北京市丰台区2016届高三下学期统一练习(一)数学文试题 Word版含答案

丰台区 2015—2016 学年度第二学期统一练习(一) 高三数学(文科)
第一部分 (选择题 共 40 分)

2016.3

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项. 1. 已知全集 U ? ?1, 2,3, 4,5, 6, 7,8? ,集合 A ? ?2,3,5, 6? ,集合 B ? ?1,3, 4, 6, 7? ,则集 合 A ? (? U B) = (A) ?3, 6? (C) ?2,5, 6? (B) ?2,5? (D) ?2,3,5, 6,8?

2. 下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是 (A) y ? x
3

(B) y ? ?

1 x

(C) y ? tan x

(D) y ? ?

? x( x ? 0), ? ? x( x ? 0).

3. 某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛,他们每场比赛得 分的情况用茎叶图表示,如图,则甲、乙两名运动员得分的中位数分别 为 (A) 20、18 (C)19、13 (B)13、19 (D)18、20

4. 已知直线 m, n 和平面 ? , m ? ? , n ∥ a ,那么“ n ? ? ”是“ m ∥ ? ”的 (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

5.已知双曲线的一个焦点 F,点 P 在双曲线的一条渐近线上,点 O 为双曲线的对称中心, 若△OFP 为等腰直角三角形,则双曲线的离心率为 (A) 6 (B) 2 (C)2 (D) 3

6. 已知等比数列{ an }中 a1 ? 1 ,且 (A)15 (B)31

a4 ? a5 ? a8 ? 8 ,那么 S5 的值是 a1 ? a2 ? a5
(C)63
1

(D)64

7. 如图,已知三棱锥 P - ABC 的底面是等腰直角三角形,且∠ACB=90 ,侧面 PAB⊥底面 ABC,AB=PA=PB=4.则这个三棱锥的三视图中标注的尺寸 x,y,z 分别是
O

(A) 2 3 , 2 2 , 2 (B)4,2, 2 2 (C) 2 3 ,2,2 (D) 2 3 ,2, 2 2

z

P

x

主视图

侧视图

A C B

y y
俯视图

8. 经济学家在研究供求关系时, 一般用纵轴表示产品价格(自变量), 用横轴表示产品数量 (因 变量) .某类产品的市场供求关系在不受外界因素(如政府限制最高价格等)的影响下, 市场会自发调解供求关系:当产品价格 P1 低于均衡价格 P0 时,则需求量大于供应量, 价格会上升为 P2;当产品价格 P2 高于均衡价格 P0 时,则供应量大于需求量,价格又会 下降,价格如此继续波动下去,产品价格将会逐渐靠近均衡价格 P0.能正确表示上述供 求关系的图形是

(A)
单价 供应曲线 需求曲线
单价 需求曲线

(B)

供应曲线

P2

P2

P0 P1

P0 P1

O

数量

O

数量

(C)
2

(D)

第二部分 (非选择题 共 110 分)
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

an i s B 9.在锐角△ABC 中, 角 A, B, C 所对应的边分别为 a,b,c, 若b ? 2

, 则 ∠A=_________.

10.已知△ABC 中,AB=4,AC=3,∠CAB=90o,则 BA ? BC ? ___________. 11.已知圆 C : ( x - 1)2 + ( y - 2)2 = 2 ,则圆 C 被动直线 l : kx __________. 12.已知 x ? 1 ,则函数 y ?

??? ? ??? ?

y + 2 - k = 0 所截得的弦长

1 ? x 的最小值为________. x ?1

? y ? x, ? 13. 已知 x , y 满足 ? y ? 2 x , 目标函数 z ? mx ? y 的最大值为 5,则 m 的值为 ? x ? y ? 3, ?
14.函数 f ( x) ? cos x ? 2 ? 2
x ?x



? b(b ? R) .

① 当 b=0 时,函数 f(x)的零点个数_______; ② 若函数 f(x)有两个不同的零点,则 b 的取值范围________.

三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x ) =

3 sin x cos x + sin 2 x -

1 . 2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 [ , ] 上的最大值和最小值.

π π 4 2

3

16. (本小题共 13 分) 下图是根据某行业网站统计的某一年 1 月到 12 月 (共 12 个月) 的山地自行车销售量 (1k 代表 1000 辆)折线图,其中横轴代表月份,纵轴代表销售量,由折线图提供的数据回 答下列问题:

y 300k 250k 200k 150k 100k 50k O
1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月

x

(Ⅰ)在一年中随机取一个月的销售量,估计销售量不足 200k 的概率; (Ⅱ)在一年中随机取连续两个月的销售量,估计这连续两个月销售量递增(如 2 月到 3 月递增)的概率; (Ⅲ)根据折线图,估计年平均销售量在哪两条相邻水平平行线线之间(只写出结果,不 要过程). 17. (本小题共 14 分) 已知在△ABC 中,∠B=90o,D,E 分别为边 BC,AC 的中点,将△CDE 沿 DE 翻折后, 使之成为四棱锥 C '? ABDE (如图). (Ⅰ)求证:DE⊥平面 BC ' D ; (Ⅱ)设平面 C ' DE ? 平面 ABC ' ? l ,求证:AB∥l; (Ⅲ)若 C ' D ? BD , AB ? 2 , BD ? 3 ,F 为棱 BC ' 上一点,设 值时,三棱锥 C '? ADF 的体积是 1?

BF ? ? ,当 ? 为何 FC '

C'

A E C D B
D

F
E

A

B
4

18. (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ?

2x ?1 1 ,数列 ?an ? 满足: a1 ? 2,an ?1 ? f ( )(n ? N ? ) . x an

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,求数列 ? 19 . (本小题共 14 分) 已知函数 f ( x) ?

?1? ? 的前 n 项和 Tn . ? Sn ?

m 2 x ? x ? ln x . 2

(Ⅰ)求曲线 C : y ? f ( x ) 在 x ? 1 处的切线 l 的方程; (Ⅱ)若函数 f ( x) 在定义域内是单调函数,求 m 的取值范围; (Ⅲ)当 m ? ?1 时, (Ⅰ)中的直线 l 与曲线 C : y ? f ( x ) 有且只有一个公共点,求 m 的取 值范围. 20. (本小题共 13 分) 已知椭圆 C :

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 A(2,0) ,离心率 e ? ,斜率为 k (0 ? k ? 1) 2 2 a b

直线 l 过点 M(0,2) ,与椭圆 C 交于 G,H 两点(G 在 M,H 之间) ,与 x 轴交于点 B. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;

?BPQ (Ⅱ) P 为 x 轴上不同于点 B 的一点, Q 为线段 GH 的中点, 设△HPG 的面积为 S1 ,
错误! 未找到引用源。 面积为 S2 , 求 的取值范围.
H B

S1 S2
G Q P

y M

O

A

x

5

丰台区 2016 年高三年级第二学期数学统一练习(一)



学(文科)参考答案

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。 1 2 3 4 5 6 7 8 题号 答案 B A C A B B C D 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 7 ? 9. 10.16 11. 2 2 12. 3 13. 14 . 3 6

0

; b ? -1

注:14 题第一空 2 分,第二空 3 分。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证 明过程。
15. (本小题共 13 分) 解: f ( x) ?

3 1 sin 2 x ? cos 2 x 2 2

?????4 分

? sin(2 x ? ) 6 2? ?? ; (Ⅰ) T ? 2
(Ⅱ)因为 即

?

?????6 分 ?????7 分 ,所以

?

1 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 , 2 6

4

?x?

?

?
3

2

? 2x ?

?
6

?

5? , ?????9 分 6
?????11 分

由此得到: f ( x)max ? 1 ,此时 x ?

?
3



?????12 分 ?????13 分

f ( x) min ?
16. (本小题共 13 分)

? 1 ,此时 x ? . 2 2

解: (Ⅰ)设销售量不足 200k 为事件 A, 这一年共有 12 个月, 其中 1 月,2 月,6 月,11 月共 4 个的销售量不足 200k,?????2 分 所以 P ( A) ?

4 1 ? . 12 3
6

?????4 分

(Ⅱ)设连续两个月销售量递增为事件 B, 在这一年中随机取连续两个月的销售量,有 1,2 月;2,3 月;3,4 月;4, 5 月;5,6 月;6,7 月;7,8 月;8,9 月;9,10 月;10,11 月; 11,12 月共 11 种取法, ?????6 分

其中 2,3 月,3,4 月;4,5 月; 6,7 月;7,8 月;8,9 月; 11,12 月共 7 种情况的销售量递增, 所以 P ( B ) ? ?????8 分 ?????10 分 ?????13 分

7 . 11

(Ⅲ)在 200k~250k 这两条水平线之间. 17. (本小题共 14 分) 证明: (Ⅰ)∵∠B=90 ,D,E 分别为 BC,AC 的中点 ∴DE∥AB ∴ C ' D ? DE , BD ? DE 又∵ C ' D ? BD ? D ∴DE⊥平面 BC ' D
C'
o

?????1 分 ?????3 分 ?????4 分 ?????5 分

A E C D B
D F
E

A

B

(Ⅱ)∵DE∥AB, DE ? 面 C ' DE , AB ? 面 C ' DE , ∴AB∥面 C ' DE , 又∵AB ? 面 ABC ' ,面 ABC ' ? 面 C ' DE ? l ∴ AB∥ l (Ⅲ)∵ C ' D ? BD , C ' D ? DE , ED ? BD ? D , ∴ C ' D ⊥平面 BDE. ∵ ?????7 分 ?????9 分 ?????10 分

1 S?C ' DF C ' F 1 S ? ? ∴ S?C ' DF ? ? ? 1 ?BC ' D S?BDF FB ?
7

?????11 分

又因为 BD=3,AB=2, VC '? ADF ? 1 , ∴ VC ' ? ADF ? VA?C ' DF ?

1 1 1 1 VA?C ' DB ? VC '? ADB ? C ' DS?ADB 1? ? 1? ? 1? ? 3
?????13 分 ?????14 分

?

解得 ? ? 2 .
18.(本小题共 13 分)

3 ?1 1? ?

解: (Ⅰ)∵ f ( x) ?

2x ?1 1 ? 2? , x x

∴ an ?1 ? f (

1 ) ? 2 ? an an

?????2 分

即 an?1 ? an ? 2 ,所以数列 {an } 是以首项为 2,公差为 2 的等差数列, ???4 分 ∴ an ? a1 ? (n ?1)d ? 2 ? 2(n ?1) ? 2n (Ⅱ)∵数列 {an } 是等差数列, ∴ Sn ? ∴ ?????6 分

(a1 ? an )n (2 ? 2n)n ? ? n(n ? 1) 2 2

?????8 分

1 1 1 1 ? ? ? Sn n(n ? 1) n n ? 1 1 1 1 1 ? ? ?? ? S1 S2 S3 Sn

?????10 分

∴ Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? ) 1 2 2 3 3 4 n n ?1 n 1 ? ? 1? n ?1 n ?1
19.(本小题共 14 分)

?????11 分 ?????13 分

1 解: (Ⅰ) f '( x) ? mx ? 1 ? , x ? 0 x
因为 f (1) ?

?????1 分

m m . ? 1 ,所以切点为(1, ? 1 ) 2 2
?????2 分

又 k ? f '(1) ? m ? 2 , 所以切线 l : y ? (

m ? 1) ? (m ? 2)( x ? 1) , 2 m?2 . 2
?????3 分

即 l : y ? (m ? 2) x ?

(Ⅱ)①当 m ? 0 时, f '( x) ? 0 ,
8

所以 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递减,符合题意.

?????5 分

②当 m ? 0 时,设 y ? mx2 ? x ?1 ,该抛物线开口向上,且 ? ? 1 ? 4m ? 0 , 过 (0, ?1) 点,所以该抛物线与 x 轴相交,交点位于原点两侧, f ( x ) 不单调, 不符合题意,舍去. 综上 m ? 0 . (Ⅲ)因为直线 l 与 C 有且只有一个公共点, 所以方程 即 ?????6 分 ?????7 分

m 2 m?2 x ? x ? ln x ? (m ? 2) x ? ?0, 2 2
?????8 分

m 2 m?2 x ? (m ? 1) x ? ln x ? ? 0 有且只有一个根. 2 2 m 2 m?2 x ? (m ? 1) x ? ln x ? ,x ?0 , 2 2

设 g ( x) ?

则 g '( x) ? mx ? (m ? 1) ? ①当 m ? 0 时,

1 mx2 ? (m ? 1) x ? 1 (mx ? 1)( x ? 1) ,?????10 分 ? ? x x x

因为 x ? 0 ,所以 mx ? 1 ? 0 ,令 g '( x) ? 0 ,解得 x ? 1 ; 令 g '( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? 1 ; 所以 g ( x) 在 (1, ??) 上单调递增,在 (0,1) 上单调递减, 所以 g ( x)min ? g (1) ? 0 ,所以符合条件. ②当 ?1 ? m ? 0 时,则 ? ?????11 分

1 ?1 m
1 ; m 1 ; m

令 g '( x) ? 0 ,解得 1 ? x ? ?

令 g '( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? 1 或 x ? ? 所以 g ( x) 在 (1, ?

1 1 ) 上单调递增,在 (0,1) , (? , ??) 上单调递减,???12 分 m m

g(

2m ? 3 m 2m ? 3 2 2m ? 3 2m ? 3 m ? 2 )? ( ) ? (m ? 1)( ) ? ln( )? m 2 m m m 2

2m ? 3 2m ? 3 m ? 2 (2m ? 3)2 ? 2(m ? 1)(2m ? 3) 2m ? 3 m ? 2 ?? ? ln( )? ? ln( )? 2m m 2 2m m 2 2m ? 3 m?2 2m ? 3 2m ? 3 因为 ?1 ? m ? 0 , 所以 ? 又 所以 ln( ?0, ?0. ?1 , )?0, 2m 2 m m

?

即 ? ln(

2m ? 3 2m ? 3 ) ? 0 ,所以 g ( ) ? 0. m m

9

1 所以 g ( x) 在 (1, ? ) 上有一个零点, 且 g (1) ? 0 ,所以 g ( x) 有两个零点, 不符合题意. m 综上 m ? 0 . ?????14 分 20. (本小题共 13 分) y 解: (Ⅰ)由已知得 a ? 2 , ????1 分
又e ?

c 1 ? ,所以 c ? 1 , a 2

????2 分 ?????3 分
H B

G Q P

M

即b ? 3 , 所以椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1 .???4 分 4 3

O

A

x

(Ⅱ) 设 G( x1 , y1 ), H ( x2 , y2 ) ,直线 l : y ? kx ? 2 . ?5 分

? y ? kx ? 2 ? 由 ? x2 y 2 得: (3 ? 4k 2 ) x2 ? 16kx ? 4 ? 0 ??6 分 ?1 ? ? 3 ?4
?16k 4 12 , x1 ? x2 ? , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 3 ? 4k 2 8k 6 , ) 即 Q(? ?????7 分 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2 1 1 2 2 ∵ ? ? 16(12k ? 3) ? 0, ? k ? ,即 k ? . 4 2 1 因为 0 ? k ? 1 ,所以 ? k ? 1 . ?????8 分 2
所以 x1 ? x2 ? 又

S1 S?PGH | GH | , ? ? S2 S?PBQ | BQ |

而 | BQ |?

2 8k ?6 6 1? k 2 (? ? 2 ) 2 ? ( 2 ) 2 ? , ??9 分 k 4k ? 3 4k ? 3 (4k 2 ? 3)k 4 12k 2 ? 3 , 4k 2 ? 3
?????10 分

| GH |? 1 ? k 2

S1 | GH | 2 3 ? 4k 4 ? k 2 , ? S2 | BQ | 3
1 ? ? k2 ?1 4
2 设t ? k ,(

??11 分

1 ? t ? 1) 4
?????13 分
10

S1 2 3 S ? 4t 2 ? t ,? 1 ? ? 0,2? . S2 3 S2

11


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