概率_随机事件的概率.板块二.随机事件的概率计算.学生版

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板块二.随机事件的概率计算

知识内容
版块一:事件及样本空间
1.必然现象与随机现象 必然现象是在一定条件下必然发生某种结果的现象; 随机现象是在相同条件下,很难预料哪一种结果会出现的现象. 2.试验:我们把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验,把观察结果或实 验的结果称为试验的结果. 一次试验是指事件的条件实现一次. 在同样的条件下重复进行试验时,始终不会发生的结果,称为不可能事件; 在每次试验中一定会发生的结果,称为必然事件; 在试验中可能发生,也可能不发生的结果称为随机事件. B, C , 来表示随机事件,简称为事件. 通常用大写英文字母 A , 3.基本事件:在一次试验中,可以用来描绘其它事件的,不能再分的最简单的随机事件, 称为基本事件.它包含所有可能发生的基本结果. 所有基本事件构成的集合称为基本事件空间,常用 ? 表示.

版块二:随机事件的概率计算
B 同时发生,我们记作 A B ,简记为 AB ; 1.如果事件 A , B ,如果有 P( AB) ? P( A) P( B) ,就称事件 A 与 B 相互独立, 2.一般地,对于两个事件 A ,

简称 A 与 B 独立.当事件 A 与 B 独立时,事件 A 与 B , A 与 B , A 与 B 都是相互独立的. 3.概率的统计定义 m 一般地,在 n 次重复进行的试验中,事件 A 发生的频率 ,当 n 很大时,总是在某个常数附 n 近摆动,随着 n 的增加,摆动幅度越来越小,这时就把这个常数叫做事件 A 的概率,记为 P ( A) . 从概率的定义中,我们可以看出随机事件的概率 P ( A) 满足: 0 ≤ P( A) ≤ 1 . 当 A 是必然事件时, P ( A) ? 1 ,当 A 是不可能事件时, P ( A) ? 0 . 4.互斥事件与事件的并 互斥事件:不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件,或称互不相容事件. B 都发生)所构成的事件 由事件 A 和事件 B 至少有一个发生(即 A 发生,或 B 发生,或 A , C ,称为事件 A 与 B 的并(或和) ,记作 C ? A B . 若 C ? A B ,则若 C 发生,则 A 、 B 中至少有一个发生,事件 A B 是由事件 A 或 B 所包 含的基本事件组成的集合. 5.互斥事件的概率加法公式: 若 A 、 B 是互斥事件,有 P( A B) ? P( A) ? P( B) 若 事 件
A1 , A2 , , An



















) ,



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P( A1

A2

An ) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ?

? P( An ) .

事件“ A1 A2 A2 , , An 中至少有一个发生. An ”发生是指事件 A1 , 6.互为对立事件 不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件.事件 A 的对立事件记作 A . 有 P( A) ? 1 ? P( A) . <教师备案> 1.概率中的“事件”是指“随机试验的结果”,与通常所说的事件不同.基本事件空间是指一 次试验中所有可能发生的基本结果. 有时我们提到事件或随机事件, 也包含不可能事件和必 然事件,将其作为随机事件的特例,需要根据情况作出判断. 2.概率可以通过频率来“测量”,或者说是频率的一个近似,此处概率的定义叫做概率的统 计定义.在实践中,很多时候采用这种方法求事件的概率. 随机事件的频率是指事件发生的次数与试验总次数的比值, 它具有一定的稳定性, 总是在某 个常数附近摆,且随着试验次数的增加,摆动的幅度越来越小,这个常数叫做这个随机事件 的概率. 概率可以看成频率在理论上的期望值, 它从数量上反映了随机事件发生的可能性的 大小,频率在大量重复试验的前提下可近似地看作这个事件的概率. 3.基本事件一定是两两互斥的,它是互斥事件的特殊情形. 主要方法: 解决概率问题要注意“四个步骤,一个结合”: 求概率的步骤是: ? 等可能事件 ? ?互斥事件 第一步,确定事件性质 ? ,即所给的问题归结为四类事件中的某一种. ?独立事件 ? ?n次独立重复试验
?和事件 第二步,判断事件的运算 ? ,即是至少有一个发生,还是同时发生,分别运用相加或 ?积事件 相乘事件. m ? 等可能事件: P( A) ? ? n ? ?互斥事件:P( A ? B) ? P( A) ? P( B) 第三步,运用公式 ? 求解 ? 独立事件:P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? k k n?k ? ? n次独立重复试验:Pn (k ) ? Cn p (1 ? p)

第四步,答,即给提出的问题有一个明确的答复. 解决此类问题的关键是会正确求解以下六种事件的概率 (尤其是其中的 (4) 、 (5) 两种概率) : ⑴ 随机事件的概率,等可能性事件的概率; ⑵ 互斥事件有一个发生的概率; ⑶ 相互独立事件同时发生的概率; ⑷ n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率; ⑸ n 次独立重复试验中在第 k 次才首次发生的概率; ⑹ 对立事件的概率. 另外:要注意区分这样的语句:“至少有一个发生”,“至多有一个发生”,“恰好有一个发生”, “都发生”,“不都发生”,“都不发生”,“第 k 次才发生”等.

典例分析

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题型一 概率与频率
【例1】下列说法: ①频率是反映事件发生的频繁程度,概率反映事件发生的可能性的大小; m ②做 n 次随机试验,事件 A 发生的频率 就是事件的概率; n ③百分率是频率,但不是概率; ④频率是不能脱离具体的 n 次试验的实验值,而概率是具有确定性的不依赖于试 验次数的理论值; ⑤频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值. 其中正确的是( ) A.①④⑤ B.②④⑤ C.①③④ D.①③⑤

【例2】对某工厂所生产的产品质量进行调查,数据如下: 100 300 500 200 50 抽查件数 192 285 478 95 47 合格件数 根据上表所提供的数据, 估计合格品的概率约为多少?若要从该厂生产的此种产品 中抽到 950 件合格品,大约需要抽查多少件产品?

【例3】某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下:
10 10 8 9 投篮次数 12 8 9 6 7 7 进球次数 进球频率 (1)在表中直接填写进球的频率; (2)这位运动员投篮一次,进球的概率为多少? 16 12

60 45

100 74

【例4】下列说法: ①频率是反映事件发生的频繁程度,概率反映事件发生的可能性的大小; m ②做 n 次随机试验,事件 A 发生 m 次,则事件 A 发生的概率为 ; n ③频率是不能脱离 n 次试验的实验值,而概率是具有确定性的不依赖于试验次数 的理论值; ④频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值. 其中正确命题的序号为 .

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【例5】盒中装有 4 只相同的白球与 6 只相同的黄球.从中任取一只球.试指出下列事件

分别属于什么事件?它们的概率是多少? ⑴ A ? “取出的球是白球”; ⑵ B ? “取出的球是蓝球”; ⑶ C ? “取出的球是黄球”; ⑷ D ? “取出的球是白球或黄球”.

题型二 独立与互斥
【例6】(2010 辽宁高考)
2 3 和 ,两个零件是 3 4 否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 1 1 1 5 A. B. C. D. 12 6 2 4

两个实习生每人加工一个零件.加工为一等品的概率分别为

【例7】掷两枚均匀的骰子, 记 A ? “点数不同”,B ? “至少有一个是 6 点”, 判断 A 与 B 是

否为独立事件.

【例8】设 M 和 N 是两个随机事件,表示事件 M 和事件 N 都不发生的是( A. M ? N B. M ? N C.
M? N? M? N



D. M ? N

【例9】判断下列各对事件是否是相互独立事件 ⑴ 甲组 3 名男生、2 名女生;乙组 2 名男生、3 名女生,今从甲、乙两组中各选 1 名 同学参加 演讲比赛,“从甲组中选出 1 名男生”与“从乙组中选出 1 名女生”. ⑵ 容器内盛有 5 个白乒乓球和 3 个黄乒乓球,“从 8 个球中任意取出 1 个,取出的 是白球”与“从剩下的 7 个球中任意取出 1 个,取出的还是白球”.

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【例10】⑴某县城有两种报纸甲、乙供居民订阅,记事件 A 为“只订甲报”,事件 B 为“至

少订一种报”,事件 C 为“至多订一种报”,事件 D 为“不订甲报”,事件 E 为“一 种报也不订”.判断下列每对事件是不是互斥事件,再判断它们是不是对立事 件. ① A 与 C ;② B 与 E ;③ B 与 D ;④ B 与 C ;⑤ C 与 E .

【例11】抛掷一枚骰子, 记事件 A 为“落地时向上的数是奇数”,事件 B 为“落地时向上的

数是偶数”,事件 C 为“落地时向上的数是 3 的倍数”,事件 D 为“落地时向上的 数是 6 或 4 ”,则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是( A. A 与 B B. B 与 C C. A 与 D D. C 与 D )

【例12】每道选择题都有 4 个选择支, 其中只有 1 个选择支是正确的. 某次考试共有 12 道

1 选择题,某人说:“每个选择支正确的概率是 ,我每题都选择第一个选择支, 4

则一定有 3 题选择结果正确”.对该人的话进行判断,其结论是( ) A.正确的 B.错误的 C.模棱两可的 D.有歧义的

题型三 随机事件的概率计算
【例13】(2010 丰台二模) 一个正三角形的外接圆的半径为 1 ,向该圆内随机投一点 P ,点 P 恰好落在正三角 形外的概率是_________.

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【例14】(2010 崇文一模) 从 52 张扑克牌(没有大小王)中随机的抽一张牌,这张牌是 J 或 Q 或 K 的概率为 _______.

【例15】(2010 朝阳一模) 一只小蜜蜂在一个棱长为 30 的正方体玻璃容器内随机飞行. 若蜜蜂在飞行过程 中与正方体玻璃容器 6 个表面中至少有一个的距离不大于 10,则就有可能撞到玻 璃上而不安全;若始终保持与正方体玻璃容器 6 个表面的距离均大于 10,则飞行 是安全的, 假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置可能性相同, 那么蜜蜂飞 行是安全的概率是( ) 1 3 1 1 A. B. C. D. 16 27 8 8

【例16】(2010 东城二模) 在直角坐标系 xOy 中,设集合 ? ? ?( x , y) 0 ≤ x ≤1,0 ≤ y ≤1? ,在区域 ? 内任取 一点 P( x , y ) ,则满足 x ? y ≤ 1 的概率等于 .

【例17】(2010 朝阳一模) 在区间 [? π , π ] 内随机取两个数分别记为 a, b , 则使得函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? b 2 ? π 有 零点的概率为( 7 3 A. B. 8 4 ) C.

1 2

D.

1 4

【例18】(2010 东城一模) 某人向一个半径为 6 的圆形标靶射击,假设他每次射击必定会中靶,且射中靶内各 点是随机的,则此人射击中靶点与靶心的距离小于 2 的概率为( ) 1 1 1 1 A. B. C. D. 4 2 13 9

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【例19】(2010 西城一模) 在边长为 1 的正方形 ABCD 内任取一点 P ,则点 P 到点 A 的距离小于 1 的概率 为 .

【例20】(2010 丰台二模) 已知

? ? ?? x , y ? | x ? y ≤ 6 , x ≥ 0 , y ≥ 0? , A ? ?( x, y) x ≤ 4 , y ≥ 0 , x ? 2 y ≥ 0? .若
向区域 ? 上随机投一点 P ,则点 P 落入区域 A 的概率是_________.

【例21】(2010 朝阳一模) 袋子中装有编号为 a, b 的 2 个黑球和编号为 c, d , e 的 3 个红球,从中任意摸出 2 个 球. ⑴写出所有不同的结果; ⑵求恰好摸出 1 个黑球和 1 个红球的概率; ⑶求至少摸出 1 个黑球的概率.

【例22】(2010 崇文二模) 在平面直角坐标系 xOy 中, 平面区域 W 中的点的坐标 ( x , y ) 满足 x 2 ? y 2 ≤ 5 , 从区 域 W 中随机取点 M ( x, y ) . ⑴若 x ? Z , y ? Z ,求点 M 位于第四象限的概率;

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⑵已知直线 l : y ? ? x ? b ( b ? 0) 与圆 O : x 2 ? y 2 ? 5 相交所截得的弦长为 15 ,求
y ≥ ? x ? b 的概率.

【例23】(2010 西城一模) 一个盒子中装有 4 张卡片, 每张卡片上写有 1 个数字, 数字分别是 1 、2 、3 、4 . 现 从盒子中随机抽取卡片. ⑴若一次抽取 3 张卡片,求 3 张卡片上数字之和大于 7 的概率; ⑵若第一次抽 1 张卡片, 放回后再抽取 1 张卡片, 求两次抽取中至少一次抽到数字 3 的概率.

【例24】(2010 海淀一模) 某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规则如下:消费每满 100 元可以转 动如图所示的圆盘一次,其中 O 为圆心,且标有 20 元、 10 元、 0 元的三部分区域 面积相等. 假定指针停在任一位置都是等可能的.当指针停在某区域时,返相应

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金额的优惠券. (例如:某顾客消费了 218 元,第一次转动获得了 20 元,第二次获 得了 10 元,则其共获得了 30 元优惠券. )顾客甲和乙都到商场进行了消费,并按 照规则参与了活动.

⑴若顾客甲消费了 128 元,求他获得优惠券面额大于 0 元的概率? ⑵若顾客乙消费了 280 元,求他总共获得优惠券金额不低于 20 元的概率?

【例25】(2010 石景山一模) 为援助汶川灾后重建,对某项工程进行竞标,共有 6 家企业参与竞标.其中 A 企业 来自辽宁省, B 、 C 两家企业来自福建省, D 、 E 、 F 三家企业来自河南省.此 项工程需要两家企业联合施工,假设每家企业中标的概率相同. ⑴企业 E 中标的概率是多少? ⑵在中标的企业中,至少有一家来自河南省的概率是多少?

【例26】(2010 湖北高考) 投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币正面向上”为事件 A ,“骰于向 上 的点数是 3”为事件 B ,则事件 A , B 中至少有一件发生的概率是

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A.

5 12

B.

1 2

C.

7 12

D.

3 4

【例27】盒子中有大小相同的 3 只小球,1 只黑球,若从中随机地摸出两只球,两只球颜

色不同的概率是



【例28】(2010 江西高考) 一位国王的铸币大臣在每箱 100 枚的硬币中各掺入了一枚劣币,国王怀疑大臣作 弊,他用两种方法来检测.方法一:在 100 箱中各任意检查一枚;方法二:在 5 箱中各任意抽查两枚. 国王用方法一、 二能发现至少一枚劣币的概率分别为 p1 , p2 , 则( ) B. p1 ? p2 C. p1 ? p2 D.以上三种情况都有可能 A. p1 ? p2

【例29】(2010 陕西卷高考) 铁矿石 A 和 B 的含铁率 a , 冶炼每万吨铁矿石的 CO2 的排放量 b 及每万吨铁矿石的 价格 c 如下表:

a
A B
50%
70%

b (万吨)

c (百万元)
3 6

1
0.5

某冶炼厂至少要生产 1.9 (万吨)铁,若要求 CO2 的排放量不超过 2(万吨) ,则购 买铁矿石的最少费用为______(百万元) .

【例30】甲、乙两人进行击剑比赛,甲获胜的概率是 0.41 ,两人战平的概率是 0.27 ,那

甲不输的概率为________甲不获胜的概率为_______.

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B 是相互独立事件,且 P ( A) ? 0.3 , P( B) ? 0.6 ,则 P( A ? B) ? ______. 【例31】已知 A ,

【例32】某人射击 5 枪,命中 3 枪,3 枪中恰有 2 枪连中的概率为( 2 1 1 A. B. C. 10 5 20


D.

3 5

【例33】袋中有大小相同的 5 个白球和 3 个黑球, 从中任意摸出 4 个, 求下列事件发生的

概率. ⑴ 摸出 2 个或 3 个白球; ⑵ 至少摸出一个黑球.

【例34】一批产品共 100 件,其中 5 件是废品,任抽 10 件进行检查,求下列事件的概率. ⑴ 10 件产品中至多有一件废品;⑵ 10 件产品中至少有一件废品.

【例35】(2009 湖南卷文)

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为拉动经济增长,某市决定新建一批重点工程,分为基础设施工程、民生工程和产 1 1 1 业建设工程三类.这三类工程所含项目的个数分别占总数的 , , .现有 3 名 2 3 6 工人独立地从中任选一个项目参与建设.求: ⑴ 他们选择的项目所属类别互不相同的概率; ⑵ 至少有 1 人选择的项目属于民生工程的概率.

【例36】甲、乙二射击运动员分别对一目标射击 1 次,甲射中的概率为 0.8 ,乙射中的概

率为 0.9 , 求:⑴ 2 人都射中的概率?⑵ 2 人中有 1 人射中的概率?

【例37】(2009 全国卷Ⅰ文) 甲、 乙二人进行一次围棋比赛, 约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利, 比赛结束. 假 设在一局中, 甲获胜的概率为 0.6 , 乙获胜的概率为 0.4 , 各局比赛结果相互独立. 已 知前 2 局中,甲、乙各胜 1 局. ⑴ 求再赛 2 局结束这次比赛的概率; ⑵ 求甲获得这次比赛胜利的概率.

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【例38】纺织厂某车间内有三台机器,这三台机器在一天内不需工人维护的概率:第一

台为 0.9 ,第二台为 0.8 ,第三台为 0.85 ,问一天内: ⑴ 3 台机器都要维护的概率是多少? ⑵ 其中恰有一台要维护的概率是多少? ⑶ 至少一台需要维护的概率是多少?

1 1 2 【例39】从甲口袋摸出一个红球的概率是 , 从乙口袋中摸出一个红球的概率是 , 则 2 3 3

是( ) A. 2 个球不都是红球的概率 C.至少有一个红球的概率

B. 2 个球都是红球的概率 D. 2 个球中恰好有 1 个红球的概率

1 1 【例40】甲、乙两个人独立地破译一个密码,他们能译出密码的概率分别为 和 ,求: 4 3 ⑴两个人都译出密码的概率;⑵两个人都译不出密码的概率;⑶恰有 1 个人译出密 码的概率; ⑷至多 1 个人译出密码的概率;⑸至少 1 个人译出密码的概率.

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【例41】现时盛行的足球彩票,其规则如下:全部 13 场足球比赛,每场比赛有 3 种结果:

胜、平、负,13 场比赛全部猜中的为特等奖,仅猜中 12 场为一等奖,其它不设 奖,则某人获得特等奖的概率为 .

【例42】从 10 位同学(其中 6 女, 4 男)中,随机选出 3 位参加测验,每位女同学能通

4 过测验的概率均为 , 5

3 每位男同学能通过测验的概率均为 ,试求: 5 ⑴选出的 3 位同学中至少有一位男同学的概率; ⑵10 位同学中的女同学甲和乙及男同学丙同时被抽到,且三人中恰有二人通过测 验的概率.

【例43】(08 天津)甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为

1 1 与 p ,且乙投球 2 次均未命中的概率为 . 16 2 ⑴求乙投球的命中率 p ; ⑵求甲投球 2 次,至少命中 1 次的概率; ⑶若甲、乙两人各投球 2 次,求两人共命中 2 次的概率.

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【例44】甲盒中有红、黑、白三种颜色的球各 3 个,乙盒子中有黄、黑、白三种颜色的

球各 2 个,从两个盒子中各取 1 个球,求取出的两个球是不同颜色的概率.

【例45】某商场有奖销售中,购满 100 元商品得 1 张奖券,多购多得.第 1000 张奖券为

一个开奖单位,设特等奖 1 个,一等奖 10 个,二等奖 50 个.设 1 张奖券中特等
B, C ,求: 奖、一等奖、二等奖的事件分别为 A ,
P( B) , P (C ) ; ⑴ P ( A) , ⑵ 1 张奖券的中奖概率; ⑶ 1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.

1 2, , 9 后,任意叠放在一起,从中任取一张,设“抽 【例46】把 10 张卡片分别写上 0 ,,

到大于 3 的奇数”为事件 A ,“抽到小于 7 的奇数”为事件 B ,求 P ( A) , P ( B ) 和
P( A B) .

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【例47】甲、乙两人下棋,乙不输的概率是 0.7 ,下成和棋的概率为 0.5 ,分别求出甲、

乙获胜的概率.

【例48】黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示: O AB B A 血型 35 28 29 8 该血型的人所占比例 (% ) 已知同种血型的人可以输血, O 型血可以输给任一种血型的人,任何人的血都可 以输给 AB 型血的人,其他不同血型的人不能互相输血.小明是 B 型血,若小明因 病需要输血,问: ⑴任找一个人,其血可以输给小明的概率是多少? ⑵任找一个人,其血不能输给小明的概率是多少?

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【例49】在袋中装 20 个小球,其中彩球有 n 个红色、 5 个蓝色、10 个黄色的,其余为白

球.
求:⑴如果从袋中取出 3 个都是相同颜色彩球(无白色)的概率是

13 ,且 n ≥ 2 , 114

那么,袋中的红球共有几个? ⑵根据⑴的结论,计算从袋中任取 3 个小球至少有一个是红球的概率.

8 环、 9 环、 7 环的概率分别为 0.12 , 0.32 , 0.27 , 0.11 , 【例50】某射手射击一次射中 10 环、

计算这名射手射击一次: ⑴射中 9 环或 8 环的概率;⑵至少射中 7 环的概率;⑶至多射中 8 环的概率.

【例51】射击运动员李强射击一次击中目标的概率是 0.8 ,他射击 3 次,恰好 2 次击中目

标的概率是多少?

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2, 3, 4, 5 条线路汽车经过的车站上,有位乘客等候着 1 , 3, 4 路车的到 【例52】在 1 ,

3, 4, 5 路车是相等的,而 1 路车是其 来.假如汽车经过该站的次数平均来说 2 ,

他各路车次数的总和.试求首先到站的汽车是这位乘客所需要线路的汽车的概 率.

【例53】(2007 年全国 I 卷文)某商场经销某商品,顾客可采用一次性付款或分期付款

购买.根据以往资料统计,顾客采用一次性付款的概率是 0.6 ,经销一件该商 品,若顾客采用一次性付款,商场获得利润 200 元;若顾客采用分期付款,商 场获得利润 250 元. ⑴ 求 3 位购买该商品的顾客中至少有 1 位采用一次性付款的概率; ⑵ 求 3 位位顾客每人购买 1 件该商品,商场获得利润不超过 650 元的概率.

【例54】(2007 年全国 II 卷文)从某批产品中,有放回地抽取产品二次,每次随机抽取

假设事件 A : “取出的 2 件产品中至多有 1 件是二等品”的概率 P( A) ? 0.96 . 1 件,
⑴ 求从该批产品中任取 1 件是二等品的概率 p ; ⑵ 若该批产品共 100 件,从中任意抽取 2 件,求事件 B :“取出的 2 件产品中至少 有一件二等品”的概率 P ( B ) .

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【例55】(2009 全国卷Ⅰ文) 甲、 乙二人进行一次围棋比赛, 约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利, 比赛结束. 假 设在一局中, 甲获胜的概率为 0.6 , 乙获胜的概率为 0.4 , 各局比赛结果相互独立. 已 知前 2 局中,甲、乙各胜 1 局. ⑴ 求再赛 2 局结束这次比赛的概率; ⑵ 求甲获得这次比赛胜利的概率.

【例56】为防止某突发事件发生,有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用, 单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率(记为 P )和所需 费用如下表: 预防措施 甲 乙 丙 丁 0.9 0.8 0.7 0.6 P 费用(万元) 90 60 30 10 预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施, 在总费用不超过 120 万元的前提下,请确定一个预防方案,使得此突发事件不发生的概率最大.

【例57】某售货员负责在甲、乙、丙三个柜面上售货.如果在某一小时内各柜面不需要
0.8 , 0.7 . 售货员照顾的概率分别为 0.9 , 假定各个柜面是否需要照顾相互之间没

有影响,求在这个小时内: ⑴只有丙柜面需要售货员照顾的概率; ⑵三个柜面恰好有一个需要售货员照顾的概率; ⑶三个柜面至少有一个需要售货员照顾的概率.

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【例58】(2006 年北京卷)某公司招聘员工,指定三门考试课程,有两种考试方案. 方案一:考试三门课程,至少有两门及格为考试通过; 方案二:在三门课程中,随机选取两门,这两门都及格为考试通过. 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是 a ,b ,c , 且三门课程考试是 否及格相互之间没有影响. ⑴ 分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率; ⑵ 试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小. (说明理由)

【例59】假设飞机的每一台发动机在飞行中的故障率都是 1 ? P ,且各发动机互不影

响.如果至少 50% 的发动机能正常运行,飞机就可以顺利地飞行.问对于多大 的 P 而言,四发动机飞机比二发动机飞机更安全?

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【例60】(2009 陕西卷文) 1,2 的概率分别为 0.4 , 椐统计,某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为 0 , 0.5 , 0.1 ⑴ 求该企业在一个月内被消费者投诉不超过 1 次的概率; ⑵ 假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共 被消费者投诉 2 次的概率.

【例61】某项选拔共有四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考

核,否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率
1 4 2 3 分别为 、 、 、 ,且各轮问题能否正确回答互不影响. 5 5 5 5 ⑴ 求该选手进入第四轮才被淘汰的概率; ⑵ 求该选手至多进入第三轮考核的概率.

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题型四 条件概率
【例62】设某批产品有 4% 是废品,而合格品中的 75% 是一等品,任取一件产品是一等

品的概率是 _____ .

【例63】某地区气象台统计,该地区下雨的概率是

4 2 ,刮风的概率是 ,既刮风又下 15 15

雨的概率是

1 ,设 A ? “刮风”, B ? “下雨”,求 P( B A) , P( A B) . 10

【例64】(09 上海春)把一枚硬币抛掷两次,事件 A ? “第一次出现正面”,事件 B ? “第

二次出现反面”,则 P( B A) ? _____ .

【例65】(2010 宣武二模) 抛掷一枚质地均匀的骰子,所得点数的样本空间为 S ? ?1, 2 , 3, 4 , 5 , 6 ? .令事件
A ? ?2 , 3, 5? ,事件 B ? ?1, 2 , 4 , 5, 6? ,则 P ? A B ? 的值为(

) D.

A.

3 5

B.

1 2

C.

2 5

1 5

Go the distance

【例66】设某种动物活到 20 岁以上的概率为 0.7 ,活到 25 岁以上的概率为 0.4 ,求现龄

为 20 岁的这种动物能活到 25 岁以上的概率.

【例67】抛掷一颗骰子两次,在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下,则第二次掷

得向上一面点数也是偶数的概率为



【例68】掷两枚均匀的骰子,记 A ? “点数不同”,B ? “至少有一个是 6 点”,求 P(A | B) 与
P( B | A) .


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