人教版高中数学全套试题第2章 2.3.1

§2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定
【课时目标】 1.掌握直线与平面垂直的定义.2.掌握直线与平面垂直的判定定理并 能灵活应用定理证明直线与平面垂直.3.知道斜线在平面上的射影的概念,斜线与平面所 成角的概念.

1.直线与平面垂直 (1)定义:如果直线 l 与平面 α 内的________________直线都________,就说直线 l 与平 面 α 互相垂直,记作________.直线 l 叫做平面 α 的________,平面 α 叫做直线 l 的________. (2)判定定理 文字表述:一条直线与一个平面内的________________________都垂直,则该直线与此 平面垂直.

l⊥a l⊥b 符表述:

?? ??l⊥α.

??

2.直线与平面所成的角 (1)

定义:平面的一条斜线和它在平面上的________所成的________,叫做这条直线和这个 平面所成的角.
如图所示,________就是斜线 AP 与平面 α 所成的角. (2)当直线 AP 与平面垂直时,它们所成的角的度数是 90°; 当直线与平面平行或在平面内时,它们所成的角的度数是________; 线面角 θ 的范围:________.

一、选择题

1.下列命题中正确的个数是( )

①如果直线 l 与平面 α 内的无数条直线垂直,则 l⊥α;

②如果直线 l 与平面 α 内的一条直线垂直,则 l⊥α;

③如果直线 l 不垂直于 α,则 α 内没有与 l 垂直的直线;

④如果直线 l 不垂直于 α,则 α 内也可以有无数条直线与 l 垂直.

A.0

B.1

C.2

D.3

2.直线 a⊥直线 b,b⊥平面 β,则 a 与 β 的关系是( )

A.a⊥β

B.a∥β

C.a?β

D.a?β 或 a∥β

3.空间四边形 ABCD 的四边相等,则它的两对角线 AC、BD 的关系是( )

A.垂直且相交

B.相交但不一定垂直

C.垂直但不相交

D.不垂直也不相交

4.如图所示,定点 A 和 B 都在平面 α 内,定点 P?α,PB⊥α,C 是平面 α 内异于 A 和 B 的动点,且 PC⊥AC,则△ABC 为( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 5.如图所示,PA⊥平面 ABC,△ABC 中 BC⊥AC,则图中直角三角形的个数为( )

A.4

B.3

C.2

D.1

6.从平面外一点向平面引一条垂线和三条斜线,斜足分别为 A,B,C,如果这些斜线

与平面成等角,有如下命题:

①△ABC 是正三角形;②垂足是△ABC 的内心;

③垂足是△ABC 的外心;④垂足是△ABC 的垂心.

其中正确命题的个数是( )

A.1 B.2

C.3

D.4

二、填空题

7.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,

(1)直线 A1B 与平面 ABCD 所成的角是________; (2)直线 A1B 与平面 ABC1D1 所成的角是________; (3)直线 A1B 与平面 AB1C1D 所成的角是________. 8.在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,BC=CC1,当底面 A1B1C1 满足条件________时,有 AB1⊥BC1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情况). 9.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别是棱 AA1 和 AB 上的点,若∠ B1MN 是直角,则∠C1MN=________.

三、解答题
10.如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是棱 B1C1、B1B 的中点. 求证:CF⊥平面 EAB.

11.如图所示,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,侧棱 PA 垂直于底面,E、 F 分别是 AB,PC 的中点,PA=AD.
求证:(1)CD⊥PD; (2)EF⊥平面 PCD.
能力提升 12.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 为 DD1 的中点,O 为 ABCD 的中心, 求证 B1O⊥平面 PAC.
13.如图所示,△ABC 中,∠ABC=90°,SA⊥平面 ABC,过点 A 向 SC 和 SB 引垂线, 垂足分别是 P、Q,求证:(1)AQ⊥平面 SBC;
(2)PQ⊥SC.
1.运用化归思想,将直线与平面垂直的判定转化为直线与平面内两条相交直线的判定, 而同时还由此得到直线与直线垂直.即“线线垂直?线面垂直”.
2.直线和平面垂直的判定方法

(1)利用线面垂直的定义. (2)利用线面垂直的判定定理. (3)利用下面两个结论: ①若 a∥b,a⊥α,则 b⊥α; ②若 α∥β,a⊥α,则 a⊥β. 3.线线垂直的判定方法 (1)异面直线所成的角是 90°. (2)线面垂直,则线线垂直.

§2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定 答案

知识梳理

1.(1)任意一条 垂直 l⊥α 垂线 垂面

(2)两条相交直线 a?α b?α a∩b=A

2.(1)射影 锐角 ∠PAO

(2)0° [0°,90°]

作业设计

1.B [只有④正确.]

2.D

3.C [取 BD 中点 O,连接 AO,CO,

则 BD⊥AO,BD⊥CO,

∴BD⊥面 AOC,BD⊥AC,

又 BD、AC 异面,∴选 C.]

4.B [易证 AC⊥面 PBC,所以 AC⊥BC.]

5.A

[

PA⊥平面ABC ???? BC?平面ABC??

PA⊥BC ??
?
AC⊥BC??

?BC⊥平面 PAC?BC⊥PC,

∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC.]

6.A [PO⊥面 ABC.

则由已知可得,△PAO、△PBO、△PCO 全等,

OA=OB=OC,

O 为△ABC 外心.

只有③正确.]

7.(1)45° (2)30° (3)90°

解析

(1)由线面角定义知∠A1BA 为 A1B 与平面 ABCD 所成的角,∠A1BA=45°. (2)连接 A1D、AD1,交点为 O, 则易证 A1D⊥面 ABC1D1,所以 A1B 在面 ABC1D1 内的射影为 OB,

∴A1B 与面 ABC1D1 所成的角为∠A1BO, ∵A1O=12A1B, ∴∠A1BO=30°. (3)∵A1B⊥AB1,A1B⊥B1C1, ∴A1B⊥面 AB1C1D,即 A1B 与面 AB1C1D 所成的角为 90°. 8.∠A1C1B1=90° 解析
如图所示,连接 B1C, 由 BC=CC1,可得 BC1⊥B1C, 因此,要证 AB1⊥BC1,则只要证明 BC1⊥平面 AB1C, 即只要证 AC⊥BC1 即可,由直三棱柱可知,只要证 AC⊥BC 即可. 因为 A1C1∥AC,B1C1∥BC,故只要证 A1C1⊥B1C1 即可. (或者能推出 A1C1⊥B1C1 的条件,如∠A1C1B1=90°等) 9.90° 解析 ∵B1C1⊥面 ABB1A1, ∴B1C1⊥MN. 又∵MN⊥B1M, ∴MN⊥面 C1B1M, ∴MN⊥C1M. ∴∠C1MN=90°. 10.证明 在平面 B1BCC1 中, ∵E、F 分别是 B1C1、B1B 的中点, ∴△BB1E≌△CBF, ∴∠B1BE=∠BCF, ∴∠BCF+∠EBC=90°,∴CF⊥BE, 又 AB⊥平面 B1BCC1,CF?平面 B1BCC1, ∴AB⊥CF,AB∩BE=B,∴CF⊥平面 EAB. 11.证明 (1)∵PA⊥底面 ABCD, ∴CD⊥PA. 又矩形 ABCD 中,CD⊥AD,且 AD∩PA=A, ∴CD⊥平面 PAD, ∴CD⊥PD.
(2)取 PD 的中点 G,连接 AG,FG. 又∵G、F 分别是 PD,PC 的中点, ∴GF 綊12CD,∴GF 綊 AE, ∴四边形 AEFG 是平行四边形, ∴AG∥EF. ∵PA=AD,G 是 PD 的中点,

∴AG⊥PD,∴EF⊥PD, ∵CD⊥平面 PAD,AG?平面 PAD. ∴CD⊥AG.∴EF⊥CD. ∵PD∩CD=D,∴EF⊥平面 PCD. 12.证明 连接 AB1,CB1,设 AB=1. ∴AB1=CB1= 2,
∵AO=CO,∴B1O⊥AC. 连接 PB1. ∵OB21=OB2+BB21=32, PB21=PD21+B1D21=94, OP2=PD2+DO2=34, ∴OB21+OP2=PB21.∴B1O⊥PO, 又∵PO∩AC=O, ∴B1O⊥平面 PAC. 13.证明 (1)∵SA⊥平面 ABC,BC?平面 ABC, ∴SA⊥BC. 又∵BC⊥AB,SA∩AB=A, ∴BC⊥平面 SAB. 又∵AQ?平面 SAB, ∴BC⊥AQ.又∵AQ⊥SB,BC∩SB=B, ∴AQ⊥平面 SBC. (2)∵AQ⊥平面 SBC,SC?平面 SBC,
∴AQ⊥SC. 又∵AP⊥SC,AQ∩AP=A, ∴SC⊥平面 APQ.∵PQ?平面 APQ,∴PQ⊥SC.


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