浙江省温州市十校联合体2010-2011年度高一第一学期期中考试数学试卷及答案

2010 学年第一学期温州十校联合体高一期中考试

数学试卷(考试时间 100 分钟)

一: 本大题共 10 小题, 每小题 4 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 有且只有一项

是符合题目要求的 .

1.已知全集U ? R ,则正确表示集合 M ? {?1, 0,1}和 N ? {x | x2 ?1 ? 0} 关系的韦恩(Venn)

图是(



2.函数 f (x) ? 1 ? x ? lg( x ? 1) 的定义域是(



A. ??1,1?

B.(-1,1)

C.[-1,1]

D.?1,? ??

3.下列图像表示的函数能用二分法求零点的是( )

y

y

y

y

1

o

x

o

x

o

x

o

x

A

B

C

D

4、与函数 y ? x 有相同图象的一个函数是( )

A. y ? x 2

B. y ? ( x ) 2 C. y ? x 2 x

D. y ? log a a x (a ? 0, a ? 1)

5.右图是函数 f (x) ? a x 、 g(x) ? xb 、h(x) ? log c x(a、c

y

是不等于 1 的正实数),则 a、b、c 的大小关系是(



A.a>b>c

B.c>a>b

C.b>a>c

D.c>b>a

6.今有一组实验数据如下:

t

2

3

4

v 1.5 4.04 7.5

5

6

12 18.01

o

x

现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据所满足的规律,其中最接近的一个是( )

A. v ? log 2 t

B. v ? log 1 t
2

C. v ? t 2 ?1 2

7.函数

f

(x)

?

?x

? ?

f

? 2 (x (x ?1)

? 2) (x ?

,则
2)

f

(100)

?





D. v ? 2t ? 2

A. ?1

B.0

C.1

D.2

1
8.给定函数① y ? x2 ,② y ? log 1( x ?1)
2

,③ y ?| x2 ? 2x | ,④ y ? x ? 1 ,其中在区间(0, x

1)上单调递减的函数序号是 ( )

A.①③

B.②③

C.②④

D.①④

9.设 f(x)是 R 上的偶函数, 且在 ?0,? ?? 上递增, 若 f( 1 )=0, f (log x) ? 0 ,那么 x 的

2

1

4

取值范围是 ( )

A.x>2 或 1 <x<1 2

B. 1 <x<2 2

C. 1 <x<1 2

D.x>2

10.已知函数 f (x) ? x 2 ? ax , g(x) ? 2 x ? a ,且 1 ? a ? 1,则关于 x 的方程 2

lg f (x) = lg g(x) 实数解的个数是(



A.0

B.1

C.2

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,满分 28 分)

D.3

11.已知幂函数 y ? x n 图象过点(2,8),则其解析式是



12.函数 y ? 1 ? log 2 x, (x ? 2) 的值域是



13. 偶函数 y ? f (x) 在[-2,-1]上有最大值-2,则该函数在[1,2]上的最大值=



14.函数 y ? log a (2x ? 3) ? 1的图像恒过定点 P , 则点 P 的坐标是



15.若 f (x) 是一次函数,在 R 上递减,且满足 f [ f (x)] ? 16x ? 9 ,则 f (x) =



16. 已 知 函 数 f (n) ? log n?1 (n ? 2)(n ? N ? ) , 定 义 使 f (1) ? f (2) ? ? ? f (k) 为 整 数 的 数

k (k ? N ? ) 叫做企盼数,则在区间[1,50]内这样的企盼数共有

个。

17.已知函数

f

?x?

?

??

? ??

x

2

?4 ? 3a?x
? 2(1? a)x

?

? 2?

x x

? 1? ? 1?

在 R 上是增函数,则 a 的取值范围

.

2010 学年第一学期温州十校联合体高一期中考试

数学答题卷(考试时间 100 分钟,不得使用计算器)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的)

题号 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

考号
……………………

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,满分 28 分)

11、

12、

13、

14、

15、

16、

17、

三、解答题(本大题共 5 小题,满分 52 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

18.(本小题满分 8 分)求值:

?1
83

?

log 3

1 27

?

log 6

5 ? (log 5

2

?

log 5

3)

? 10 lg 3

19、(本小题满分 8 分)已知集合 A ? {x | 3 ? 3x ? 27} , B ? {x | log 2 x ? 1} .
(1)分别求 A ? B , ?CRB? A ;
? ? (2)已知集合 C ? x1 ? x ? a ,若 C ? A ,求实数 a 的取值集合.

20、(本小题满分

10

分)有时可用函数

f

(x)

?

???0.1?15ln

a

a ?

x

,

(x

??x ?4.4 ?? x ?4

,

(x

?

6)

? 6)

描述学习某学科知识的掌握程度,其中 x 表示某学科知识的学习次数( x ? N * ),正实数
a 与学科知识有关。 (1)当 x≥7 时,判断 f(x)的单调性,并加以证明。

(2)根据经验,学科甲、乙、丙对应的 a 的取值区间分别为 (115,121] , (121,127], (127,133] 。

当学习某学科知识 5 次时,掌握程度是 70%,请确定相应的学科。(参考数据: e0.04 =1.04, e0.4 =1.49)

21 、( 本小 题满分 12 分) 已知 定义域 为 R 的 单调函 数 f ? x? 是 奇函数 ,当 x ? 0 时 , f ?x? ? x ? 2x
3

(1)求 f ? x? 的解析式;
(2)若对任意的 t ? R ,不等式 f (t 2 ? 2t) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 恒成立,求实数 k 的取值范围;

22.(本小题满分 14 分)已知函数 f (x) ? a ? 2 , g(x) ? 1

2x ?1

f (x) ? a

(1) 若函数 f (x) 为奇函数,求 a 的值。

(2)若 g(2x) ? a ? g(x) ? 0 ,有唯一实数解,求 a 的取值范围。

(3)若 a ? 2 ,则是否存在实数 m, n(m<n<0),使得函数 y ? f (x) 的定义域和值域都为[m, n] 。 若存在,求出 m, n 的值;若不存在,请说明理由.

2010 学年第一学期温州十校联合体高一期中考试

数学答案

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分。在每小题给出的四个

选项中,只有一项是符合题目要求的)

题 号

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

答 案

B

A

C

D

B

C

A

C

B

D

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,满分 28 分)

11、 y ? x3

12、 [2,??)

13、

?2

14、 (2,1)

15、 ? 4x ? 3

16、 4

17、 ?? 1,1?

三、解答题(本大题共 5 小题,满分 52 分。解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤)

18.(本题 8 分)

解:原式 ?

(2

3

)

?

1 3

? log 3

3?3

? log 6

5 ? log 5

6

? 3 …………………4



? 1 ?3?1?3 2

……………………………3 分

?3

………………………1 分

2

19.(本题 8 分)
解: (1) A ? {x | 3 ? 3x ? 27} ? {x | 1 ? x ? 3} …………………1 分

B ? {x | log 2 x ? 1} ? {x | x ? 2} …………………………1 分

A ? B ? {x | 2 ? x ? 3}

…………………………1 分

?CRB? A ? {x | x ? 2}?{x | 1 ? x ? 3} ? {x | x ? 3}………2 分
(2)当 a ? 1时,C ? ?, 此时C ? A ……………………………1 分

当 a ? 1时,C ? A,则1 ? a ? 3

……………………………1 分

综上所述, a 的取值范围是 ?? ?,3? ……………………………1 分

20.(本题 10 分)1)?当x ? 7时, f (x) 单调递减。…………………1 分 证明 :(1)设 7 ? x1 ? x2 ,

f

(x2 )

?

f

(x1 )

?

(1 ?

0.4 ) ? (1? x2 ? 4

0.4 )
x1 ? 4 …………………1



? 0.4 ? 0.4 ? 0.4(x2 ? x1 ) …………………2 分 x1 ? 4 x2 ? 4 (x1 ? 4)( x2 ? 4)

? 7 ? x1 ? x2 ,?(x1 ? 4)( x2 ? 4) ? 0, x2 ? x1 ? 0

? f (x2 ) ? f (x1 ) ? 0

?当x ? 7时, f (x) 单调递减。…………………………1 分

(2)由题意可知 0.1+15ln a =0.7………………2 分 a?5
整理得 a ? e0.04 a?5

解得 a

?

e0.04 ? 5 e0.04 ?1

?

26? 5

? 130 ∈ (127,133]

…….2



由此可知,该学科是丙学科……………..1 分

21、(本题 12 分)

解:(1) 定义域为 R 的函数 f ? x? 是奇函数 ? f ?0? ? 0

当 x ? 0 时, ?x ? 0
又 函数 f ? x? 是奇函数

? f ??x? ? ?x ? 2?x
3
? f ??x? ? ? f ?x?

(1 分) (1 分) (1 分)

? f ? x? ? x ? 2?x
3

综上所述

f

?x?

?

? ? ? ?

x 3

? 2x 0

? ?

x

?

2?

x

?3

?x ? 0? ?x ? 0? ?x ? 0?

-------(1 分) -------(1 分)

(2) f ?1? ? ? 5 ? f ?0? ? 0 且 f ? x? 在 R 上单调
3

? f ? x? 在 R 上单调递减

-------(2 分)

由 f (t 2 ? 2t) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 得 f (t2 ? 2t) ? ? f (2t 2 ? k)

f (x) 是奇函数

? f (t2 ? 2t) ? f (k ? 2t2 ) -------(1 分)

,又 f (x) 是减函数 ? t2 ? 2t ? k ? 2t2

即 3t2 ? 2t ? k ? 0 对任意 t ? R 恒成立----------------(2 分) ?? ? 4 ?12k ? 0 得 k ? ? 1 即为所求 ----------------(2 分)
3

22、解:(1) f ? x? 为奇函数 ? f ??x? ? ? f ? x?

? f ?0? ? 0

?a ?1 ----------------(2 分)

(2)

g?x? ?

f

1
? x? ? a

? ? 2x ?1 ----------------(1 分) 2

? g ?2x? ? ag ? x? ? ? 22x ?1 ? a ? 2x ?1 ? 0 ------(1 分)

2

2

令 t ? 2x ? 0 ,则问题转化为方程 t2 ? at ?1? a ? 0在 ?0, ??? 上有唯一解。-----
————————————————————-(1 分)
令 h?t? ? t2 ? at ?1? a ,则 h?0? ? 0
?a ?1————————————————————-(2 分)

(3)法一:不存在实数 m 、 n 满足题意。———————-(1 分)

f

?

x?

?

2

?

2 2x ?1

y ? 2x 在 R 上是增函数

? f ? x? 在 R 上是增函数------------------------(2 分)

假设存在实数 m 、 n?m ? n ? 0? 满足题意,有

???2

?

2 2m ?

1

?

m

? ? ??

2

?

2 2n ?

1

?

n

?1? ?2?

—————-(2 分)

m? 0

?0 ? 2m ? 1

?0

?

2?

2 2m ?

1

?

1

??1? 式左边 ? 0 ,右边 ? 0 ,故 ?1? 式无解。

同理 ?2? 式无解。

故不存在实数 m 、 n 满足题意。—————-(2 分)

法二:不存在实数 m 、 n 满足题意。———————-(1 分)

易知

f

?x?

?

2?

2 2x ?1

y ? 2x 在 R 上是增函数

? f ? x? 在 R 上是增函数————-(2 分)

假设存在实数

m



n?m

?

n

?

0?

满足题意,有

?? ? ??

f f

?m ?n

? ?

? ?

m n

即 m 、 n 是方程 f ? x? ? x 的两个不等负根。———-(1 分)

由 2 ? 2 ? x 得 2x ?1? ? 2

2x ?1

x?2

令 h? x? ? 2x ?1, g ? x? ? ? 2 ———-(1 分)
x?2

函数 g ? x? 在 ???,0? 上为单调递增函数

?当 x ? 0 时, g ?x? ? g ?0? ?1

而 h?x? ?1 ,?h?x? ? g ?x?
?方程 2x ?1 ? ? 2 在 ???,0? 上无解
x?2 故不存在实数 m 、 n 满足题意。———-(2 分)

命卷人:陈健 蔡秀萍 审核人:陈昆夔

联系电话:陈健

蔡秀萍


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