k ??0
k ?1

n

?
o
y

其中, ? 表示 n 小块曲面的直径的

x

最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).
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定义: 设 ? 为光滑曲面, f (x, y, z) 是定义在 ? 上的一

个有界函数, 若对 ? 做任意分割和局部区域任意取点,
“乘积和式极限”
??0 ?

lim

n

k ?1

记作 f ( ,k ,k ) ? S k k

? ? ?

??f (x, y, z)dS
?

都存在, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 ? 上对面积 的曲面积分 或第一类曲面积分. 其中 f (x, y, z) 叫做被积 函数, ? 叫做积分曲面.

? ? ( x ,y ,z ) d S 据此定义, 曲面形构件的质量为 M ??
?

曲面面积为 S ? ?? d S
?
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对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.
? 积分的存在性. 若 f( x ,y ,z )在光滑曲面 ? 上连续,

则对面积的曲面积分存在. ? 对积分域的可加性. 若 ? 是分片光滑的, 例如分成两 片光滑曲面 ? ,? , 则有 1 2

f( x ,y ,z ) d S f( x ,y ,z ) d S? f( x ,y ,z ) d S? ?? ?? ?? ? ? ?
1
2

? 线性性质. 设 k ,k 为常数 ,则 1 2

? ? k f ( x , y , z ) ? k g ( x , y , z ) d S 1 2 ?? ? ? k f ( x , y , z ) d S ? k g ( x , y , z ) d S 1 2 ?? ?? ? ?
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二、对面积的曲面积分的计算法
定理: 设有光滑曲面

z

?

? : z ? z ( x , y ), ( x , y ) ? D x y
f (x, y, z) 在 ? 上连续, 则曲面积分

f (x ,y ,z )d S 存在, 且有 ?? ? (? ? )xy ( f ( x , y , z ) d S ? , ? , ? ) k k k k ?? ? 2 2 ? f ( x , y , ) ? z ( x , y ) ? z ( x , y ) d x d y z(x, y) 1 x y ?? D
x y

o x Dxy

y

证明: 由定义知

f( x ,y ,z )d S?lim ? ?? ? ??0

n

k ?1

f ( ? , ? , ? ) ? S k k k k
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而 ? Sk ???

( ? ? ) k x y

2 2 1 ? z ( x , y ) ? z ( x , y ) d x d y x y

2 2 ? ? ? ? ? 1 ? z ( , ) ? z ( ,k ) ( ? ) x kk y k k x y

? ? ? ??

? ,y ,z )d S ?? f(x
?

? lim

f ( ? , ? , z ( ? , ? )) ? k k k k ? ? ?0
n k ?1 n

? lim

? ?0

?

f ( ? , ? , z ( ? , ? )) ? k k k k

2 2 ? ? ? ? 1 ? z ( , ) ? z ( ,k ) ( ? ) x kk y k k x y

? ? ? ??
(?光滑)

k ?1

2 2 1 ? z ( , ) ? z ( ,k ) ( ? ) x kk y k k x y

? ? ? ??
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2 2 ? f ( x , y , ) 1 ? z ( x , y ) ? z ( x , y ) d x d y x y ?? z(x, y) D x y

说明: 1) 如果曲面方程为 x ? x ( y , z ), ( y , z ) ? D y z

或 y ? y ( x , z ), ( x , z ) ? D x z
可有类似的公式. 2) 若曲面为参数方程, 只要求出在参数意义下dS 的表达式 , 也可将对面积的曲面积分转化为对参数的

二重积分. (见本节后面的例4, 例5)

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d S 2 2 2 例1. 计算曲面积分 其中 ? 是球面 x ? y ? z ?? ? z , 2 截出的顶部. ? a 被平面 z ? h ( 0 ? h ? a ) z 2 2 2 解: ? : z ? a ? x ? y , ( x , y ) ? D x y ? 2 2 2 2 h D : x ? y ? a ? h x y o a y Dxy a 2 2? 1?zx ?zy a2 ?x2 ? y2 x ad x d y 2? dS a2?h2 r dr ??? 2 2 2 ? a? d? ? ?? ?0 D ? z 0 x ya ? x ?y a2 ?r2
2 2 a h 1 a 2 2? ? ? ? 2 ? a ?ln( a? r) ? 2? a ln ? ? ? 2 ? 0 h
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思考:
2 2 2 2 被平行平面 z =±h 截 若 ? 是球面 x ? y ? z? a

出的上下两部分, 则

z
0

d S ?? z ?( ?

)

?

d S a ?? z ?( 4? a ln h ) ?

h o
x
?h ?

y

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与 ? y ? z ? 1 例2. 计算 ?? xyzdS, 其中? 是由平面 x
坐标面所围成的四面体的表面. , ? , ? , ? 解: 设 ? 分别表示? 在平面 1 2 3 4 上的部分, 则 x ? y ? z ? 1 x ? 0 , y ? 0 , z ? 0 ,
?

z
1

o
1 x

? x y z dS 原式 = ? ? ? ? ??? ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ? 1 2 3 4

1 y

??? xy zdS
? 4

0 ? y ? 1 ? x ? ? : z ? 1 ? x ? y ,( x ,y ) ? D : ?0 4 x y x ? 1 ? ?
1
1 ? x

? 3? x dx ?
0

0

y ( 1 ? x?y )d y? 3 120
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2 2 2 2 例3. 设 ? : x ? y? z? a

f( x ,y ,z )?
计算 I?

2 2 x2 ? y2, 当 z? x ?y

z ?

1

0,
2 2

当 z? x ?y

2

2

o
x

Dxy

y

f( x ,y ,z ) d S . ?? ?

2 2 2 解: 锥面 z? x ?y 与上半球面 z ?a ? x? y的

2 2 12 1 交线为 x ? y? a , z ? a . 2 2

设? 1为上半球面夹于锥面间的部分, 它在 xoy 面上的
2 21 2 投影域为 D ? ? 则 ? ( x , y ) x ? y ? a , x y 2
2 2 I? ( x ? y ) d S ?? ? 1
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I? x? y) d S ??(
2 2 ? 1

??? (x ?y )
2 2 D xy

a

? ? ? d ?
0

2 ?

1 2

2 a

0

1 4 ? ?a ( 8 ? 52 ) 6 思考: 若例3 中被积函数改为
2 2

a2 ? x2 ? y2 2 a r r d r 2 2 a? r

dxd y

z ?

1

o
x

Dxy

y

f( x ,y ,z )?
计算结果如何 ?

2 2 当 z ? x ? y x ?y ,

0,

2 2 当 z? x ? y

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例4. 求半径为R 的均匀半球壳 ? 的重心.
2 2 2 解: 设 ? 的方程为 z ? R ? x ? y , ( x , y ) ? D x y

利用对称性可知重心的坐标 x?y? 0 ,而

z?

??? ?? ? d S

zd S

用球坐标 z? R cos ? 2 d S ? R sin ? d ? d ?
?

2 R d ? sin ? cos ? d ? 3 ? ? ? R R 0 0 ? ? ? ? 2 ? 2? R 2 2 R ?? sin ? d ? ? d

? 32

0

0

思考题: 例 3 是否可用球面坐标计算 ?
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d S 2 2 2 2 例5. 计算 I ? ( ? ? R ), ? : x? y? z? R . ?? ? ? ? z 解: 取球面坐标系, 则 ? : z ? R cos ? ,
d S ? R sin ? d ? d ?
2
2? 0

R2 sin? d? I ?? d ? ? ? ? R cos ? 0
d( ??R cos ?) ?2 ?R ? ??Rcos ? 0
?

?

??R ?2 ?R ln ??R

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? z? 2 ( x ? y ? z ).
利用对称性可知

2 2 2 2 例6. 计算 I? ( x ? y ) d S , 其中 ? 是球面 x ?y ??

2

?

解: 显然球心为 ( 1 ,1 ,1 ), 半径为 3
2 2 2 x d S ? y d S ? z S ?? ?? ??d ? ? ?

4 2 2 2 2 ? ?? ( x ? y ? z ) d S ? I ??? ( x? y? z ) d S 3 ? 3? x d S ? y d S ? z d S ?? ?? ?? 利用重心公式
?
?

?

?

? 4?? xdS ?4? x??? dS
?

? 4 ? 1 ? 4 ? (3 )? 48 ?
2

xd S ?? x? ? ?? ? d S
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d S 例7. 计算 I ??? 2 2 2 , 其中 ? 是介于平面 ? x ?y ?z 2 2 2 之间的圆柱面 x z ? 0 ,z ? H ? y ? R . z 分析: 若将曲面分为前后(或左右)
两片, 则计算较繁. 解: 取曲面面积元素 d S ? 2 ? R d z H2 ?R d z I ?? 2 2 则 0 R ?z H ?2 ?arctan R

H

z
o

dz

y

x
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x2 y 2 ? ? 1 位于 xoy 面上方及平面 例8. 求椭圆柱面 5 9 z = y 下方那部分柱面 ? 的侧面积 S .
解: S ? ?? dS
?

L : x ? 5 cos t , y ? 3 sin t ( 0 ? t ? ) z S ? z d s 取d
L
L

?
o z y Ld s x

? 2 2 ? 3 sin t 5 sin t ? 9 cos td t ?
0

? ? z ds ? ? y d s

? ? 3 ?

?

0

15 5 ? 4 cos td cos t? 9 ? ln5 4
2
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例9. 设有一颗地球同步轨道通讯卫星, 距地面高度 h = 36000 km, 运行的角速度与地球自转角速度相同, 试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比. z (地球半径 R = 6400 km ) R ? h 解: 建立坐标系如图, 覆盖曲面 ? 的
半顶角为 ? , 利用球坐标系, 则 2 d S ? R sin ? d ? d ? 卫星覆盖面积为
?

A ? ?? dS
?

? ? 22 ? R sin d d 0 0

?

?? ? ?

o x

?

R y

2 2 h ? 2 ? R ( 1 ? cos ? )?2 ?R R?h

R cos ?? R?h

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故通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比为

A 4? R

2

h ? 2( R ? h )
6 36 ?10 ? 40 . 5 % 6 ? 2 (36 ?6 .4 )?10

z R ? h
?

由以上结果可知, 卫星覆盖了地球
1 3

以上的面积, 故使用三颗相隔

2?

3

角度的通讯卫星就几乎可以覆盖地球

o x

?

R y

全表面. 说明: 此题也可用二重积分求 A (见下册P109 例2) .
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内容小结
1. 定义:

f (x ,y ,z )d S? lim ? ?? ? ? ?0

n

f( ? ? ? ) ? S i, i, i i

i?1

2. 计算: 设 ? 则 : z ? z ( x , y ) , ( x , y ) ? D , x y

f (x ,y ,z )d S ?? ? ??? f (x , y, z(x, y)) D
xy

2 dxd y 1? z2 ? z x y

(曲面的其他两种情况类似)
? 注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式 简化计算的技巧.
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思考与练习
P158 题1;3;4(1) ; 7 P184 题2

解答提示:
P158 题1. P158 题3.
2 2 I ? ( y z ) ? ( x , y , z ) d S x ?? ? ?

设? 则 : z ? 0 , ( x , y ) ? D , x y
x y

f ( x , y , z ) d S ? f ( x , y , ) d x d y 0 ?? ?? ? D

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2 2 ? : z ? 2 ? ( x ? y) P158 题4(1).

? 在 xoy 面上的投影域为
2 2 D : x ? y ? 2 x y

2

z

2 2 d S ?1 ? z ? z x d y x yd

D xy o

?1 ? 4 ( x? y ) d x d y
2 2 ? d S ? 1 ? 4 ( x ? y ) d x d y ?? ?? S D x y

2

2

x

2

y

13 ? ? ? d ? r1 ? 4 rd r ? ? 0 0 3 这是 ? 的面积 !
2 2
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2 ?

P159 题7. 如图所示, 有

1 2 2 2 2 z d S ? ( x ? y ) 1 ? x ? y d x d y ?? ?? ? D 2 x y 2 ? 23 1 2 ?? d ? r 1 ? r d r ? 0 0 2 z

令 t? 1 ? r

2

1

3 2 2 ? ? ( t ? 1 ) t d t 0

?

4? ? 5

3

Dxy o x

2

y

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一卦限中的部分, 则有( C ).
? ? 1

2 2 2 2 P184 题2. 设 ? : x ? y ? z ? a ( z ? 0 ), ? 为 ? 在第 1

( A ) ?? x d S ? 4 x d S ; ??
( B ) ?? y d S ? 4 x d S ; ??
? ? 1

( C ) ?? z d S ? 4 x d S ; ??
? ? 1

( D ) ?? x y z d S ? 4 x y z d S . ( 2000 考研 ) ??
? ? 1

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作业
P158 4(3); 5(2);

6(1), (3), (4);
8

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2 2 备用题 1. 已知曲面壳 z ? 3 ? ( x ? y )的面密度

? ? x? y? z ,求此曲面壳在平面 z=1以上部分? 的
2 2

质量 M .
2 2 解: ? 在 xoy 面上的投影为 D x? y? 2 ,故 x y:
2 2 ? 3 1 ? 4 ( x ? y ) d x d y M??? ?dS ?? D
?
x y

2 ? 3 d ? r 1 ? 4 r d r ? ? 0 0

2 ?

2

12 2 2 ? 13 ? ? 6 ? ?? 1 ? 4 r d( 1 ? 4 r ) 0 8
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? y ? z ? 1 , x ? 0 , y ? 0 , z ? 0 的 2. 设 ? 是四面体 x z1 1 面, 计算 I ? d S . ?? 2 ?( 1 ? x ? y ) o 1y 解: 在四面体的四个面上 1 x 平面方程 投影域 dS

z ? 1 ? x ? y 3dxdy D : 0 ? x ? 1 , 0 ? y ? 1 ? x x y

z? 0
y ?0
x? 0

dxdy
dy dz

同上

: 0 ? z ? 1 , 0 ? x ? 1 ? z dz dx D z x

D : 0 ? z ? 1 , 0 ? y ? 1 ? z y z
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? I ? (3 ? 1 ) d x ? ?
0

1

1 ? x

1

0( 1 ? x ? y )

2

d y ?

? ? dz?
0

1

1 ? z

0

1 d x 2 ( 1 ? x )

? ? dz?
0

1

1 ? z

0

1 d y 2 ( 1 ?y )

3 ?3 ? ? (3 ? 1 ) ln 2 2

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