18版高中数学第三单元导数及其应用3.2.3导数的四则运算法则教学案新人教B版选修1_1

3.2.3 学习目标 导数的四则运算法则 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程,能够综 合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数. 知识点一 和、差的导数 1 已知 f(x)=x,g(x)= . x 思考 1 f(x),g(x)的导数分别是什么? 1 1 思考 2 试求 Q(x)=x+ ,H(x)=x- 的导数. x x 思考 3 Q(x),H(x)的导数与 f(x),g(x)的导数有何关系? 梳理 和、差的导数 (f(x)±g(x))′=f′(x)±g′(x). 知识点二 积、商的导数 已知 f(x)=x ,g(x)=sin x,φ (x)=3. 思考 1 试求 f′(x),g′(x),φ ′(x). 2 1 sin x 2 思考 2 求 H(x)=x sin x,M(x)= 2 ,Q(x)=3sin x 的导数. x 梳理 (1)积的导数 ①[f(x)g(x)]′=________________________. ②[Cf(x)]′=________. (2)商的导数 [ f x ]′=________________(g(x)≠0). g x f x f ]′≠ g x g x . x (3)注意[f(x)g(x)]′≠f′(x)g′(x),[ 类型一 导数运算法则的应用 例 1 求下列函数的导数: 1 3 2 x (1)f(x)= ax +bx +c;(2)f(x)=xln x+2 ; 3 (3)f(x)= x-1 2 x ;(4)f(x)=x ·e . x+1 反思与感悟 (1)解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分. (2)对一个函数求导时,要紧扣导数运算法则,联系基本初等函数的导数公式,当不易直接应 用导数公式时,应先对函数进行化简(恒等变换),然后求导.这样可以减少运算量,优化解 题过程. (3)利用导数法则求导的原则是尽可能化为和、 差, 利用和、 差的求导法则求导, 尽量少用积、 商的求导法则求导. 跟踪训练 1 求下列函数的导数: 2 (1)f(x)=xtan x; (2)f(x)=2-2sin ; 2 (3)f(x)=(x+1)(x+3)(x+5); sin x (4)f(x)= . 1+sin x 2 x 类型二 导数运算法则的综合应用 命题角度 1 利用导数求函数解析式 ln x 例 2 (1)已知函数 f(x)= +2xf′(1),求 f(x); x (2)设 f(x)=(ax+b)sin x+(cx+d)cos x,试确定常数 a,b,c,d,使得 f′(x)=xcos x. 反思与感悟 (1)中确定函数 f(x)的解析式,需要求出 f′(1),注意 f′(1)是常数.(2)中 利用待定系数法可确定 a,b,c,d 的值.完成(1)(2)问的前提是熟练应用导数的运算法则. 跟踪训练 2 已知函数 f(x)的导函数为 f′(x),且满足 f(x)=2e f′(1)+3ln x,则 f′(1) 等于( A.-3 C. 2 1-2e ) B.2e D. 3 1-2e x 命题角度 2 与切线有关的问题 例 3 已知函数 f(x)=ax +bx+3(a≠0),其导函数 f′(x)=2x-8. (1)求 a,b 的值; (2)设函数 g(x)=e sin x+f(x),求曲线 g(x)在 x=0 处的切线方程. x 2 反思与感悟 (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素.其他的条 件可以进行恒等变换,从而转化为这三个要素间的关系. (2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步, 也是解题的关键, 务必做到准确. 3 (3)分清已知点是否在曲线上,若不在曲线上,则要设出切点,这是解题时的易错点. 跟踪训练 3 (1)设曲线 y= ________. (2)设函数 f(x)=g(x)+x ,曲线 y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为 y=2x+1,则曲线 2 2-cos x π 在点( ,2)处的切线与直线 x+ay+1=0 垂直,则 a= sin x 2 y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为________. 1.下列结论不正确的是( A.若 y=3,则 y′=0 ) B.若 f(x)=3x+1,则 f′(1)=3 C.若 y=- x+x,则 y′=- 1 2 x +1 D.若 y=sin x+cos x,则 y′=cos x+sin x 2.设 y=-2e sin x,则 y′等于( A.-2e cos x C.2e sin x x x x x ) B.-2e sin x D.-2e (sin x+cos x) x x e 2k 3.对于函数 f(x)= 2+ln x- ,若 f′(1)=1,则 k 等于( x x ) A. e 2 B. e 3 e C.- 2 e D.- 3 ) sin x 1 ?π ? 4.曲线 y= - 在点 M? ,0?处的切线的斜率为( sin x+cos x 2 ?4 ? 1 A.- 2 C.- 2 2 B. D. 1 2 2 2 1 3 a 2 5.设函数 f(x)= x - x +bx+c,其中 a>0,曲线 y=f(x)在点 P(0,f(0))处的切线方程 3 2 为 y=1,确定 b、c 的值. 求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商,再利用运算法则求导数.在 求导过程中,要仔细分析出函数解析式的结构特征,根据导数运算法则,联系基本函数的导 数公式. 对于不具备导数运算法则结构形式的要适当恒等变形, 转化为较易求导的结构形式, 4 再求导数,进而解决一些与切线斜率、瞬时速度等有关的问题. 5 答案精析 问题导学 知识点一 1 思考 1 f′(x)=1,g′(x)=- 2. x 思考 2 ∵Δ y=(x+Δ x)+ =Δ

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