广东省汕头市金山中学2014届高三上学期开学摸底考试数学文试题

广东省汕头市金山中学 2014 届高三上学期开学摸底考试 数学文试题
一、选择题 (本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.) ⒈已知全集 U ? R , 集合 A ? x | ?2 ≤ x ≤ 3 ,B ? ? x | x ? ?1或x ? 4? , 那么集合 A ? (CU B ) 等 于( ) A

?

?

[?1,3]
2

B

? x | x ≤ 3或x ≥ 4?
B. 2

C. [?2,?1)

D. [?2,4)

⒉抛物线 y ? 8 x 的焦点到准线的距离是 A. 1 ⒊若 z ? C.4 D.8

3 ( i 表示虚数单位),则复数 z 在复平面内对应的点位于( ) 1 ? 2i
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 )

A.第一象限

? ? ? ? ⒋已知向量 a ? ( x,1) , b ? (3, 6) ,且 a ? b ,则实数 x 的值为 (
A.

1 2

B. 2

C. ? 2

D. ?

1 2

?x ? y ? 1 ? ⒌已知变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 . 则 z=x+2y 的最小值为 ?x ?1 ? 0 ?
A.3 B.1 C.-5

1 ⒍在区间 ? 0,1? 上随机取一个数 x,则事件“ cos ) ? ”发生的概率为( 2 2 2 2 1 1 A. B. C. D. 3 ? 2 3 7.如图是一正方体被过棱的中点 M、N 和顶点 A、D、 C1 截去两个角后所得的几何体,则该几何体
的主视图(或称正视图)为( )

?x

D.-6

⒏执行如图 2 所示的程序图,若输入 n 的值为 6, 则输出 s 的值为 A.105 B.16 C.15 D.1

⒐定义在 R 上的偶函数 f (x) 满足 f (? x) ? f (2 ? x) ,且在 [?1,0] 上单调递增,设 a ? f (3) ,

1 b ? f ( ) , c ? f (2) ,则 a, b, c 大小关系是( 2
A. a ? b ? c B. a ? c ? b

) D. c ? b ? a

C. b ? c ? a

⒑集合 S ? {0,1,2,3,4,5} , A 是 S 的一个子集,当 x ? A 时,若有 x ? 1? A ,且 x ? 1? A ,则称 x 为 A 的一个“孤立元素”,那么 S 中无“孤立元素”的 4 个元素的子集 A 的个数是 A.5 B. 6 C.7 D.8

二.填空题 (本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) (一)必做题(11-13 题) ⒒共有 400 辆汽车通过某一段公路时的速度如右图所示, 则速度在 [50,70) 的汽车大约有 _____辆.

⒓已知等比数列{ an }中,各项都是正数,且 3a1 , ⒔已知函数 f ( x) ?

a 1 a3 ,2a 2 成等差数列,则 7 ? a5 2

x 2 ? ax ? a ? lg( x ? 1) 的定义域为 (1, ??) ,则实数 a 的取值范围为

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) ⒕(几何证明选讲选做题)

AB 是圆 O 的直径, EF 切圆 O 于 C , AD ? EF 于 D , AD ? 2 , AB ? 6 ,则 AC 的长为
⒖(坐标系与参数方程选做题) 极坐标方程分别是 ? ? cos ? 和 ? ? sin ? 的两个圆的圆心距是 . .

三﹑解答题(本大题共6小题,共80分) ⒗(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2sin( x ? (1)求 f (0) 的值; (2)设 ? ? ?0,

1 3

?
6

), x? R .

? 10 6 ? ?? ? ? ? , ? ? ?? ,0? , f (3? ? ) ? , f (3? ? 2? ) ? ,求 cos?? ? ? ? 的值. ? 2 13 5 ? 2? ? 2 ?

⒘(本小题满分 12 分)已知 m ? 0 , p : ? x ? 1?? x ? 5 ? ? 0 , q : 1 ? m ? x ? 1 ? m . ⑴ 若 p 是 q 的充分条件,求实数 m 的取值范围; ⑵若 m ? 5 , “ p 或 q ”为真命题,“ p 且 q ”为假命题,求实数 x 的取值范围.

⒙(本小题满分 14 分)已知数列

?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ?

an (n ? N ? ) . 2an ? 1

(1)求证:数列 {

1 } 为等差数列; an

(2)设

3 2 1 ? ? 1 ,数列 {bn bn ? 2 } 的前 n 项和 Tn ,求证: Tn ? . 4 bn an

⒚(本小题满分 14 分)如图,已知 DE⊥平面 ACD , DE / / AB , △ ACD 是正三角形, AD = DE ? 2 AB=2 ,且 F 是 CD 的中点. ⑴求证:AF //平面 BCE ; ⑵求证:平面 BCE ⊥平面 CDE . ⑶求 VC ? ABF : VC ? ABED 的值.

⒛(本小题满分 14 分)如图,设点 F1 (?c,0) 、 F2 (c,0) 分别是椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1(a ? 1) 的左、 a2

右焦点, P 为椭圆 C 上位于 x 轴上方的任意一点,且 ?PF1 F2 的面积最大值为 1. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l1 : y ? kx ? m, l2 : y ? kx ? n ,若 l1 、 l2 均与椭圆 C 相切,证明: m ? n ? 0 ; (3)在(2)的条件下,试探究在 x 轴上是否存在定点 B ,点 B 到 l1 , l2 的距离之积恒为 1?若存在, 请求出点 B 坐标;若不存在,请说明理由.

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ?

?? x 3 ? x 2 ? bx ? c, ( x ? 1) ?a ln x, ( x ? 1)

的图象过点 (?1,2) ,且在点

(?1, f (?1)) 处的切线与直线 x ? 5 y ? 1 ? 0 垂直.

⑴求实数 b, c 的值; ⑵求 f (x) 在 [?1, e](e 为自然对数的底数)上的最大值; ⑶对任意给定的正实数 a ,曲线 y ? f (x) 上是否存在两点 P, Q ,使得 ?POQ 是以 O 为直角顶点的 直角三角形,且此三角形斜边中点在 y 轴上?

高三摸底考文科数学答题卷
高三( )班 姓名 学号 评分

一、选择题(本大题共 10 道小题,每小题 5 分,满分 50 分。在每小题给出的四个选项中有且只有 一个是符合题目要求的) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 二、填空题:本大题共四小题,每小题 5 分,满分 20 分。其中 14-15 题是选做题,考生只能选做一 题,两题全答的,只计算 14 题得分. (一)必做题(11~13 题) ⒒ ⒓ ⒔
[]

(二)选做题(14~ 15 题,考生只能从中选做一题) 14. 15. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ⒗(本小题满分 12 分)

17.(本小题满分 12 分)

高三(

)班

姓名

学号

⒙(本小题满分 14 分)

⒚(本小题满分 14 分)

20、21 题在背面作答

⒛本小题满分 14 分)

21.(本小题满分 14 分)

一、选择题 (本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.)

二.填空题 (本大题共 4 小题.每小题 5 分,满分 20 分.)

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

⒘解: p : ?1 ? x ? 5 , ⑴∵ p 是 q 的充分条件, ∴ ? ?1,5? 是 ?1 ? m,1 ? m ? 的子集.
?m ? 0, ∴ ?1 ? m ? ?1 ,得 m ? 4 ,∴实数 m 的取值范围为 ? 4, ?? ? . ? ?1 ? m ? 5 ?

……2 分

……4 分 ……6 分

⑵当 m ? 5 时, q : ?4 ? x ? 6 依题意, p 与 q 一真一假,

……8 分

??1 ? x ? 5 ,得 x ? ? . p 真 q 假时,由 ? ? x ? ?4或x ? 6
? x ? ?1或x ? 5 ,得 ?4 ? x ? ?1或5< x ? 6 . p 假 q 真时,由 ? ??4 ? x ? 6
∴实数 m 的取值范围为 ? ?4, ?1? ? ? 5, 6? .

……10 分

……11 分 ……12 分

⒚(本小题满分 14 分) ⑴解:取 CE 中点 P,连结 FP、BP, ∵F 为 CD 的中点,∴FP//DE,且 FP= 又 AB//DE,且 AB=

1 DE. 2

????2 分

1 DE. 2

∴AB//FP,且 AB=FP,

∴ABPF 为平行四边形,∴AF//BP. 又∵AF ? 平面 BCE,BP ? 平面 BCE, ⑵∵△ACD 为正三角形,∴AF⊥CD. ∵DE⊥平面 ACD, AF ? 平面 ACD, ∴DE⊥AF 又 AF⊥CD,CD∩DE=D, ∴AF⊥平面 CDE. 又 BP//AF,∴BP⊥平面 CDE。 又∵BP ? 平面 BCE, ∴平面 BCE⊥平面 CDE. ⑶? DE // AB

∴AF//平面 BCE.

????4 分

????7 分 ????8 分 ????9 分

DE ? 平面ACD
∴AB 是三棱锥 B-ACF 的高, =

? AB⊥平面 ACD

VC ? ABF ? VB-ACF

1 1 1 1 ? 3 S ?ACF ? AB ? ? ? ? 2 ? 2 ? sin ?1 ? 3 3 2 2 3 6

? ? ? 11 分

取 AD 中点 Q,连结 CQ ∵DE⊥平面 ACD, DE ? 平面 ABED, ∴平面 ACD⊥平面 ABED, ∵△ACD 为正三角形,∴CQ⊥AD, 平面 ACD∩平面 ABED=AD CQ ? 平面 ACD, ∴CQ⊥平面 ABED,∴CQ 是四棱锥 C-ABED 的高 ????12 分 VC-ABED=

1 1 (1 ? 2) S梯形ABED ? CQ ? ? ?2? 3 ? 3 3 3 2
1 6

????13 分 ????14 分

故 VC ? ABF : VC ? ABED =


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