【精选】高中数学苏教版选修2-1第1章《常用逻辑用语》(3.1)word学案-数学

数学、高中数学、数学课件、数学教案、数学试题、试卷数学、数学考试、奥数、集合、有理数、函数、不等式、解三角形 1. 3 1.3.1 量 全称量词与存在量词 词 [学习目标] 1.通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义,熟悉常见的全 称量词和存在量词.2.了解含有量词的全称命题和存在性命题的含义,并能用数学符号表示含有 量词的命题及判断其命题的真假性. [知识链接] 下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系? (1)x>3; (2)2x+1 是整数; (3)对所有的 x∈R,x>3; (4)对任意一个 x∈Z,2x+1 是整数. 答:语句(1)(2)含有变量 x,由于不知道变量 x 代表什么数,无法判断它们的真假,因而不是命 题.语句(3)在(1)的基础上,用短语“对所有的”对变量 x 进行限定;语句(4)在(2)的基础上, 用短语“对任意一个”对变量 x 进行限定,从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句,因此语句 (3)(4)是命题. [预习导引] 数学、高中数学、数学课件、数学教案、数学试题、试卷数学、数学考试、奥数、集合、有理数、函数、不等式、解三角形 数学、高中数学、数学课件、数学教案、数学试题、试卷数学、数学考试、奥数、集合、有理数、函数、不等式、解三角形 1.全称量词和全称命题 (1) 全称量词:短语“所有”“每一个”“任意”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号 “?”表示. (2)全称命题:含有全称量词的命题叫做全称命题.全称命题“对 M 中任意一个 x,有 p(x)成 立”可用符号简记为?x∈M,p(x),读作“对任意 x 属于 M,有 p(x)成立”. 2.存在量词和存在性命题 (1)存在量词:短语“存在一个”“有一个”“有些”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号 “?”表示. (2)存在性命题:含有存在量词的命题叫做存在性命题.存在性命题“存在 M 中的一个 x0,使 p(x0)成立”可用符号简记为?x0∈M,p(x0),读作“存在 M 中的一个元素 x0,使 p(x0)成立”. 数学、高中数学、数学课件、数学教案、数学试题、试卷数学、数学考试、奥数、集合、有理数、函数、不等式、解三角形 数学、高中数学、数学课件、数学教案、数学试题、试卷数学、数学考试、奥数、集合、有理数、函数、不等式、解三角形 要点一 全称量词与全称命题 例 1 试判断下列全称命题的真假: (1)?x∈R,x2+2>0;(2)?x∈N,x4≥1;(3)对任意角 α,都有 sin2α+cos2α=1. 解 (1)由于?x∈R,都有 x2≥0,因而有 x2+2≥2>0,即 x2+2>0,所以命题“?x∈R,x2+ 2>0”是真命题. (2)由于 0∈N,当 x=0 时,x4≥1 不成立,所以命题“?x∈N,x4≥1”是假命题. (3)由于?α∈R,sin2α+cos2α=1 成立.所以命题“对任意角 α,都有 sin2α+cos2α=1”是真命 题. 规律方法 判断全称命题为真时,要看命题是否对给定集合中的所有元素成立.判断全称命题 为假时,可以用反例进行否定. 跟踪演练 1 判断下列全称命题的真假: (1)所有的素数是奇数; (2)?x∈R,x2+1≥1; (3)对每一个无理数 x,x2 也是无理数. 解 (1)2 是素数,但 2 不是奇数. 所以,全称命题“所有的素数是奇数”是假命题. (2)?x∈R,总有 x2≥0,因而 x2+1≥1. 所以,全称命题“?x∈R,x2+1≥1”是真命题. (3) 2是无理数,但( 2)2=2 是有理数. 所以,全称命题“对每一个无理数 x,x2 也是无理数”是假命题. 要点二 存在量词与存在性命题 例 2 判断下列命题的真假: (1)?x0∈Z,x3 0<1; (2)存在一个四边形不是平行四边形; (3)有一个实数 α,使 tanα 无意义; π (4)?x0∈R,cosx0= . 2 解 (1)∵-1∈Z,且(-1)3=-1<1, ∴“?x0∈Z,x3 0<1”是真命题. 数学、高中数学、数学课件、数学教案、数学试题、试卷数学、数学考试、奥数、集合、有理数、函数、不等式、解三角形 数学、高中数学、数学课件、数学教案、数学试题、试卷数学、数学考试、奥数、集合、有理数、函数、不等式、解三角形 (2)真命题,如梯形. π (3)真命题,当 α= 时,tanα 无意义. 2 π (4)∵当 x∈R 时,cosx∈[-1,1],而 >1, 2 π ∴不存在 x0∈R,使 cosx0= , 2 ∴原命题是假命题. 规律方法 存在性命题是含有存在量词的命题,判定一个存在性命题为真,只需在指定集合中 找到一个元素满足命题结论即可. 跟踪演练 2 判断下列存在性命题的真假: (1)有一个实数 x0,使 x2 0+2x0+3=0; (2)存在两个相交平面垂直于同一条直线; (3)有些整数只有两个正因数. 解 (1)由于?x∈R,x2+2x+3=(x+1)2+2≥2,因此使 x2+2x+3=0 的实数 x 不存在.所 以,存在性命题“有一个实数 x0,使 x2 0+2x0+3=0”是假命题. (2)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的,因此不存在两个相交的平面垂直于同一 条直线.所以,存在性命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”是假命题. (3)由于存在整数 3 只有两个正因数 1 和 3,所以存在性命题“有些整数只有两个正因数”是真 命题. 要点三 全称命题、存在性命题的应用 例3 (1)对于任意实数 x,不等式 sinx+cosx>m 恒成立.求实数 m 的取值范围; (2)存在实数 x,不等式 sinx+cosx>m 有解,求实数 m 的取值范围. 解 (1)令 y=sinx+cosx,x∈R, π ∵y=sinx+cosx= 2sin(x+ )≥- 2, 4 又∵?x∈R,sinx+cosx>m 恒成立, ∴只要

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