【解析版】广东省佛山市2013届高考一模数学理试题

2013 年广东省佛山市高考数学一模试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1. 分)设 i 为虚数单位,则复数 (5 A. B. 等于( ) C. D.

考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:计算题. 分析:把给出的复数分子分母同时乘以 2﹣i,然后整理成 a+bi(a,b∈R)的形式即可. 解答: 解: = .
3801346

故选 A. 点评:本题考查了复数代数形式的乘除运算,复数的除法,采用分子分母同时乘以分母的共轭复数, 是基础题. 2. 分) (5 )命题“?x∈R,x +1≥1”的否定是( 2 2 A.?x∈R,x +1<1 B.?x∈R,x +1≤1
2

) 2 C.?x∈R,x +1<1

D.?x∈R,x +1≥1

2

考点:Venn 图表达集合的关系及运算;交、并、补集的混合运算. 专题:规律型. 分析:全称命题: “?x∈A, (x) P ”的否定是特称命题: “?x∈A, P 非 (x) 结合已知中原命题“?x∈R, ”,
3801346

都有有 x +1≥1”,易得到答案. 解答:解:∵原命题“?x∈R,有 x2+1≥1” 2 ∴命题“?x∈R,有 x +1≥1”的否定是: 2 ?x∈R,使 x +1<1. 故选 C. 点评:本题考查的知识点是命题的否定,其中熟练掌握全称命题:“?x∈A,P(x)”的否定是特称命 题:“?x∈A,非 P(x)”,是解答此类问题的关键.

2

3. 分) (5 (2013?佛山一模)已知 =(1,2) =(0,1) =(k,﹣2) , , ,若( +2 )⊥ ,则 k= ( ) A.2

B.﹣2

C.8

D.﹣8

考点:数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题:平面向量及应用. 分析: 由向量的坐标运算易得 的坐标, 进而由
3801346

可得它们的数量积为 0, 可得关

于 k 的方程,解之可得答案. 解答: 解:∵ =(1,2) =(0,1) , , ∴ 又因为 所以 =(1,4) , , =k﹣8=0,

解得 k=8, 故选 C 点评:本题考查平面向量数量积和向量的垂直关系,属基础题. 4. 分) (5 (2013?淄博一模)一个直棱柱被一平面截去一部分所得几何体的三视图如下,则几何体 的体积为( )

A.8

B.9

C.10

D.11

考点:由三视图求面积、体积. 专题:计算题. 分析:三视图复原的几何体是四棱柱去掉一个三棱锥,的几何体,结合三视图的数据,求出体积即 可. 解答:解:三视图复原的几何体是底面是正方形边长为 2,棱长垂直底面高为 3,上底面是一个梯形 一边长为 1,
3801346

四棱柱去掉一个三棱锥,所以几何体的体积是:2×2×3﹣ 故选 D. 点评:本题考查由三视图求体积,考查空间想象能力,计算能力,是中档题.

=11

5. 分) (5 (2013?佛山一模)为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛,老师将二人最近 6 次数学测 试的分数进行统计,甲乙两人的平均成绩分别是 、 ,则下列说法正确的是( )

A. B. C. D.

> > < <

,乙比甲成绩稳定,应选乙参加比赛 ,甲比乙成绩稳定,应选甲参加比赛 ,甲比乙成绩稳定,应选甲参加比赛 ,乙比甲成绩稳定,应选乙参加比赛

考点:茎叶图;众数、中位数、平均数. 专题:计算题. 分析:根据茎叶图所给的两组数据,做出甲和乙的平均数,把两个人的平均数进行比较,得到乙的 平均数大于甲的平均数,得到结论. 解答:解:由茎叶图知,
3801346

甲的平均数是 乙的平均数是

=82, =87

∴乙的平均数大于甲的平均数, 从茎叶图可以看出乙的成绩比较稳定, 故选 D. 点评:本题考查两组数据的平均数和稳定程度,这是经常出现的一个问题,对于两组数据通常比较 他们的平均水平和稳定程度,注意运算要细心.

6. 分) (5 (2013?潮州二模)已知实数 x,y 满足

,则目标函数 z=2x﹣y 的最大值为(



A.﹣3

B.

C.5

D.6

考点:简单线性规划. 专题:计算题;不等式的解法及应用. 分析:作出题中不等式组表示的平面区域,得如图的△ ABC 及其内部,再将目标函数 z=2x﹣y 对应 的直线进行平移,可得当 x=2,y=﹣1 时,z 取得最大值 5. 解答:解:作出不等式组表示的平面区域,得到如图的△ ABC 及其内部,
3801346

其中 A(﹣1,﹣1) ,B(2,﹣1) ,C(0.5,0.5) 设 z=F(x,y)=2x﹣y,将直线 l:z=2x﹣y 进行平移, 当 l 经过点 B 时,目标函数 z 达到最大值 ∴z 最大值=F(2,﹣1)=5 故选:C 点评:题给出二元一次不等式组,求目标函数 z=2x﹣y 的最大值,着重考查了二元一次不等式组表 示的平面区域和简单的线性规划等知识,属于基础题. 7. 分) (5 (2013?佛山一模)已知集合 M={x||x﹣4|+|x﹣1|<5},N={x|a<x<6},且 M∩N={2,b}, 则 a+b=( ) A.6 B.7 C.8 D.9 考点:交集及其运算. 专题:计算题. 分析:集合 M 中的不等式表示数轴上到 1 的距离与到 4 的距离之和小于 5,求出 x 的范围,确定出 M,由 M 与 N 的交集及 N,确定出 a 与 b 的值,即可求出 a+b 的值. 解答:解:由集合 M 中的不等式,解得:0<x<5, ∴M={x|0<x<5}, ∵N={x|a<x<6},且 M∩N=(2,b) , ∴a=2,b=5, 则 a+b=2+5=7. 故选 B 点评:此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
3801346

8. 分) (5 (2013?佛山一模)对于函数 y=f(x) ,如果存在区间[m,n],同时满足下列条件: ①f(x)在[m,n]内是单调的; ②当定义域是[m,n]时,f(x)的值域也是[m,n]. 则称[m,n]是该函数的“和谐区间”.若函数 f(x)= 值范围是( A.(0,1) ) B.(0,2) C. ( ) D.(1,3) 存在“和谐区间”,则 a 的取

考点:函数单调性的判断与证明;函数的值域.

3801346

专题:压轴题;新定义;函数的性质及应用. 分析:易得函数在区间[m,n]是单调的,由 f(m)=m,f(n)=n 可得故 m、n 是方程 ax2﹣(a+1) x+a=0 的两个同号的实数根,由△ =(a+1) ﹣4a >0,解不等式即可. 解答: 解:由题意可得函数 f(x)= 在区间[m,n]是单调的,
2 2

所以[m,n]?(﹣∞,0)或[m,n]?(0,+∞) ,则 f(m)=m,f(n)=n, 故 m、n 是方程
2

的两个同号的实数根,

即方程 ax ﹣(a+1)x+a=0 有两个同号的实数根,注意到 mn= =1>0, 故只需△ =(a+1) ﹣4a >0,解得
2 2

<a<1,

结合 a>0,可得 0<a<1 故选 A 点评:本题考查函数单调性的判断和一元二次方程的根的分布,属基础题. 二、填空题:必做题(9~13 题)每小题 5 分. 9. 分) (5 (2013?佛山一模)已知函数 y=f(x)是奇函数,当 x>0 时,f(x)=log2x,则 f(f( ) ) 的值等于 ﹣1 . 考点:对数的运算性质;函数的值. 专题:计算题;函数的性质及应用. 分析: 由已知可得 f(﹣x)=﹣f(x) ,结合已知可求 f( )=﹣2,然后再由 f(﹣2)=﹣f(2) ,代
3801346

入已知可求 解答:解:∵y=f(x)是奇函数, ∴f(﹣x)=﹣f(x) ∵当 x>0 时,f(x)=log2x, ∴ =﹣2

则 f(f( ) )=f(﹣2)=﹣f(2)=﹣1 故答案为:﹣1 点评:本题主要考查了奇函数的性质的简单应用,属于基础试题 10. 分) (5 (2013?淄博一模)已知抛物线 x =4y 上一点 P 到焦点 F 的距离是 5,则点 P 的横坐标是 ±4 . 考点:抛物线的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:根据点 P 到焦点的距离为 5 利用抛物线的定义可推断出 P 到准线距离也为 5.利用抛物线的 方程求得准线方程,进而可求得 P 的坐标. 解答:解:根据抛物线的定义可知 P 到焦点的距离为 5,则其到准线距离也为 5.
3801346

2

又∵抛物线的准线为 y=﹣1, ∴P 点的纵坐标为 5﹣1=4. 将 y=4 代入抛物线方程得:4×4=x ,解得 x=±4 故答案为:±4. 点评:活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法.抛物线上的点到焦点的距离,叫焦半 径.到焦点的距离常转化为到准线的距离求解.
2

11. 分) (5 (2013?佛山一模)函数 y=sinx+sin(x﹣

) 的最小正周期为 2π ,最大值是



考点:两角和与差的正弦函数;诱导公式的作用. 专题:计算题;三角函数的图像与性质. 分析:利用两角和与差的正弦函数化简函数我一个角的一个三角函数的形式,然后直接求出函数的 周期与最大值. 解答: 解:因为函数 y=sinx+sin(x﹣ )=sinx+ sinx﹣ cosx= sin(x﹣ ) .
3801346

所以函数的周期为 T=

=2π (2 分) ;

函数的最大值为: (3 分) 故答案为:2π; . 点评:本题考查三角函数的化简求值,函数周期的求法,考查基本知识的应用. 12. 分) (5 (2013?佛山一模)某学生在参加政、史、地三门课程的学业水平考试中,取得 A 等级的 概率分别为 、 、 ,且三门课程的成绩是否取得 A 等级相互独立.记 ξ 为该生取得 A 等级的课程 数,其分布列如表所示,则数学期望 Eξ 的值为 ξ P 0 1 a 2 b 3 .

考点:离散型随机变量的期望与方差. 专题:概率与统计. 分析:①学生在参加政、史、地三门课程的学业水平考试中,有两门取得 A 等级有以下 3 种情况: 政、史;政、地;地、史.再利用相互独立事件的概率计算公式、互斥事件的概率计算公式 即可得到 P(ξ=2) ;②根据概率的规范性可得:P(ξ=1)=1﹣P(ξ=0)﹣P(ξ=2)﹣P(ξ=3) , 据此即可得出 P(ξ=1) .利用离散型随机变量的数学期望即可得出 Eξ. 解答:解:①学生在参加政、史、地三门课程的学业水平考试中,有两门取得 A 等级有以下 3 种情 况:政、史;政、地;地、史.
3801346

∴P(ξ=2)=

+

=



②根据分布列的性质可得:P(ξ=1)=1﹣P(ξ=0)﹣P(ξ=2)﹣P(ξ=3) = = ,

∴Eξ=0×

+

=

= .

故答案为 . 点评:熟练掌握相互独立事件的概率计算公式、互斥事件的概率计算公式、离散型随机变量的数学 期望是解题的关键. 13. 分) (5 (2013?佛山一模)观察下列不等式: ① <1;② +;③ . ;…则第 5 个不等式为

考点:归纳推理;进行简单的合情推理. 专题:压轴题;规律型. 分析:前 3 个不等式有这样的特点,第一个不等式含 1 项,第二个不等式含 2 项,第三个不等式含 3 项,且每一项的分子都是 1,分母都含有根式,根号内数字的规律是 2;2,6;2,12;由 此可知,第 n 个不等式左边应含有 n 项,每一项分子都是 1,分母中根号内的数的差构成等 差数列,不等式的右边应是根号内的序号数. 解答:解:由① <1;
3801346

② ③

+; ; ; . .

归纳可知第四个不等式应为 第五个不等式应为 故答案为

点评:本题考查了合情推理中的归纳推理,归纳推理是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、 联想,再进行归纳,然后提出猜想的推理.是基础题. 三、选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题)5 分 14. 分) (5 (2013?崇明县二模)在极坐标系中,直线过点(1,0)且与直线 则直线的极坐标方程为 考点:简单曲线的极坐标方程. 专题:计算题. 分析: 先将直线极坐标方程 . (ρ∈R)垂直,

3801346

(ρ∈R)化成直角坐标方程,再利用直角坐标方程进行求解过点

(1,0)且与直线 解答: 解:由题意可知直线 过点(1,0)且与直线

(ρ∈R)垂直的直线方程,最后再化成极坐标方程即可. (ρ∈R)的直角坐标方程为: x﹣y=0 垂直的直线方程为:y=﹣ y﹣1=0, x﹣y=0, (x﹣1) ,

即所求直线普通方程为 x+

则其极坐标方程为 . 故答案为: . 点评:本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,利用直角坐标与极坐标间的关系,即利用 ρcosθ=x, 2 2 2 ρsinθ=y,ρ =x +y ,进行代换即得. 15. (2013?佛山一模) (几何证明选讲)如图,M 是平行四边形 ABCD 的边 AB 的中点,直线 l 过点 M 分别交 AD,AC 于点 E,F.若 AD=3AE,则 AF:FC= 1:4 .

考点:向量在几何中的应用. 专题:压轴题. 分析:利用平行四边形的性质和平行线分线段成比例定理即可得出. 解答:解:如图所示,设直线 l 交 CD 的延长线于点 N. ∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD.
3801346

∵M 是边 AB 的中点,∴ ∴ ,∴ .



故答案为 1:4.

点评:熟练掌握平行四边形的性质和平行线分线段成比例定理是解题的关键. 四、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.12 分)2013?崇明县二模) ( ( 如图, ABC 中, 在△ ∠C=45°, 为 BC 中点, D BC=2. 记锐角∠ADB=α. 且 满足 cos2α= .

(1)求 cosα; (2)求 BC 边上高的值.

考点:正弦定理;二倍角的余弦. 专题:计算题;解三角形. 分析:(1)由二倍角公式 cos2α=2cos2α﹣1,可求 cosα
3801346

(2)方法一、由 sin∠CAD=sin( 由正弦定理 )=sin

可求 sinα,而∠CAD=∠ADB﹣∠C=α﹣45°,利用 ,代入可求 sin∠CAD,最后再 ,可求 AD,从而可由 h=ADsin∠ADB 求解 ,设出 AD,则

方法二、作 BC 边上的高为 AH,在直角△ ADH 中,由(1)可得

可表示 DH,AH,结合△ AHC 为等腰直角三角形,可得 CD+DH=AH,代入可求 解答: 解: (1)∵cos2α=2cos α﹣1= ∴ ∵ , ,
2



∴cosα= .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(5 分) (2)方法一、由(1)得 ∵∠CAD=∠ADB﹣∠C=α﹣45°, ∴sin∠CAD=sin( = = )=sin ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9 分) , = ,

在△ ACD 中,由正弦定理得:

∴AD=

=

,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(11 分)

则高 h=ADsin∠ADB=

=4.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分)

方法二、如图,作 BC 边上的高为 AH

在直角△ △ ADH 中,由(1)可得

= ,

则不妨设 AD=5m 则 DH=3m,AH=4m﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8 分) 注意到 C=45°,则△ AHC 为等腰直角三角形,所以 CD+DH=AH, 则 1+3m=4m﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10 分) 所以 m=1,即 AH=4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分)

点评:本题主要考查了同角平方关系、和差角公式及正弦定理在求解三角形中的应用,解题的关键 是熟练应用基本公式 17. (12 分) (2013?佛山一模)数列{an}的前 n 项和为 Sn=2 (d≠0)的等差数列,且 b1,b3,b11 成等比数列. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2)设 ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.
n+1

﹣2,数列{bn}是首项为 a1,公差为 d

考点:数列的求和;等差数列的通项公式;等比数列的通项公式. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (1) 利用 、 等差数列的通项公式、 等比数列的定义即可得出;
3801346

(2)利用“错位相减法”即可得出.
n+1 n n 解答:解析: (1)当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=2 ﹣2 =2 ,



,也满足上式, .

所以数列{an}的通项公式为

b1=a1=2,设公差为 d,由 b1,b3,b11 成等比数列, 2 2 得(2+2d) =2×(2+10d) ,化为 d ﹣3d=0. 解得 d=0(舍去)d=3, 所以数列{bn}的通项公式为 bn=3n﹣1. (2)由(1)可得 Tn= ,

∴2Tn=



两式相减得 Tn=



= 点评: 熟练掌握 减法”是解题的关键.

=



、等差数列的通项公式、等比数列的定义、“错位相

18.14 分)2013?潮州二模) ( ( 如图所示, 已知 AB 为圆 O 的直径, D 为线段 AB 上一点, AD= DB, 点 且 点 C 为圆 O 上一点,且 BC= AC.点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D,PD=DB. (1)求证:PA⊥CD; (2)求二面角 C﹣PB﹣A 的余弦值.

考点:二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定. 专题:空间位置关系与距离;空间角. 分析:(1)先利用平面几何知识与线面垂直的性质证线线垂直,由线线垂直?线面垂直,再由线面 垂直?线线垂直; (2)通过作出二面角的平面角,证明符合定义,再在三角形中求解. 解答:解析: (1)连接 OC,由 3AD=BD 知,点 D 为 AO 的中点, 又∵AB 为圆的直径,∴AC⊥BC, ∵ AC=BC,∴∠CAB=60°, ∴△ACO 为等边三角形,∴CD⊥AO. ∵点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D, ∴PD⊥平面 ABC,又 CD?平面 ABC, ∴PD⊥CD,PD∩AO=D, ∴CD⊥平面 PAB,PA?平面 PAB, ∴PA⊥CD. (2)过点 D 作 DE⊥PB,垂足为 E,连接 CE, 由(1)知 CD⊥平面 PAB,又 PB?平面 PAB, ∴CD⊥PB,又 DE∩CD=D,
3801346

∴PB⊥平面 CDE,又 CE?平面 CDE, ∴CE⊥PB, ∴∠DEC 为二面角 C﹣PB﹣A 的平面角. 由(1)可知 CD= ,PD=BD=3, ∴PB=3 ,则 DE= = = , , .

∴在 Rt△ CDE 中,tan∠DEC= ∴cos∠DEC=

,即二面角 C﹣PB﹣A 的余弦值为

点评:本题考查线线垂直的判定、二面角的平面角及求法.二面角的求法:法 1、作角(根据定义 作二面角的平面角)﹣﹣证角(符合定义)﹣﹣求角(解三角形) ; 法 2、空间向量法,求得两平面的法向量,再利用向量的数量积公式求夹角的余弦值. 19. (14 分) (2013?佛山一模)某工厂生产某种产品,每日的成本 C(单位:元)与日产里 x(单位: 吨)满足函数关系式 C=3+x,每日的销售额 R(单位:元)与日产量 x 满足函数关系式 ,已知每日的利润 L=S﹣C,且当 x=2 时,L=3 (I)求 k 的值; (II)当日产量为多少吨时,毎日的利润可以达到最大,并求出最大值. 考点:函数模型的选择与应用;函数最值的应用. 专题:计算题;应用题. 分析:(I)根据每日的利润 L=S﹣C 建立函数关系,然后根据当 x=2 时,L=3 可求出 k 的值; (II)当 0<x<6 时,利用基本不等式求出函数的最大值,当 x≥6 时利用函数单调性求出函数
3801346

的最大值,比较两最大值即可得到所求. 解答: 解: (I)由题意可得:L= 因为 x=2 时,L=3 所以 3=2×2+ 所以 k=18 (II)当 0<x<6 时,L=2x+ 所以 L=2(x﹣8)+ 当且仅当 2(8﹣x)= +2 ]+18≤﹣2 +18=6 +2

+18=﹣[2(8﹣x)+ 即 x=5 时取等号

当 x≥6 时,L=11﹣x≤5 所以当 x=5 时,L 取得最大值 6 所以当日产量为 5 吨时,毎日的利润可以达到最大值 6. 点评:本题主要考查了函数模型的选择与应用,以及利用基本不等式求函数的最值,同时考查了计 算能力,属于中档题.

20. (14 分) (2013?潮州二模)设椭圆

的左右顶点分别为 A(﹣2,0) ,B

(2,0) ,离心率 e=

.过该椭圆上任一点 P 作 PQ⊥x 轴,垂足为 Q,点 C 在 QP 的延长线上,且

|QP|=|PC|. (1)求椭圆的方程; (2)求动点 C 的轨迹 E 的方程; (3)设直线 AC(C 点不同于 A,B)与直线 x=2 交于点 R,D 为线段 RB 的中点,试判断直线 CD 与曲线 E 的位置关系,并证明你的结论. 考点:轨迹方程;椭圆的标准方程;直线与圆锥曲线的关系. 专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:(1)根据题意建立关于 a、c 的方程组,解出 a=2,c= ,从而得到 b2 的值,即可求出椭圆 的方程;
3801346

(2)设 C(x,y) 、P(x0,y0) ,可得 x0=x 且 y0= y,结合点 P(x0,y0)在椭圆上代入化简 得到 x +y =4,即为动点 C 的轨迹 E 的方程; (3)设 C(m,n) 、R(2,t) ,根据三点共线得到 4n=t(m+2) ,得 R 的坐标进而得到 D(2, ) .由 CD 斜率和点 C 在圆 x +y =4 上,解出直线 CD 方程为 mx+ny﹣4=0,最后用点到 直线的距离公式即可算出直线 CD 与圆 x +y =4 相切,即 CD 与曲线 E 相切. 解答: 解: (1)由题意,可得 a=2,e= = ,可得 c= ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
2 2 2 2 2 2

(2 分) ∴b =a ﹣c =1, 因此,椭圆的方程为 .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4 分)
2 2 2

(2)设 C(x,y) ,P(x0,y0) ,由题意得

,即

,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) 又 ,代入得
2 2

,即 x +y =4.

2

2

即动点 C 的轨迹 E 的方程为 x +y =4.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8 分) (3)设 C(m,n) ,点 R 的坐标为(2,t) , ∵A、C、R 三点共线,∴ 而 ∴t= =(m+2,n) , ∥ ,

=(4,t) ,则 4n=t(m+2) , ) ,点 D 的坐标为(2, ) ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

,可得点 R 的坐标为(2,

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10 分) ∴直线 CD 的斜率为 k= = ,

而 m +n =4,∴﹣n =m ﹣4,代入上式可得 k= ﹣﹣﹣(12 分)

2

2

2

2

=﹣ ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

∴直线 CD 的方程为 y﹣n=﹣ (x﹣m) ,化简得 mx+ny﹣4=0, ∴圆心 O 到直线 CD 的距离 d=

=

=2=r,

因此,直线 CD 与圆 O 相切,即 CD 与曲线 E 相切.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (14 分) 点评:本题给出椭圆及其上的动点,求椭圆的方程并用此探索直线 CD 与曲线 E 的位置关系,着重 考查了椭圆的简单几何性质、直线与圆的位置关系和轨迹方程的求法等知识,属于中档题. 21. (14 分) (2013?佛山一模)设 g(x)=e ,f(x)=g[λx+(1﹣λ)a]﹣λg(x) ,其中 a,λ 是常数, 且 0<λ<1. (1)求函数 f(x)的极值; (2)证明:对任意正数 a,存在正数 x,使不等式 成立;
x

(3) 设

, λ1+λ2=1, 且 证明: 对任意正数 a1,2 都有: a



考点:函数在某点取得极值的条件;导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题:压轴题;导数的综合应用. 分析:(1)首先对函数求导,使得导函数等于 0,解出 x 的值,分两种情况讨论:当 f′(x)>0, 当 f′(x)<0,做出函数的极值点,求出极值.
3801346

(2)由于
x

,再将原不等式化为

,即 e ﹣(1+a)

x

x﹣1<0,令 g(x)=e ﹣(1+a)x﹣1,利用导数研究此函数的极值,从而得出存在正数 x=ln (a+1) ,使原不等式成立. (3)对任意正数 a1,a2,存在实数 x1,x2 使 a1=e ? = , ? (x1)+λ2g(x2) ,下面利用(1)的结论得出 ≤ ≤ ,a2=e ,则 ,将原不等式 ?g(λ1x1+λ2x2)≤λ1g 即可.

解答:解: (1)∵f′(x)=λg[λx+(1﹣λ)a]﹣λg′(x) ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (1 分) 由 f′(x)>0 得,g[λx+(1﹣λ)a]>g′(x) , ∴λx+(1﹣λ)a>x,即(1﹣λ) (x﹣a)<0,解得 x<a,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣(3 分) 故当 x<a 时,f′(x)>0;当 x>a 时,f′(x)<0; ∴当 x=a 时,f(x)取极大值,但 f(x)没有极小值.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣(4 分) (2)∵
x


x

又当 x>0 时,令 h(x)=e ﹣x﹣1,则 h′(x)=e ﹣1>0, 故 h(x)>h(0)=0, 因此原不等式化为 ,即 e ﹣(1+a)x﹣1<0,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
x

﹣﹣﹣﹣(6 分) x x 令 g(x)=e ﹣(1+a)x﹣1,则 g′(x)=e ﹣(1+a) , x 由 g′(x)=0 得:e =(1+a) ,解得 x=ln(a+1) , 当 0<x<ln(a+1)时,g′(x)<0;当 x>ln(a+1)时,g′(x)>0. 故当 x=ln(a+1)时,g(x)取最小值 g[ln(a+1)]=a﹣(1+a)ln(a+1) ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8 分)

令 s(a)=

,则 s′(a)=



故 s(a)<s(0)=0,即 g[ln(a+1)]=a﹣(1+a)ln(a+1)<0. 因此,存在正数 x=ln(a+1) ,使原不等式成立.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10 分) (3)对任意正数 a1,a2,存在实数 x1,x2 使 a1=e 则 ? = , ? ≤ ,a2=e , , ,

原不等式

?g(λ1x1+λ2x2)≤λ1g(x1)+λ2g(x2)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(14 分) 由(1)f(x)≤(1﹣λ)g(a) 故 g[λa+(1﹣λ)a]≤λg(x)+(1﹣λ)g(a) 令 x=x1,a=x2,λ=λ1,1﹣λ=λ2 从而 g(λ1x1+λ2x2)≤λ1g(x1)+λ2g(x2) 故 ≤ 成立,得证(14 分)

点评:本小题主要考查函数在某点取得极值的条件、导数在最大值、最小值问题中的应用及应用所 学导数的知识、思想和方法解决问题的能力,属于中档题.


相关文档

北京市朝阳区2013届高考一模数学理试题(WORD解析版)
北京市西城区2013届高考一模数学理试题(WORD解析版)
北京市石景山区2013届高考一模数学理试题(WORD解析版)
【解析版】河北省衡水中学2013届高三一模数学理试题
北京市丰台区2013届高考一模数学理试题(WORD解析版)
广东省各市2015年高考一模数学理试题分类汇编:函数
北京市门头沟区2013届高考一模数学理试题(WORD解析版)
广东省各市2015年高考一模数学理试题分类汇编:不等式
广东省各市2015年高考一模数学理试题分类汇编:解析几何
广东省各市2015年高考一模数学理试题分类汇编:平面向量
学霸百科
48132324文学网 481323241php网站 481323242jsp网站 481323243小说站 481323244算命网 481323245占卜网 481323246星座网
电脑版 |