福建省霞浦第一中学2018_2019学年高二数学上学期第一次月考试题理(A卷)(竞赛班)

霞浦一中 2018-2019 学年第一学期高二年第一次月考 数学(理科)试卷(竞)
(考试时间:120 分钟; 满分:150 分) 说明:试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分,请将答案填写在答卷上,考试结束后只交答案卷. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.等差数列 ?an ? 的前 项和为 S n ,若 a4 ? 5, a7 ? 8, 则S10 ? ( ) A.65 D.68 2.若集合 A ? x | 2 x ? 1|? 3 , B ? x (2 x ? 1)( x ? 3) ? 0 , 则 A∩B 是 ( ) B. x 2 ? x ? 3 B.66 C.67

?

?

?

?

1 ? A. ? ? x ?1 ? x ? ? 或2 ? x ? 3? 2 ? ?

?

?

1? C. ? ? x ?1 ? x ? ? ? ? 2?

? 1 ? D. ? x ? ? x ? 2? ? 2 ?

3. 已知 a ? 0,b ? ?1 ,则下列不等式成立的是 ( ) A. a ?

a a ? b b2

B.
2

a a ? ?a b2 b

C.

a a ? ?a b b2

D.

a a ?a? 2 b b

?a?b? 4.“ b ? a ”是“ ? ? ? ab ”成立的 ? 2 ?
( ) B.既不充分也不必要条件 C.必要不充分条件 D.充分不必要条

A.充要条件 件 5. 已知椭圆 的 ( ) A.10

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 4) 的两个焦点为 F1 、F2 , 且 | F1F2 |? 6 , 弦 AB 过点 F1 , 则△ ABF 2 a 2 16
周 长 为

B.12

C.1 6

D.20

6. 在 ΔABC 中, ( ) A.正三角形

1 ? cos A c ? b (a, b, c 分别为角 A, B, C 的对应边),则 ΔABC 的形状为 = 2 2c

B.等腰直角三角形

C.直角三角形

D.等腰三角形

7.下列选项中说法正确的是 ( )

A.若 am2 ? bm2 ,则 a ? b B.命题“ p ? q 为真”是命题“ p ? q 为真” 的必要条件 C.若向量 a , b 满足 a ? b ? 0 ,则 a 与 b 的夹角为钝角 D. “ ?x ? R, x ? x ? 0 ”的否定是“ ?x0 ? R, x0 ? x0 ? 0 ”
2

2

8. 已知变量 x , y 满足约束条件 ? 束条件下的最小值为 2,则 ( ) A.25 B.26

? x ? y ? 1 ? 0, 若目标函数 z ? ax ? 4by(a ? 0, b ? 0) 在该约 ?2 x ? y ? 3 ? 0,

1 8 ? 的最小值为 a b

C.27

D.不存在

M 总在椭圆内部,则椭圆离心 9. 已知 F1 、 F2 是椭圆的两个焦点,满足 MF 1 ? MF 2 ? 0 的点
率 ( ) B. (0, ] 的 取 值 范 围 是

A. (0,1)

1 2

C. (0,

2 ) 2

D. [

2 ,1) 2

1 ? 2 an , 0 ? a n ? ? ? 2 ,若 a ? 3 ,则 a 10.数列 {an } 满足 an ?1 ? ? 1 2017 ? 5 ? 2a ? 1, 1 ? a ? 1 n n ? 2 ?
( A. )

4 5

B.

3 5

C.

2 5

D.

1 5

11. 已知 ( )

a 2 ? 2a ? 2 4 ? 2 ? 1对于任意的 x ? ?1, ?? ? 恒成立,则 x x ?x

A.a 的最大值为 2

B.a 的最大值为 4

C.a 的最小值为 ?3

D.a 的最小值为 ?4

12.已知数列 ?an ?,?bn ? 满足 a1 ? b1 ? 1, an?1 ? an ? 2bn , bn?1 ? an ? bn ,则下列结论正确的是 ( ) A.只有有限个正整数 n 使得 an ? 2bn C.数列 an ? 2bn 是递增数列 B.只有有限个正整数 n 使得 an ? 2bn D.数列 ?

?

?

? ? ? an ? ? 2 ? 是递减数列 ? ? ? bn ?

第Ⅱ卷(非选择题) 二.填空题 (本大题共 4 小题,共 20 分)

13.“若 a ? M

P ,则 a ? M 或 a ? P ”的逆否命题是

.

14.已知 a,b,c,d 成等比数列,且曲线 y ? x2 ? 2x ? 3 的顶点是 (b,c) ,则 ad =

x2 y2 ? ? 1 上的点到直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 的 最小距离是 15.椭圆 16 4

D

.
A

C

16. 如图,在四边形 ABCD 中, AD ? 4 , AB ? 5 , AD ? CD ,
9 ? cos ?ADB ? , ?DCB ? 135 ,则 BC ? 16
B



三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。)
2 17.(本题满分 10 分)已知命题 p : 函数 f ? x ? ? x ? a ? x 在 ? 命题 q : ? a ? 2, ?? 上单调递增;

?

2 a 关于 x 的方程 x ? 4 x ? 8 ? 0 有解.若 p ? q 为真命题, p ? q 为假命题,求实数 a 的取值范

围.

18.(本题满分 12 分)在 ?ABC 中 a, b, c ,分别是角 A, B, C 的对边,且

2cosAcosC ? tanAtanC ?1? ? 1 .
(I)求 B 的大小;

(II)若 D 为 AC 的中点,且 BD ? 1 ,求 ?ABC 面积最大值.

19.(本题满分 12 分)已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ?1 ? (I)证明数列 ?

2n ? 1 an n ? N * . 2n ? 1

?

?

? an ? ? 是等比数列,并求数列 ?an ? 的通项公式; ? 2n ? 1 ?

(II)求证:

1 1 1 1 ? ? ???+ ? . a1a2 a2 a3 an an ?1 2

20.(本题满分 12 分)已知 圆 F 定点 F2 (1,0) , 动圆 M 过点 F2 且与圆 F1 相 1 : ( x ? 1) ? y ? 16 ,
2 2

内切. (Ⅰ)求点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)若过原点的直线 l 与(Ⅰ)中的曲线 C 交于 A, B 两点,且 ?ABF1 的面积为 方程.

3 ,求直线 l 的 2

21. (本小题满分 12 分) 如图,岛 A , B 相距 5 7 海里,在 B 岛的北偏东 450 且距 B 岛 10 3 海里的 C 处,有一客轮沿 直线方向匀速开往 A 岛,半小时后测得客轮到达 B 岛的北偏东 150 且距 B 岛 10 海里的 D 处, 同时 B 岛上的小陈坐小艇以 10 7 海里/小时的速度沿直线方向前往 A 岛. (Ⅰ)求客轮航行的速度;

(Ⅱ)小陈能否先于客轮到达 A 岛?

22.(本题满分 12 分)设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 4Sn ? a n?1 ? 4n ?1,
2

且 a1 ? 1 ,公比大于 1 的等比数列 ?bn ? 满足 b2 ? 3 , b1 ? b3 ? 10 . (1)求证数列 ?an ? 是等差数列,并求其通项公式; (2)若 cn ?

an ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn ; 3bn
4 t ? 2 对一切正整数 n 恒成立,求实数 t 的取值范围. 3

2 (3)在(2)的条件下,若 cn ? t ?

霞浦一中 2018-2019 学年第一学期高二年第一次月考 参考答案 一.选择题: (每小题 5 分,计 60 分) 1. A 2. B 3. C 4. D 5. D 6. C 7. B 8. A 9.C 10. B 11. C 12. D

二.填空题:(每小题 5 分,计 20 分) 13. 若 a ? M 且 a ? P ,则 a ? M 三.解答题:

P

14. 2

15.0 16.

27 2 8

17.解:由已知得 f ? x ? ? ?

? 2 x ? a, x ? a , ? f ? x ? 在 ? a, ?? ? 上单调递增. ? a, x ? a

………2 分

2 若 p 为真命题,则 ? ? a ? 2, ??

?

? ?a, ??? , a 2 ? 2 ? a , a ? ?1 或 a ? 2 ; ………4 分
2 . 3
……………………6 分 ……………………7 分

若 q 为真命题, ? ? 42 ? 4 ? 8a ? 0 , 8a ? 4 , a ?

p ? q 为真命题, p ? q 为假命题, ? p 、 q 一真一假,

?a ? ?1或a ? 2 ? 当 p 真 q 假时, ? ,即 a ? 2 ; 2 a ? ? 3 ? ??1 ? a ? 2 2 ? 当 p 假 q 真时, ? ,即 ?1 ? a ? . 2 3 a? ? 3 ?
故 a ? ? ?1, ? 3

……………………8 分

…………………… 9 分

? ?

2? ?

?2, ?? ? .

……………………10 分

18.解: (I)由 2cosAcosC ? tanAtanC ?1? ? 1 ,得 2cosAcosC ?

? sinAsinC ? ? 1? ? 1 , ? cosAcosC ?
……………………2 分 ……………………4 分

?2 ?sinAsinC ? cosAcosC ? ? 1, ? cos ? A ? C ? ? ? ,
? cosB ? 1 ? , 又 0 ? B ? ? ,? B ? . 2 3
2 2

1 2

b ?b? (II)在 ?ABD 中,由余弦定理得 c ? 1 ? ? ? ? 2 ?1? cos?ADB . ……………… 6 分 2 ?2?
在 ?CBD 中,由余弦定理得 a 2 ? 1 ? ? ? ? 2 ?1? cos?CDB ,

?b? ?2?

2

b 2

…………………… 8 分

二式相加得 a ? c ? 2 ?
2 2

b2 a 2 ? c 2 ? 2accosB ? 2? , 2 2

……………………9 分

2 2 整理得 a ? c ? 4 ? ac ,

……………………10 分

a2 ? c2 ? 2ac, ? ac ?
所以 ?ABC 的面积 S ?

4 , 3
……………………11 分

1 1 4 3 3 , acsinB ? ? ? ? 2 2 3 2 3

当且仅当 a ? c ?

2 3 时“ ? ”成立. 3 3 . 3
……………………12 分

? ?ABC 的面积的最大值为
19.解: (I)由题设知

a n ?1 an a ? ,且 1 ? 1 ? 0 2n ? 1 2n ? 1 1

……………………2 分 ……………………4 分 ……………………6 分

? 数列 {
?

an } 是首项为 1 ,公比为 1 的等比数列, 2n ? 1

an ? 1?1n ?1 ? 1? an ? 2n ? 1; 2n ? 1

(II)

1 1 1? 1 1 ? = ? ? ? ? an an?1 ? 2n ? 1?? 2n ? 1? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

……………………8 分

?

1 1 1 1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ? 1 ? ? ???+ = ??1 ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?? a1a2 a2 a3 an an ?1 2 ?? 3 ? ? 3 5 ? ? 2n ? 1 2 n ? 1 ? ? 1? 1 ? 1 1 1 ? ?1 ? ? . ?? ? 2 ? 2n ? 1 ? 2 4n ? 2 2

………12 分

20. 解: (Ⅰ)由题意可知: |MF2|为动圆 M 的半径. 根据两圆相内切的性质得: 4-|MF2|=|MF1|, 即|MF1|+|MF2|=4.所以点 M 的轨迹 C 是以 F1、F2 为左、右焦点的椭圆,…………3 分 设其方程为 2+ 2=1(a>b>0).则 2a=4 ,c=1,故 b =a -c =3, 所以点 M 的轨迹 C 的方程为 + =1. …………6 分 4 3 (Ⅱ)当直线 l 为 y 轴时,S△ABF1= 3,不合题意.故直线 l 的斜率存在,…………7 分 设直线 l:y=kx,A(x1,y1),y1>0,则 B( -x1,-y1), 由△ABF1 的面积为 3 1 1 3 3 知: y1+ y1= ,所以 y1= ,x1=± 3,…………10 分 2 2 2 2 2

x2 y2 a b

2

2

2

x2 y2

即点 A 的坐标为( 3,

3 3 1 )或(- 3, ).直线 l 的斜率为± , 2 2 2 故所求直线 l 的方程为 x±2y=0. ………………12 分

21. (本小题满分 12 分) 解:如图,根据题意得: BC ? 10 3 , BD ? 10 , AB ? 5 7 ,
?CBD ? 450 ? 150 ? 300 .…………………1 分

(Ⅰ)在 ?BCD 中, CD ? BC 2 ? BD2 ? 2BC ? BD ? cos ?CBD
? (10 3) 2 ? 102 ? 2 ?10 3 ?10 ? 3 2

? 10 .……………………4 分

所以轮船航行的速度 V ? 10? 2 ? 20 (海里/小时). ……………………6 分 (Ⅱ)因为 CD ? BD ,所以 ?C ? ?CBD ? 300 ,所以 ?ADB ? ?C ? ?CBD ? 600 . 在 ?ABD 中, AB 2 ? AD 2 ? BD 2 ? 2 AD ? BD ? cos ?ADB , 整理得: AD 2 ? 10 AD ? 75 ? 0 , 解得 AD ? 15 或 AD ? ?5 (不合舍去). …………………8 分 所以轮船从 D 处到 A 岛所用的时间 t1 ? 小陈到 A 岛所用的时间 t2 ? 所以 t2 ? t1 . 所以小陈能先于轮船到达 A 岛. …………………12 分 22.解:(1)当 即 ∴当 又 则 时, , 是首项 ,公差 是公差 时, ,∵ 的等差数列, , 的等差数列, . ……………………4 分 ……………………5 分 ……………………3 分 ,∴ ,∴ .……………………2 分 ,
5 7 10 7 ?

15 3 ? 小时,…………………9 分 20 4

1 小时. …………………10 分 2

所以数列

的通项公式为

(2)由题意得 bn ? 3n?1 , cn ?

an 2n ? 1 ? n ; 3bn 3

则前 n 项和





相减可得



化简可得前 n 项和



……………………8 分

2 (3) cn ? t ?

4 t ? 2 对一切正整数 n 恒成立, 3



cn?1 ? cn ?
1 , 3
……………………10 分

可得数列 ?cn ? 单调递减,即有最大值为 c1 ? 则

1 2 4 7 ? t ? t ? 2 解得 t ? 1 或 t ? ? . 3 3 3

即实数 t 的取值范围为 ? ??, ?

? ?

7 ???1, ?? ? ?. 3 ?

……………………12 分


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