liangrenzuorenaifeishipin:增城市2015届高中毕业班调研测试理科数学试题

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增城市 2015 届高中毕业班调研测试理科试题





试题分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。 共 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.第 I 卷(选择题)每小题选出答案后,用铅笔把答卷上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题上; 2.第 II 卷(非选择题)答案写在答卷上。
2 参考公式: S 球 ? 4?R , V柱 ? Sh, V锥 ?

1 1 4 Sh,V台 ? ( S ? ? S ?S ? S )h,V球 ? ? R 3 3 3 3 如果事件 A 、 B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) . 如果事件 A 、 B 相互独立,那么 P( A ? B) ? P( A) P( B) .

第 I 卷(选择题,共 40 分)
一、选择题:本大题共有 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1.计算

1? i ? 1? i (A) i

(B)

?i

(C)

2i

(D)

? 2i

2.设集合 A ? {x 2 ? x ? 4}, B ? {x 3x ? 7 ? 8 ? 2x}, 则 A ? B ? (A)

[3, 4) (B) (3,4) sin(? ? ? ) ? ? sin ? cos(2? ? ? ) ? cos ?
1 1 ? 1 ? 1 2

(C)

[2,3]

(D)

[2, 4)

3.下列等式中错误的是 (A) (C) (B) (D)

cos(? ? ? ) ? cos ? sin(2? ? ? ) ? sin ?

4.化简 4 x 4 (?3x 4 y 3 ) ? (?6 x
1 1

y 3) ?
?1

?

2

(A) 2 xy 3 (B) - 2 xy 3 (C) 2 y (D) ?2 y 5.若直线 a 不平行于平面 ? ,则下列结论成立的是 (A)平面 ? 内的所有直线都与直线 a 异面. (B)平面 ? 内存在与 a 平行的直线. (C)平面 ? 内的直线都与直线 a 相交. (D)直线 a 与平面 ? 有公共点. 6.如图 1 是一个圆锥的三视图,则其侧面积 是 (A) ? (B) 2 ? (C) 3 ? (D) 4 ? 7.已知 log a

3

正视图

侧视图

2 图1

俯视图

1 ? 1(a ? 0, a ? 1) ,则实数 a 的取值范围是 3
第 1 页 共 10 页

1 1 1 (C) (0, ) (D) (0, ) ? (1, ??) 3 3 3 2 2 8.已知圆 C : ( x ?1) ? ( y ? 2) ? 25, 直线 l : (2m ? 1) x ? (m ? 1) y ? 7m ? 4 ? 0, m ? R ,当直线 l 被
(A) (1, ??) (B) ( ,1) 圆 C 截得的弦最短时的 m 的值是 (A) ?

3 4

(B)

?

1 3

(C)

?

4 3

(D)

3 4

第 II 卷(非选择题,共 110 分)

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 30 分.其中 14~15 题是选做题,只能做一题,两题全 答的,只计算前一题得分. (一)必做题(9~13 题) 9.已知 a ? (n,1), b ? (4, n) 共线且方向相同,则 n ? 10. 二项式 ( x ? )9 的展开式中 x 的项的系数是
3

. . . 开始
i ?1

1 x

11.如果函数 f ( x) ?

2 ? a 是奇函数,则 a 的值是 2 ?1
x

12. 如图 2,是一个问题的程序框图,输出的结果 是 1717,则设定循环控制条件(整数)是 13.已知实数 x , y 满足 ? .

4 x ? 2 y 的取值范围是

? 1? x ? y ? 3 ,则 ??1 ? x ? y ? 1
.

S=0

i ?i?3

(二)选做题(14、15 题) 14(几何证明选讲选做题)已知圆 o 内的 两条弦 AB, CD 相交于圆内一点 P ,且

S ? S ?i


i??
. 否 输出 S 结束 图2

PA ? PB ? 4, PC ?

1 PD , 则 CD ? 4

15(坐标系与参数方程选做题)曲线

? ? 2cos? ? 2 3sin ? (0 ? ? ? 2? ) 与
极轴交点的极坐标为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16(12 分)一个箱子里装有 5 个大小相同的球,有 3 个白球,2 个红球,从中摸出 2 个球.
第 2 页 共 10 页

(1)求摸出的两个球中有 1 个白球和 1 个红球的概率; (2)用 ? 表示摸出的两个球中的白球个数,求 ? 的分布列及数学期望. 17(12 分)已知函数 f ( x) ? 2sin x(cos x ? sin x) ? 1 (1)求 f ( x ) 的最小正周期和最大值; (2)若 ? 为三角形的内角且 f (

?

? 2 ,求 f (? ) 的值 ? )? 2 8 3

18(14 分)如图 3,在三棱锥 V ? ABC 中, VO ? 平面 ABC ,

V

O ? CD,VA ? VB ? 3 2, AD ? BD ? 3, BC ? 5 .
(1)求证: VC ? AB ; (2)当二面角 V ? AB ? C 的平面角为 60 ? 时,求三棱锥 A D B 19(14 分)设 f ( x) ? C

V ? ABC 的体积.

O

1 3 1 x ? (b ? 1) x 2 ? bx, x ? R 3 2

图3

(1)当 b ? 1 时,求 f ( x ) 的单调区间; (2)当 f ( x ) 在 R 上有且仅有一个零点时,求 b 的取值范围.

20(14 分)已知椭圆的中心在坐标原点,一个焦点坐标是 F1 (0, ?1) ,离心率为 (1)求椭圆的标准方程;

3 . 3

(2)过 F 1 作直线交椭圆于 A, B 两点, F2 是椭圆的另一个焦点,求 S?ABF2 的取值范围.

21(14 分)在数列 {an } 中,已知 a1 ? 2, 对任意正整数 n 都有 nan?1 ? 2(n ? 1)an . (1)求 {an } 的通项公式; (2)求 {an } 的前 n 项和 Sn ; (3)如果对任意正整数 n 都有 nan ? k (Sn ? 2)(k 为实数)恒成立,求 k 的最大值.

第 3 页 共 10 页

增城市 2015 届高中毕业班调研测试 理科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题:
AABAD BDA

二、填空题:
9. 2 10. -84 11. -1 12. 100 或 101 或 102 13.

[2,10]

14. 10

15. (0,0) ( ,2,0)

三、解答题:
16.解: (1)从 5 个球中摸出 2 个球有 C52 ? 10 种方法 摸出的 2 个球中有 1 个白球和 1 个红球有 C31 ? C21 ? 6 种方法 所以所求的概率是 (2) ? ? 0,1, 2 当 ? ? 0 时,摸出的 2 个球是红球的方法有 1 种 1分 2分 4分 5分 6分 7分

6 3 ? 10 5

?P 1 ?

1 10
3 5

当 ? ? 1 时,同(1) ,? P2 ?

8分

当 ? ? 2 时,摸出的 2 个球是白球的方法有 C32 ? 3 种

? P3 ?

3 10

9分

所以 ? 的分布列是

?
P

0

1

2

1 10

3 5

3 10
10 分 11 分 12 分

? 的数学期望是: E (? ) ? 0 ?
? 6 5

1 3 3 ? 1? ? 2 ? 10 5 10

第 4 页 共 10 页

17.解: (1)

f ( x) ? 2sin x cos x ? 2sin 2 x ?1
? sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x

1分 3分

? 2 sin(2 x ? ) 4
所以 f ( x ) 的最小正周期是 ? ,最大值是 2 (2)

?

4分 6分 7分 8分

f(

?

? ) ? 2 sin[2( ? ) ? ] 2 8 2 8 4

?

?

?

?

? 2 sin(? ? ) ? ? 2 cos ? 2

?

? ? 2 c o? s ?

2 3

1 ?c o s ? ? ? 且 ? 为钝角 3

9分

? sin ? ? 1 ? cos 2 ? ?

2 2 3

10 分

所以 f (? ) ? 2sin ? (cos ? ? sin ? ) ?1

? 2?

2 2 1 2 2 (? ? ) ?1 3 3 3

11 分

?

7?4 2 9

12 分 1分 2分 3分 4分 5分 6分 7分

18.(1)证明: VA ? VB, AD ? BD,?VD ? AB

VO ? 平面 ABC ,?VO ? AB VD 与 VO 相交于 V ? AB ? 平面 VCD ?VC ? AB (2)解:由(1)知 ?VDC 是二面角 V ? AB ? D 的平面角 ??VDC ? 60?
在 ?VAB 中, VA ? VB ? 3 2, AD ? BD ? 3

?VD ? VA2 ? AD2 ? 3
在 ?VDO 中, ?VDC ? 60?, ?DOC ? 90?

8分

?VO ? VD sin 60? ?
在 ?VDC 中, DC ?

3 3 2

9分

BC2 ? BD2 ? 4

10 分

第 5 页 共 10 页

所以 VV ? ABC ?

1 1 S ?ABC ?VO ( 或 ? S?VDC ? AB ) 3 3 1 1 ? ? DC ? VO ? AB 3 2

11 分 12 分

1 3 3 ? ? 6? 4? 6 2

13 分

?6 3
19.解(1)当 b ? 1 时, f ( x) ?

14 分

1 3 x ?x 3

1分 2分 3分

f ?( x) ? x2 ?1 ? ( x ? 1)( x ?1) ? 0 ? x1 ? ?1, x2 ? 1
因为

x
f ?( x )
f ( x)

(??, ?1)
+

-1 0 极大值

(?1,1)
-

1 0 极小值

(1, ??)
+

5分 所以 f ( x ) 的单调区间是 (??, ?1), (?1,1), (1, ??) (2) 6分 7分 8分 9分 10 分 11 分 12 分

f ( x) ?

1 x[2 x 2 ? 3(b ? 1) x ? 6b] ? 0 6

? x ? 0 或 2 x2 ? 3(b ?1) x ? 6b ? 0
当方程 2 x ? 3(b ?1) x ? 6b ? 0 无解时
2

? ? 9(b ?1)2 ? 48b
? 3(3b ? 1)(b ? 3)
<0

? ?3 ? b ? ?

1 3 1 时函数 f ( x ) 有且只有一个零点. 3

13 分 14 分

所以当 ?3 ? b ? ? 或解:

f ?( x) ? x2 ? (b ?1) x ? b ? ( x ?1)( x ? b) ? 0
7分

? x1 ? 1, x2 ? ?b
2 当 b ? ?1 时, f ?( x) ? ( x ?1) ? 0 ,所以 f ( x ) 在 (??, ??) 上单调增

第 6 页 共 10 页



f ( x) ?

1 x( x 2 ? 3x ? 3) ? 0,? x ? 0, x 2 ? 3x ? 3 ? 0 无解 3
8分

所以 b ? ?1 时函数 f ( x ) 有且只有一个零点. 当 b ? ?1 时, ?b ? 1 ,因为

x
f ?( x )
f ( x)

(??, ?b)
+

?b
0 极大值

(?b,1)
-

1 0 极小值

(1, ??)
+

9分 及 f ( x) ? 0 有一解 x ? 0

? f (?b )? 0 ?? ? 0 ? f (1)

1 ?? 3 ? b ? ?, 3

? ?1 ? b ? ?

1 3

10 分

因为 f ( x ) 在 (??, ?b) 上单调增,在 [?b, ??) 上恒有 f ( x) ? 0

1 3 当 b ? ?1 时, ?b ? 1 ,因为

所以当 ?1 ? b ? ? 时, f ( x ) 在 (??, ??) 上有且只有一个零点

11 分

x
f ?( x ) f ( x)

(??,1)
+

1 0 极大值

(1, ?b)
-

?b
0 极小值

(?b, ??)
+

12 分 及 f ( x) ? 0 有一解 x ? 0

? f (?b )? 0 ?? ? 0 ? f (1)

1 ?? 3 ? b ? ?, 3

??3 ? b ? ?1

因为 f ( x ) 在 (??,1) 上单调增,在 [1, ??) 上恒有 f ( x) ? 0 所以当 ?3 ? b ? ?1 时, f ( x ) 在 (??, ??) 上有且只有一个零点 所以 f ( x ) 在 (??, ??) 上有且只有一个零点时, b 的取值范围是 ?3 ? b ? ? 13 分

1 3

14 分

20.解(1)由条件可设椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,则有 b2 a 2

1分

第 7 页 共 10 页

c ? 1, e ?

3 3

c 3 ? ?a ? 3 a 3

2分

?b ? a2 ? c2 ? 2
x2 y 2 ? ?1 所以所求椭圆方程是 2 3
(2)由条件设直线 AB 的方程为 y ? 1 ? kx ,将 y ? kx ? 1 代入椭圆方程得:

3分 4分 5分 6分

(2k 2 ? 3) x2 ? 4kx ? 4 ? 0
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
2 ? ?1 6 k 2 ? 1 6 (k2 ? 3? )

4 k 28 (?

? 1)

0

7分 8分

? x1 ? x 2 ? S?ABF2

4k 4 ,x x 1 ? 2 ? 2 2 2k ? 1 2k ? 3 1 ? F1 F 2 x 1 ? x 2? x ?1 x 2

2

9分 10 分

?( x1 ? x2 )2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4x1 x2
16k 2 16 ? ? 2 2 2 (2k ? 3) 2k ? 3 ?
2

48(k 2 ? 1) (2k 2 ? 3) 2

11 分

令 t ? k ? 1, 则 t ? 1 设 g (t ) ?

(2t ? 1) 1 ? 4t ? ? 4 t t

12 分

g ?(t ) ? 4 ?

1 4t 2 ? 1 ? 2 t2 t

当 t ? 1 时, g ?(t ) ? 0 ,? g (t ) 在 [1, ??) 上单调增

? g( t) ? g( 1 ) ? 9 ?0 ?

48 48 ? ? g (t ) 9

16 3

13 分

? 0 ? S?ABF2 ?
21.解(1)

4 3 3
an ?1 a ? 2? n n ?1 n

14 分 2分

nan ?1 ? 2(n ? 1)an ,?

第 8 页 共 10 页

所以数列 {

an } 是以 2 为公比,首项为 2 的等比数列 n

3分 4分 5分

?

an ? 2 ? 2n ?1 n

?an ? n ? 2n
或解:

a1 ? 2
2分 3分 5分

2 ?a2 ?8 ?2 ?2 a , 3 ? 2 4 ? 33? 2 a4 , ? 6 4 ? 44 ? 2

所以猜想得 an ? n ? 2n 数学归纳法证明 (2)

Sn ? a1 ? a2 ?

? an?1 ? an ? 2 ? 2 ? 22 ? 3? 23 ? ? (n ?1)2n ? n ? 2n?1

? (n ?1)2n?1 ? n ? 2n

6分 7分 8分

?2Sn ? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ?
??Sn ? 2 ? 22 ? 23 ?
?

? 2n ? n ? 2n?1

2(2n ? 1) ? n ? 2n ?1 ? ?(n ? 1) n ?1 ? 2 2 ?1
9分 10 分 11 分

? Sn ? (n ?1)2n?1 ? 2
(3)

nan ? k (Sn ? 2),?n2 ? 2n ? k (n ?1)2n?1,?n2 ? 2k (n ?1)

当 n ? 1 时, k 为任意实数 当 n ? 1 时, k ?

1 n2 ? 2 n ?1

1 n2 1 (n ? 1)2 ? 2(n ? 1) ? 1 ? ? ? 2 n ?1 2 n ?1

12 分

1 1 1 1 2 ? [(n ? 1) ? 2 ? ] ? ( n ?1 ? ) ?2?2 2 n ?1 2 n ?1
当且仅当 n ? 1 ?

1 ,即 n ? 2 时等号成立 n ?1
13 分 14 分

所以当 n ? 1 时, k ? 2 ,所以当 n 为任意正整数时 k ? 2 , 所以当 n 为任意正整数时 k 的最大值是 2 解(2)

nan ? k (Sn ? 2),?n2 ? 2n ? k (n ?1)2n?1,?n2 ? 2k (n ?1)
当 k ? 0 时,上述不等式显然成立 当 k ? 0 时,化为

10 分 11 分

1 n ?1 ? 2 2k n

n ?1 1 1 1 1 ? ?( ? ) 2 ? ? 2 n n 2 4 4
13 分

?

1 1 ? ? 0 ? k ? 2 ,等号( k ? 2 )成立时 n ? 2 ,所以 k ? 2 2k 4
第 9 页 共 10 页

所以当 n 为任意正整数时 k 的最大值是 2 解(3):

14 分

nan ? k (Sn ? 2),?n2 ? 2n ? k (n ?1)2n?1
?(n2 ? 2k n ? 2 k )n 2 ? 0
? n2 ?2 k n ?2 k ?0
令 f (n) ? n2 ? 2kn ? 2k 10 分 11 分

2 f ( n)? n ? 2kn ? 2 k? ( n ? 2k ) ?2 k ? 2 k

当 ?k ? 2k ? 0 时, f (n) ? 0
2

?0 ? k ? 2
当 ?k ? 2k ? 0 时, :
2

12 分

f (1) ? 1 ? 0, f (n) ? 0 在 [1, ??) 上无解的条件是
13 分 14 分

x ? k ?1 所以 k ? 2
所以当 n 为任意正整数时 k 的最大值是 2 解(4):

nan ? k (Sn ? 2),?n2 ? 2n ? k (n ?1)2n?1
?(n2 ? 2k n ? 2 k )n 2 ? 0
? n2 ? 2kn ? 2k ? 0
10 分

令 f (n) ? n2 ? 2kn ? 2k ,

? 4k 2 ? 8k ? 4k (k ? 2)
11 分 12 分

当 ? 0 时, 0 ? k ? 2, f (n) ? 0,? 0 ? k ? 2
2 当 ? 0 时, k ? 0 或 k ? 2, f (n) ? n ? 0, 所以 k ? 0 或 k ? 2.

当 ? 0 时, k ? 0 或 k ? 2 此时:

f (1) ? 1 ? 0, f (n) ? 0 在 [1, ??) 上无解的条件是
13 分 14 分

x ? k ?1 所以 k ? 2
所以当 n 为任意正整数时 k 的最大值是 2

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