巩固练习 离散型随机变量的均值与方差(理)(基础)

【巩固练习】
一、选择题 1.下面说法中正确的是( )

A.离散型随机变量 ξ 的均值 E(ξ )反映了 ξ 取值的概率的平均值 B.离散型随机变量 ξ 的方差 D(ξ )反映了 ξ 取值的平均水平 C.离散型随机变量 ξ 的均值 E(ξ )反映了 ξ 取值的平均水平 D.离散型随机变量 ξ 的方差 D(ξ )反映了 ξ 取值的概率的平均值 2.已知 ξ 的分布列为 ξ P -1 0.5 ) (B)0.61 ξ P ,则 E(5ξ +4)等于( A.13 C.2.2 ) B.11 D.2.3 ) . (C)-0.3 0 0.4 2 0.3 (D)0 4 0.3 0 0.3 1 0.2

则 Dξ 等于( (A)0.7

3.随机变量 ξ 的分布列为

4.随机变量ξ 服从二项分布 B(100,0.2) ,那么 D(4ξ +3)的值为( A.64 B.256 C.259 D.320

5.某商场买来一车苹果,从中随机抽取了 10 个苹果,其重量(单位:克)分别为:150, 152,153,149,148,146,151,150,152,147,由此估计这车苹果单个重量的期望值是 ( ) . A.150.2 克 B.149.8 克 C.149.4 克 D.147.8 克

6.从学校乘汽车到火车站的途中有 3 个交通岗,假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互 独立的,并且概率都是 A.

6 5

2 ,设ξ 为途中遇到红灯的次数,则随机变量的方差为( 5 18 6 18 B. C. D. 125 25 25

) .

7.节日期间,某种鲜花进货价是每束 2.5 元,销售价每束 5 元;节后卖不出去的鲜花以每 束 1.6 元价格处理. 根据前五年销售情况预测, 节日期间这种鲜花的需求量服从如下表所示 的分布,若进这种鲜花 500 束,则期望利润是 ξ P A.706 元 C.754 元 200 0.20 300 0.35 400 0.30 B.690 元 D.720 元 500 0.15

8.甲、乙两台自动车床生产同种标准件,X 表示甲机床生产 1 000 件产品中的次品数,Y 表示乙机床生产 1 000 件产品中的次品数,经过一段时间的考查,X、Y 的分布列分别为

X P Y P 据此判断( ) A.甲比乙质量好 C.甲与乙质量相同 二、填空题

0 0.7 0 0.5

1 0.1 1 0.3

2 0.1 2 0.2

3 0.1 3 0

B.乙比甲质量好 D.无法判定

9.已知随机变量 ? 服从二项分布即 ? ~ B(6, ) ,则 E? ?

1 3

; D? ?

10. 有两台自动包装机甲与乙, 包装重量分别为随机变量 ξ 1、 ξ 2, 若 Eξ 1=Eξ 2, Dξ 1>Dξ 2, 则自动包装机________的质量较好. 11.某射手有 5 发子弹,射击一次,命中率是 0.9,如果命中了就停止射击,否则一直射到 子弹用尽为止,设损耗子弹数为 X,则 E(X)=________,D(X)=________. (精确到 0.01) 12.某保险公司新开设了一项保险业务,若在一年内事件 E 发生,该公司要赔偿 a 元,设一 年内事件 E 发生的概率为 p,为使公司收益的期望值等于 a 的 10%,公司应要求投保人交的 保险金为________元. 三、解答题 13.一袋中装有 6 只球,编号为 1,2,3,4,5,6,在袋中同时取 3 只,求三只球中的最 大号码 ξ 的数学期望. 14.某批产品的合格率为 98%,检验员从中有放回地随机抽取 100 件进行检验. (1)抽出的 100 件产品中平均有多少件正品? (2)求抽出的 100 件产品中正品件数的方差和标准差. 15.设甲、乙两射手各打了 10 发子弹,每发子弹击中环数如下: 甲:10,6,7,10,8,9,9,10,5,10. 乙:8,7,9,10,9,8,7,9,8,9. 试问哪一名射手的射击技术较好?

【答案与解析】
1.【答案】 C 【解析】 离散型随机变量 ξ 的均值 E(ξ )反映 ξ 取值的平均水平,它的方差反映 ξ 的取值的离散程度.故答案选 C. 2. 【答案】 B 【解析】直接用定义或性质计算. 3. 【答案】A 【解析】由已知得

E(ξ )=0×0.4+2×0.3+4×0.3=1.8,
∴E(5ξ +4)=5E(ξ )+4=5×1.8+4=13. 答案:A 4. 【答案】B 【解析】 D(? ) ? 100 ? 0.2 ? (1 ? 0.2) ? 16 , D(4? ? 3) ? 16D(? ) ? 256 。 5. 【答案】B 【解析】 期望为

1 ? (150 ? 152 ? 153 ? 148 ? 148 ? 146 ? 151 ? 150 ? 152 ? 147) ? 149.8 。 10 2 3 18 ? 2? 。 B ? 3, ? ,∴ D (? ) ? 3 ? ? ? 5 5 25 ? 5?

6. 【答案】B 【解析】 7. 【答案】A 【解析】节日期间预售的量:

?

Eξ =200×0.2+300×0.35+400×0.3+500×0.15=40+105+120+75=340(束),
则期望的利润: η =5ξ +1.6(500-ξ )-500×2.5=3.4ξ -450, ∴Eη =3.4Eξ -450=3.4×340-450=706. ∴期望利润为 706 元. 8. 【答案】A 【解析】EX=0.7×0+1×0.1+2×0.1+3×0.1=0.6,

EY=0×0.5+1×0.3+2×0.2+3×0=0.7,
因为 EX<EY,根据随机变量 X 与 Y 各自的均值(即甲、乙两台机床生产的 1 000 件产品 中次品数的平均值),可知甲的次品数较少. 9. 【答案】2,

4 3 4 。 3

【解析】 E? ? np ? 2 , D? ? np (1 ? p ) ? 10. 【答案】乙

【解析】Eξ 1=Eξ 2 说明甲、乙两机包装的重量的平均水平一样.Dξ 1>Dξ 2 说明甲机包 装重量的差别大,不稳定.∴乙机质量好. 11. 【答案】1.11 0.12

【解析】随机变量 X 服从超几何分布,根据公式:期望 EX ?

1 1- p . 方差 DX ? 2 可求。 p p

12. 【答案】 【解析】设要求投保人交 x 元,公司的收益额 ξ 作为随机变量,则 P(ξ =x) =1-p,P(ξ =x-a)=p, ∴Eξ =x(1-p)+(x-a)p=x-ap. ∴x-ap=0.1a,

∴x=(0.1+p)·a. 答案:(0.1+p)·a

Ck2?1 13. 解:ξ 的取值为 3,4,5,6,P(ξ =k)= 2 ,k=3,4,5,6. Ck
因此,ξ 的分布列为 ξ 3 4 5 6

3 6 10 20 20 20 1 3 6 10 21 Eξ =3× +4× +5× +6× = =5.25. 20 20 20 20 4
P
14.解: (1)设抽得的正品件数为 X,由于是有放回地随机抽样,故变量 X 服从二项分布, 即 X~B(100,0.98) , ∴E(X)=100×0.98=98,即平均有 98 件正品。 (2)V(X)=100×0.98×(1-0.98)=1.96,

1 20

V ( X ) ? 1.96 ? 1.4 。
15.解: E (?甲 ) ?

1 (10 ? 6 ? 7 ? 10 ? 8 ? 9 ? 9 ? 10 ? 5 ? 10) ? 8.4 , 10

E (?乙 ) ?

1 (8 ? 7 ? 9 ? 10 ? 9 ? 8 ? 7 ? 9 ? 8 ? 9) ? 8.4 , 10

V (?甲) ? 4 ? (10 ? 8.4)2 ? 2 ? (9 ? 8.4)2 ? (8 ? 8.4)2 ? (7 ? 8.4)2 ? (6 ? 8.4)2 ? (5 ? 8.4)2 ? 30.4


V (?乙 ) ? (10 ? 8.4)2 ? 4 ? (9 ? 8.4)2 ? 3? (8 ? 8.4)2 ? 2 ? (7 ? 8.4)2 ? 8.4 ,
∴ E(?甲 ) ? E(?乙 ) , V (?甲) ? V (?乙 ) 。 这说明甲的子弹着点比乙的分散,即甲的技术没有乙稳定,因此乙的射击技术比甲好。


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