高考调研数学2-9_图文

高考调研

高三数学(新课标版· 理)

第二章 函数与基本初等函数

第二章

函数与基本初等函数

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第9课时 函数模型及其应用

第二章

第9课时

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了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特 征.体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类 型增长的含义;了解对数函数、幂函数两类函数模型的 广泛应用.

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请注意!

新课标高考中的应用问题除了考察概率、统计之外, 函数的应用题的比重也在增加.如:2010年浙江卷14 题,江苏卷19题等.

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题型一

一次函数、二次函数模型

例1 某企业生产A,B两种产品,根据市场调查与预 测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图1;B产品的利 润与投资的算术平方根成正比,其关系如图2(注:利润和投 资单位:万元).

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(1)分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关 系式; (2)已知该企业已筹集到18万元投资金,并将全部投 入A,B两种产品的生产. ①若平均投入生产两种产品,可获得多少利润? ②问:如果你是厂长,怎样分配这18万元投资,才 能使该企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元?

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【思路】 (1)根据函数模型,建立函数解析式.(2) 根据资金分配情况,建立利润解析式.

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【解析】 (1)设甲、乙两种产品分别投资x万元 (x≥0),所获利润分别为f(x)、g(x)万元, 由题意可设f(x)=k1x,g(x)=k2 x, ∴根据图像可解得f(x)=0.25x(x≥0), g(x)=2 x(x≥0).

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(2)①由(1)得f(9)=2.25,g(9)=2 9=6, ∴总利润y=8.25(万元). ②设B产品投入x万元,A产品投入(18-x)万元,该 企业可获总利润为y万元, 1 则y=4(18-x)+2 x,0≤x≤18. 令 x=t,t∈[0,3 2], 1 1 34 则y= (-t2+8t+18)=- (t-4)2+ . 4 4 4

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34 ∴当t=4时,ymax= =8.5,此时x=16,18-x=2. 4 ∴当A、B两种产品分别投入2万元、16万元时,可 使该企业获得最大利润8.5万元.

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探究1 (1)在实际问题中,有很多问题的两变量之 间的关系是一次函数模型,其增长特点是直线上升(自变 量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0),构建 一次函数模型,利用一次函数的图像与单调性求解.

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(2)有些问题的两变量之间是二次函数关系,如面积 问题、利润问题、产量问题等.构建二次函数模型,利 用二次函数图像与单调性解决. (3)在解决二次函数的应用问题时,一定要注意定义 域.

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思考题1 某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的 月租金为3000元时,可全部租出.当每辆车的月租金每 增加50元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆 每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费 50元. (1)当每辆车的月租金定为3600元时,能租出多少辆 车? (2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月 收益最大?最大月收益是多少?
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【解析】

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(1)租金增加了600元,所以未租出的车

有12辆,一共租出了88辆. (2)设每辆车的月租金为x元(x≥3000),租赁公司的 月收益为y元, x-3000 x-3000 则y=x(100- )- ×50-(100- 50 50 x-3000 50 )×150 x2 1 =-50+162x-21000=-50(x-4050)2+307050,
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当x=4050时,最大月收益为y=307050. 即当每辆车的月租金定为4050元时,租赁公司的月 收益最大,最大月收益为307050元.

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题型二
例2

分段函数模型

已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10

万元,每生产1千件需另投入2.7万元.设该公司一年内共生 产该品牌服装x千件并全部销售完,每千件的销售收入为R(x) 1 2 ? ?10.8-30x ?0<x≤10?, 万元,且R(x)=? ?108-1000 3x2 ?x>10?. ? x

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(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解 析式; (2)年产量为多少千件时,该以司在这一品牌服装的 生产中所获得利润最大?(注:年利润=年销售收入-年 总成本)

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【解析】 (1)当0<x≤10时, x3 W=xR(x)-(10+2.7x)=8.1x-30-10; 1000 当x>10时,W=xR(x)-(10+2.7x)=98- -2.7x. 3x
3 x ? ?8.1x-30-10?0<x≤10?, ∴W=? ?98-1000-2.7x?x>10?. 3x ?

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x2 (2)①当0<x<10时,由W′=8.1- =0, 10 得x=9,且当x∈(0,9)时,W′>0; 当x∈(9,10)时,W′<0, 1 3 ∴当x=9时,W取最大值,且Wmax=8.1×9- 30 · 9 -10=38.6. ②当x>10时, 1000 W=98-( +2.7x)≤98-2 3x 1000 · 2.7x=38, 3x
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1000 100 当且仅当 =2.7x,即x= 时, 3x 9 100 W=38,故当x= 9 时,W取最大值38. 综合①②知当x=9时,W取最大值38.6万元,故当年 产量为9千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获年 利润最大.

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探究2 (1)分段函数主要是每一段自变量变化所遵 循的规律不同,可以先将其当作几个问题,将各段的变 化规律分别找出来,再将其合到一起,要注意各段自变 量的范围,特别是端点值. (2)构造分段函数时,要力求准确、简洁,做到分段 合理不重不漏.

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思考题2 (2011· 湖北理)提高过江大桥的车辆通行能 力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上 的车流速度v(单位:千米/小时)是车流密度x(单位:辆/千 米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成 堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米 时,车流速度为60千米/小时.研究表明:当20≤x≤200 时,车流速度v是车流密度x的一次函数.

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(1)当0≤x≤200时,求函数v(x)的表达式; (2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过 桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时)f(x)=x· v(x)可以 达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/小时)

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【解析】

(1)由题意:当0≤x≤20时,v(x)=60;

当20≤x≤200时,设v(x)=ax+b,再由已知得 1 ? ? ?a=-3, ?200a+b=0, ? 解得 ? ? ?20a+b=60, ?b=200. 3 ? 60,0≤x≤20, ? ? v(x)=?1 ?200-x?,20≤x≤200. ? 3 ?

故函数v(x)的表达式为

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60x,0≤x≤20, ? ? (2)依题意并由(1)可得f(x)=?1 x?200-x?,20≤x≤200. ? ?3 当0≤x≤20时,f(x)为增函数,故当x=20时,其最大值为 60×20=1200; 1 1 x+?200-x? 2 当20≤x≤200时,f(x)= 3 x(200-x)≤ 3 [ ]= 2 10000 , 3

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当且仅当x=200-x, 即x=100时,等号成立. 所以,当x=100时,f(x)在区间[20,200]上取得最大 10000 值 3 , 综上,当x=100时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值 10000 ≈3333, 3 即当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最 大,最大值约为3333辆/小时.

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题型三
例3

指数函数与幂函数模型

(2011· 湖北理)放射性元素由于不断有原子放射出微

粒而变成其他元素,其不断减少,这种现象称为衰变.假设 在放射性同位素铯137的衰变过程中,其含量M(单位:太贝 克)与时间t(单位:年)满足函数关系:M(t)=M02
- t 30

,其中M0

为t=0时铯137的含量.已知t=30时,铯137含量的变化率

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是-10ln2(太贝克/年),则M(60)=( A.5太贝克 C.150ln2太贝克

)

B.75ln2太贝克 D.150太贝克

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1 【解析】 因为铯137含量的变化率为M′(t)=- 30 M02
- t 30 30 1 - 30 ln 2,所以当t=30时,M′(30)=- 30 M02 ln 2

M0 =- 60 ln 2=-10ln 2,所以M0=600,可解得M(60)= 150.

【答案】 D

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探究3 此类增长率问题,在实际问题中常可以用指 数函数模型y=N(1+p)x(其中N是基础数,p为增长率,x 为时间)和幂函数模型y=a(1+x)n(其中a为基础数,x为增 长率,n为时间)的形式.解题时,往往用到对数运算, 要注意与已知表格中给定的值对应求解.

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(1)解答应用问题的程序概括为“四步八字”,即: ①审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关 系,初步选择模型; ②建模:把自然语言转化为数学语言,将文字语言 转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模 型;

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③求模:求解数学模型,得出数学结论; ④还原:将数学结论还原为实际问题的意义. (2)注意函数思想在其他知识的应用.

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请做:课时作业(十二)

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