高中数学必修1知识点总结_-_副本_图文

高中数学必修1知识点总结

?定义(集合元素的三大性质) 集合 ??集合表示方法
??集合运算
含参与不含参

1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,
即元素的“确定性、互异性、无序性”。
A ? ?3 ? 2a,1 ? ? B ?? a2,1 ?,求a
2、集合的表示方法
如:集合A ? ?x | y ? lg x?,B ? ?y | y ? lg x?,
C ? ?(x, y) | y ? lg x?,A、B、C 中元素各表示什么?

2. 进行集合的交、并、补运算时, 不要忘记集合本身和空集?的特殊情况。
注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。
? ? 如:集合A ? x | x2 ? 2x ? 3 ? 0 ,B ? ?x | ax ?1?
若B ? A,则实数a的值构成的集合为 ____

(答:

???1,0, ?

31???)

3. 注意下列性质:
? ? (1)集合 a1,a2,……,an 的所有子集的个数是2n ;
(2)若A ? B ? A ? B ? A
(3)若A ? B ? A ? B ? B
(4)德摩根定律:
CU ? A B? ? ?CU A? ?CU B?,CU ? A B? ? ?CU A? ?CU B?

4. 你会用补集思想解决问题吗? (排除法、间接法)

如:已知关于x的不等式

ax x2

? ?

5 a

?

0的解集为M,

若3? M且5? M,求实数a的取值范围

a ?[1, 5) ? (9,25] 3

含参与不含参

?定义域(求定义域(含抽象函数),逆向定义域)

??值域(求函数值域,逆向值域)

?解析式(求解析式三种方法)

??单调性(证明,写单调区间,比较大小及解不等式

函数 ??奇偶性(奇偶性判断,图象特点,应用)

?函数图象及变换 ?

?函数与方程(函数零点)[含参数问题]

? ???函数与不等式

?解不等式(含抽象不等式) ??不等式恒成立(含抽象不等式)

1. 对映射的概念了解吗?
是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯 一性 哪几种对应能构成映射?
(一对一,多对一,允许B中有元素无原象。)
2. 函数的三要素是什么? 如何比较两个函数是否相同?

7. 求函数的定义域有哪些常见类型?

例:函数y

?

x?4? x? lg ? x ? 3?2

的定义域是

(答:?0,2? ?2,3? ?3,4?)

8. 如何求复合函数的定义域?
例1、函数f (x)的定义域是?a,b?,b ? ?a ? 0,
则函数F(x) ? f (x) ? f (?x)的定义域是_____
(答:?a, ? a?)
例2、设f (x ?1)的定义域为?1, 2?,求函数
g(x) ? f (x2 )的定义域
(答:?-1,1?)

9.逆向定义域

如:函数y ? lg(ax2 ? ax ?1)的 定义域为R,求实数a的范围

10. 求函数的解析式

?待定系数法 ??换元法 ??方程组法

例:已知2 f (x ?1) ? f (1? x) ? 2x2 -1,求二次函数f (x)

的解析式

f (x) ? 2x2 ? 4 x ?1 3

注: 求一个函数的解析式或一个函数的反函数
时,注明函数的定义域了吗?
? ? 如:f x ? 1 ? ex ? x,求f (x).
f (x) ? ex2?1 ? x2 ?1 ? x ? 0?

11. 函数的值域
???求函数值域???不 含含 参参 数数(图象法、换元法、单调性法) ??逆向值域(已知值域求参数值)(先求值域, ??再根据条件解方程) ??
例:求下列函数值域 如:函数y ? lg(ax2 ? ax ?1)的
值域为R,求实数a的范围
(1)y ? 4 - 3 ? 2x ? x2 ;

(2) y ? x ? 1? 2x

(1)?2, 4?; (2) ? ??,1?

?用定义证明单调性 12、函数的单调 ????复用合图函象数法单写调出性函的数判单断调区间
??比较大小和解不等式(包含抽象问题) ??逆向单调性问题(已知单调区间,求参数范围)
例:已知奇函数f (x)在区间?a,b?上是减函数, 证明f (x) 在区间??b, ?a?上仍是减函数.
? ? 例:求y ? log1 ?x2 ? 2x 的单调区间
2

?用定义判断函数奇偶性

13.

函数奇偶性

??奇函数、偶函数图象特 ??函数奇偶性应用(求函

点 数式)

若f (?x) ? ? f (x) ? f (x)为奇函数 ? 函数图象关于原点对称 若f (?x) ? f (x) ? f (x)为偶函数 ? 函数图象关于y轴对称

例1:若f

(x)

?



2x ? a ? 2x ?1

2

为奇函数,则实数a

?

__

例2:f (x)为定义在(?1,1)上的奇函数,当x ?(0,1)时,

f

(x)

?

2x 4x ?

,求f 1

(x)解析式.

14. 反函数的性质有哪些?
①互为反函数的图象关于直线y=x对称;
②保存了原来函数的单调性、奇函数性; ③原函数的定义域为反函数的值域,原函数的 值域为反函数的定义域
例:已知f ? x? ? ax ? k的图象过点(1,3),其反函数
的图象过(2, 0)点,求f (x)表达式.

15.熟练掌握常用函数的图象和性质

(1)一次函数:y ? kx ? b ?k ? 0?

(2)反比例函数:y ? k ?k ? 0?

(3)二次函数y

?

ax2

?

x bx

?

c

?a

?

0?

?

a

? ??

x

?

b 2a

2
? ? ?

?

4ac ? 4a

b2

(4)指数函数:y ? ax ?a ? 0,a ? 1?

(5)对数函数y ? loga x?a ? 0,a ? 1?

(6)“对勾函数”y ? ax ? k ?a、k ? 0?
x

二次函数在闭区间上的最值问题
例:已知函数f (x) ? x2 ? 2ax ? 2,求f (x)在??5,5?上的
最大值与最小值.

16. 常用的图象变换
f(x)与f(?x)的图象关于 y轴 对称 f(x)与 ? f(x)的图象关于 x轴 对称
f(x)与 ? f(?x)的图象关于 原点 对称 f (x)与f ?1(x)的图象关于 直线y ? x 对称 f(x)与f(2a ? x)的图象关于 直线x ? a 对称
f (a ? x) ? f (a ? x) ? 对称轴为x ? a

将y ? f (x)图象 ?左?移?a?(a??0)?个?单?位?? y ? f (x ? a) 右移a(a?0)个单位 y ? f (x ? a)
?上?移?b?(b??0?)个?单?位?? y ? f (x ? a) ? b 下移b(b?0)个单位 y ? f (x ? a) ? b
注意如下“翻折”变换:
f (x) ??? f (x) f (x) ??? f (|x|)
例:作出y ? |log2 ? x ?1?|及y ? log2 |x ?1|的图象.

17. 函数零点的概念?判断零点个数的方法?
一元二次方程f (x) ? ax2 ? bx ? c的区间根问题
18.不等式的恒成立问题

19.指数、对数基本运算

指数运算:a 0

? 1 (a

? 0),a ?p

?

1 ap

(a

? 0)

m

m

a n ? n a m (a ? 0),a ? n ?

1

(a ? 0)

n am

对数运算:loga M·N ? loga M ? loga N ?M ? 0,N ? 0?

loga

M N

?

loga

M

?

loga

N, loga

n

M

?

1 n

loga

M

对数恒等式:a loga x ? x

对数换底公式:loga

b

?

logc logc

b a

?

logam

bn

?

n m

loga

b

20. 如何解抽象函数问题?

(赋值法、结构变换法)
如:
(1)x ? R,f (x)满足f (x ? y) ? f (x) ? f ( y),证明f (x)为奇函数。

(先令x ? y ? 0 ? f (0) ? 0再令y ? ?x,……)
(2)x ?R,f (x)满足f (xy) ? f (x) ? f (y),证明f (x)是偶函数。
(先令x ? y ? ?t,再令x ? y ? t ? f ?(?t)(?t)? ? f (·t t)
∴f (?t) ? f (?t) ? f (t) ? f (t)即f (?t) ? f (t)

(3)证明单调性:f (x2 ) ? f ??? x2 ? x1 ? ? x2 ?? ? ……

f (x2 ) ?

f

? ? x1 ?

x2 x1

? ? ?


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