高中数学必修一(人教版)教学课件:2.1.1 指数与指数幂的运算2_图文

第2课时 指数幂及运算 【知识提炼】 1.分数指数幂的意义 分 数 指 数 幂 正分数 指数幂 负分数 指数幂 0的分数 指数幂 规定: 规定: n = ____(a>0 ,m,n∈N*,且n>1) n m m a a *,且n>1) (a>0,m,n∈N n a ? m n ? 1 m 1 n m ? ____ a a 0的正分数指数幂等于__,0的负分数指数幂_________ 0 没有意义 2.有理数指数幂的运算性质 (1)aras=ar+s(a>0,r,s∈Q). (2)(ar)s=___(a>0,r,s∈Q). ars (3)(ab)r=____(a>0,b>0,r∈Q). a rb r 3.无理数指数幂 一般地,无理数指数幂aα (a>0,α 是无理数)是一个确定的_____. 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂. 实数 【即时小测】 1.思考下列问题: (1)分数指数幂与根式有何关系? 提示:根式可以表示成分数指数幂的形式,分数指数幂是根式的另 一种表示形式,如 4 a 8 ? 4 (a 2 )4 ? a 2 ? a ? a ? 0 ?. 8 4 (2)分数指数幂 a m n 可以理解为 m 个a相乘吗? 提示:不可以.分数指数幂 它是根式的一种新写法. a m n 不可以理解为 m 个a相乘.事实上, n n 2. 5 a ?3 化为分数指数幂为______. 5 【解析】在根式 化规律,可得 5 a ?3 中,根指数是5,根据根式与分数指数幂的转 ? 3 5 答案: a ?3 ? a . a ? 3 5 3.计算: 【解析】 答案: 1 =_______. 1 0 ?2 2 ? +2 ? (2 ) 4 1 1 1 1 9 1 3 11 0 ?2 2 2 ? +2 ? (2 ) ? 1+ 2 ? ( ) ? 1+ ? ? . 4 2 4 4 2 8 11 8 4.若10a=5,10b=9,则10a-b= . 【解析】同底数幂相除,底数不变,指数相减,可得 10a 答案: 5 9 10 b ? 10 a ?b 5 ? . 9 【知识探究】 知识点1 分数指数幂 观察如图所示内容,回答下列问题: 问题1:正数的分数指数幂与整数指数幂有什么不同? 问题2:分数指数幂与根式有什么关系? 【总结提升】从三个角度理解分数指数幂 (1)与根式的关系:分数指数幂是根式的另一种写法,根式与分数指数 幂可以相互转化. (2)底数的取值范围:由分数指数幂的定义知a≤0时, 可能会有意 m n 义. 当 a 有意义时可借助定义将底数化为正数,再进行运算 . m n (3)运算性质 :分数指数幂的运算性质形式上与整数指数幂的运算性质 a 完全一样.记忆有理数指数幂的运算性质的口诀是:乘相加,除相减,幂 相乘. 知识点2 有理数指数幂的运算性质 观察如图所示内容,回答下列问题: 问题1:对于有理数指数幂运算性质应注意什么? 问题2:有理数指数幂运算有哪些常见结论? 【总结提升】 1.有理数指数幂运算性质的两个关注点 (1)有理数指数幂的运算性质是由整数指数幂的运算性质推广而来 的,整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用. (2)在运算性质中,要注意幂的底数是正数的规定,如果改变等式成 立的条件,则有可能不成立,如a=-2,b=-4时,(ab) =(-2) ×(-4) 则无意义. 1 2 1 2 1 2 =[(-2)×(-4)] 1 2 2.有理数指数幂运算的常见结论 (1)有理数指数幂的运算还有如下性质: ①ar÷as=ar-s(a>0,r,s∈Q); ② (a>0,b>0,r∈Q). a r ar ( ) ? r b b (2)指数幂的几个常见结论: ①当a>0时,ab>0; ②当a≠0时,a0=1;而当a=0时,a0无意义; ③若ar=as(a≠0且a≠1),则r=s; ④乘法公式仍适用于分数指数幂,如: (a ? b )(a ? b ) ? (a ) ? (b ) ? a ? b ? a ? 0,b ? 0 ?. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 【题型探究】 类型一 根式与分数指数幂的互化 化成分数指数幂是 . 【典例】1.根式 2.将下列根式与分数指数幂进行互化: a ?a ?1? a .? 2? 3 a a ? a ? 0?.?3? x3 ? 3 4 3 x 2 ? x ? 0 ?. 【解题探究】1.典例1中a的取值范围是什么? 提示:a的取值范围是a≤0. 2.典例2中如何将(2),(3)化为分数指数幂? 提示:(2)可将三次根号下部分化为分数指数幂 .(3)可先将三次根式化 为分数指数幂. 【解析】1.因为-a≥0,所以a≤0, 所以 答案:-(-a) a ?a ? ? ? ? a ? ? ? a ? ? ? ? ? a ? ? ? ? ? a ? . 2 3 3 2 3 2 2.?1? a ? ? 3 4 1 4 a3 1 3 . 1 6 1 2 ? 2? 3 a ? 3? x 3 3 a ?a a ?a . x 2 ? x3 x ? x . 2 3 11 3 【方法技巧】根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数 分数指数的分母, 分数指数的分子. 被开方数(式)的指数 (2)在具体计算时,通常会把根式转化成分数指数幂的形式,然后利用 有理数指数幂的运算性质解题. 【补偿训练】用分数指数幂表示下列各式: b3 ?1? a 【解析】 a2 a ? 0,b ? 0 ? . 6 ? b ? 2? a ?4 b 2 3 ab 2 ? a ? 0,b ? 0 ?. b3 ?1? a a2 b3 a ?

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