高中数学第三章变化率与导数3.2.1导数的概念课件2北师大版选修11_图文

平均变化率
函数 f (x) 在区间 [x0, x0 ? ?x] 上的平均变化率为

先求函数值的改变量 Δy = f(x0 + Δx) - f(x0 ).

再确定自变量的改变量 Δx

?y =f ?x0+?x?-f ?x0 ?

?x

?x

引例 王先生于近日接到一份交通违
规处罚单,原因是上月某周日在一限速 70km/h的路段超速行驶.王先生正在上 初中的儿子小明说 :“一定是警察叔叔 搞错了,那段路长120km,我们用了两 个小时,您当时还问我这段路我们的平 均速度呢!”

假设汽车的位移s与时间t的函数为s(t) ? t2

(位移s单位:m,时间t单位:s),求当

t=1s时汽车的速度.

问题1:你会求汽车在1≤ t ≤1+?t这段时间的平均速度吗?

先求函数值的增量 Δs = s(1 + Δx) - s(1).

? (1? ?t)2 ?12 ? 2 ?t+?t2

?s

? 2 ? ?t

v= ? 2 ? ?t

?t

问题2:如何求物体在t=1s时刻的瞬时速度?

lim(2 ? ?t)? 2
?x?0

导数的概念:

函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是

lim f (x0 ? Δx) ? f (x0 ) ? lim ? y

?x?0

?x

?x?0 ? x

称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ?(x0 )

或 y? |x?x0 , 即

f

?( x0

)

?

lim
?x?0

f (x0 ? Δx) ? ?x

f (x0 )

.

1. f ?(x0 )与 x0的值有关,不同的 x0其导数值一般也不相同. 2.导数的作用:导数可以描绘任何事物的瞬时变化率

例1:一条水管中流过的水量(y 单位:m3)
是时间(x 单位:s)的函数y=f (x)=3x.求函数

y=f (x)在x=2处的导数f '(2),并解释它的实
际意义. 解 : ?y ? f (2 ? ?x) ? f (2)
? 3?(2 ? ?x)-3? 2 ? 3?x

?y ? 3?x ? 3 ?x ?x

f ?(2) ? lim y ? lim 3 ? 3

x?0 x

x?0

归纳
求函数y=f(x)在点x0处的导数 的基本方法是:

(1)求函数的增量 Δy = f(x0 + Δx) - f(x0 ).

(2)求平均变化率 Δy = f(x 0 +Δx) - f(x0 ) .

Δx

Δx

(3)求得导数

f

?( x0

)

=

lim
Δx?0

Δy Δx

.

当堂训练

求函数y=3x2在x=1处的导数.
解 : ?y ? f (1? ?x) ? f (1)

? (3 1? ?x)2 - 3 ? 6?x ? 3(?x)2

?y ? 6?x ? 3(?x)2 ? 6 ? 3?x

?x

?x

f ?(1) ? lim y ? lim (6 ? 3 x) ? 6

x x?0

x?0

例2 一名食品加工厂的工人上班后开始 连续工作,生产的食品量y(单位:kg)是 其工作时间x (单位:h)的函数y=f(x) . 假 设函数y=f(x) 在x=1和x=3处的导数分别 为 f ?(1)=4和f ?(3)=3.5 ,试解释它们的 实际意义.

想一想 你能举出生活中与导数(即瞬
时变化率)有关的例子吗?

限时训练
1.已知函数f (x) ? 2x ?1,则f '(0) ? _2__
2.已知f (x) ?1? x,则lim f (5 ? ?x) ? f (5)的值是 _-_1______.
?x
3.设函数f (x) ? ax ? 4,若f '(2) ? 2,则a ? ( A )
A.2 B.-2 C.3 D不确定

4.一运动物体的运动方程为s(t) ? 3t ? t2
(位移单位:m,时间单位:s),则该物 体的初速度是 ___3_____ .

1、知识点: 导数的概念(瞬时变化率);

f ?(x0 )

?

lim
?x?0

?y ?x

?

lim
?x?0

f

( x0

? ?x) ? ?x

f

(x0 )

2、主要的思想方法:逼近.

?备选:已知一个物体运动的位移(m)与时间t (s)满足关系S(t)=-2t2+5t
位移S关于时间t的导数是速度v,那速度v关于时间t的 导数是什么?
求(1)求物体第5秒和第6秒的瞬时速度。 (2)求物体在t时刻的瞬时速度。 (3)求物体t时刻运动的加速度,并判断物体作 什么运动?


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