【最新】2018-2019学年度高中数学北师大版数学选修2-2教学案:第一章2综合法与分析法

§ 2 综合法与分析法 [对应学生用书P5] 综 合 法 阅读下面的例题. 例:若实数 a,b 满足 a+b=2,证明:2a+2b≥4. 证明:因为 a+b=2,所以 2a+2b≥2 2a· 2b=2 故 2a+2b≥4 成立. 问题 1:本题利用什么公式? 提示:基本不等式. 问题 2:本题证明顺序是什么? 提示:从已知到结论. 2a+b=2 22=4, 综合法 (1)含义:从命题的条件出发,利用定义、公理、定理及运算法则,通过演绎推理,一 步一步地接近要证明的结论,直到完成命题的证明的思维方法,称为综合法. (2)思路:综合法的基本思路是“由因导果”. (3)模式:综合法可以用以下的框图表示: P?Q1 → Q1?Q2 → Q2?Q3 →…→ Qn?Q 其中 P 为条件,Q 为结论. 分 析 法 你们看过侦探小说《福尔摩斯探案集》吗?尤其是福尔摩斯在探案中的推理,给人印 象太深刻了.有时,他先假定一个结论成立,然后逐步寻找这个结论成立的一个充分条件, 直到找到一个明显的证据. 问题 1:他的推理如何入手? 提示:从结论成立入手. 问题 2:他又是如何分析的? 提示:逐步探寻每一结论成立的充分条件. 问题 3:这种分析问题方法在数学问题证明中可以借鉴吗? 提示:可以. 分析法 (1)含义:从求证的结论出发,一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件,直到 归结为这个命题的条件,或者归结为定义、公理、定理等.这种证明问题的思维方法称为 分析法. (2)思路:分析法的基本思路是“执果索因”. (3)模式:若用 Q 表示要证明的结论,则分析法可以用如下的框图来表示: Q?P1 → P1?P2 → P2?P3 →…→得到一个明显成立的条件 1.综合法是从“已知”看“可知”逐步推向未知,由因导果通过逐步推理寻找问题成 立的必要条件.它的证明格式为:因为×××,所以×××,所以×××……所以××× 成立. 2.分析法证明问题时,是从“未知”看“需知”,执果索因逐步靠拢“已知”,通过 逐步探索,寻找问题成立的充分条件.它的证明格式:要证×××,只需证×××,只需 证×××……因为×××成立,所以×××成立. [对应学生用书P6] 综合法的应用 [例 1] 已知 a,b 是正数,且 a+b=1, 1 1 求证:a+b≥4. [思路点拨] 由已知条件出发,结合基本不等式,即可得出结论. [精解详析] 法一:∵a,b 为正数,且 a+b=1, ∴a+b≥2 ab, 1 ∴ ab≤ , 2 1 1 a+b 1 ∴a+b= ab =ab≥4. 法二:∵a,b 为正数, 1 1 ∴a+b≥2 ab>0, + ≥2 a b 1 1? ∴(a+b)? ?a+b?≥4, 又 a+b=1, 1 1 ∴ + ≥4. a b 法三:∵a,b 为正数, 1 1 a+b a+b ∴ + = + a b a b b a =1+ + +1 a b ≥2+2 ab b· a=4, 1 >0, ab 当且仅当 a=b 时,取“=”号. [一点通] 从“已知”看“可知”,逐步推向“未知”,由因导果,其逐步推理,实际 上是寻找每一步的必要条件, 如何找到“切入点”和有效的推理途径是利用综合法证明问题 的关键. 1.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 试证明 A,B,C 成等差数列. 1 1 3 证明:∵ + = , a+b b+c a+b+c a+b+c a+b+c ∴ + =3, a+b b+c c a ∴ + =1, a+b b+c ∴c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c), 1 1 3 + = , a+b b+c a+b+c ∴b2=a2+c2-ac. 在△ABC 中,由余弦定理,得 a2+c2-b2 ac 1 cos B= = = , 2ac 2ac 2 ∵0° <B<180° ,∴B=60° . ∴A+C=2B=120° , ∴A,B,C 成等差数列. 2.已知函数 f(x)=log2(x+2),a,b,c 是两两不相等的正数,且 a,b,c 成等比数列, 试判断 f(a)+f(c)与 2f(b)的大小关系,并证明你的结论. 解:f(a)+f(c)>2f(b). 证明如下:因为 a,b,c 是两两不相等的正数, 所以 a+c>2 ac. 因为 b2=ac,所以 ac+2(a+c)>b2+4b, 即 ac+2(a+c)+4>b2+4b+4, 从而(a+2)(c+2)>(b+2)2. 因为 f(x)=log2(x+2)是增函数, 所以 log2(a+2)(c+2)>log2(b+2)2 即 log2(a+2)+log2(c+2)>2log2(b+2). 故 f(a)+f(c)>2f(b). 分析法的应用 [例 2] 当 a+b>0 时,求证: a2+b2≥ 2 (a+b). 2 [思路点拨] 条件和结论的联系不明确,考虑用分析法证明, 将要证明的不等式一步步 转化为较简单的不等式. [精解详析] 要证 只需证( a2+b2)2≥ a2+b2≥ 2 (a+b), 2 ? 2?a+b??2, ?2 ? 1 即证 a2+b2≥ (a2+b2+2ab),即证 a2+b2≥2ab. 2 因为 a2+b2≥2ab 对一切实数恒成立, 所以 a2+b2≥ 2 (a+b)成立. 2 [一点通] 分析法是“执果索因”,一步步寻找结论成立的充分条件. 它是从求证的结 论出发,逆着分析,由未知想需知,由需知逐渐地靠近已知,这种证明的方法关键在于需保 证分析过程的每一步都是可以逆推的,它的常见书写表达式是“要证……,只需证……”. 3.求证: 3+ 6< 4+ 5. 证明:欲证不等式 3+ 6< 4+ 5成立, 只需证 3+2 18+6<4+2 20+5 成立, 即证 18< 20成立, 即证 18<20 成立. 由于 18<20 成立,故 3+ 6< 4+ 5. 4.若

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