第二章 2.2 第一课时 等差数列的概念及通项公式_图文





等差数列

第一课时

等差数列的概念及通项公式

预习课本P36~38,思考并完成以下问题
(1)等差数列的定义是什么?如何判断一个数列是否为等差数列?

(2)等差数列的通项公式是什么?

(3)等差中项的定义是什么?

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[新知初探]
1.等差数列的定义 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于

同一个 常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做 _______
等差数列的 公差 ,通常用字母 d 表示.
[点睛] (1)“从第2项起”是指第1项前面没有项,无法与后

续条件中“与前一项的差”相吻合. (2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且 后项减去前项”,强调了:①作差的顺序;②这两项必须相邻. (3)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于 同一个常数,否则这个数列不能称为等差数列.
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2.等差中项 如果三个数 a,A,b 成等差数列,那么A 叫做 a 与 b 的等差 a+b 中项.这三个数满足的关系式是 A= . 2 3.等差数列的通项公式

已知等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d.
递推公式 an-an-1 =d(n≥2) ________ 通项公式

a1+(n-1)d (n∈N*) an=____________

[点睛] 由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d可得an= dn+(a1-d),如果设p=d,q=a1-d,那么an=pn+q,其中 p,q是常数.当p≠0时,an是关于n的一次函数;当p=0时, an=q,等差数列为常数列.
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[小试身手]
1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数 列是等差数列 (2)等差数列{an}的单调性与公差d有关 (3)根据等差数列的通项公式,可以求出数列中的任意一项 (4)若三个数a,b,c满足2b=a+c,则a,b,c一定是等差数列
常数不全相等,则这个数列就不是等差数列. (2)正确.当d>0时为递增数列;d=0时为常数列;d<0时为递减数列. (3)正确.只需将项数n代入即可求出数列中的任意一项. (4)正确.若a,b,c满足2b=a+c,即b-a=c-b,故a,b,c为等差 数列.
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( × ) (√ ) (√ )

(√ ) 解析:(1)错误.若这些常数都相等,则这个数列是等差数列;若这些

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2.已知等差数列{an}中,首项a1=4,公差d=-2,则通项公式 an等于 A.4-2n C.6-2n B.2n-4 D.2n-6 ( )

解析:选C ∵a1=4,d=-2, ∴an=4+(n-1)×(-2)=6-2n.

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3.在等差数列{an}中,若a1· a3=8,a2=3,则公差d=( A.1 C.± 1 B.-1 D.± 2
? ?a1?a1+2d?=8, 由已知得,? ? ?a1+d=3,

)

解析:选C

解得d=± 1.

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4.lg( 3+ 2)与lg( 3- 2)的等差中项是________.
解析:lg( 3+ 2)与lg( 3- 2)的等差中项为: lg? 3+ 2?+lg? 3- 2? lg[? 3+ 2?? 3- 2?] lg 1 = = =0. 2 2 2 答案:0

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等差数列的通项公式及应用
[典例] 在等差数列{an}中, (1)已知a5=-1,a8=2,求a1与d; (2)已知a1+a6=12,a4=7,求a9. [解] (1)∵a5=-1,a8=2, ? ? ?a1+4d=-1, ?a1=-5, ∴? 解得? ? ? ?a1+7d=2, ?d=1. (2)设数列{an}的公差为d. ? ? ?a1+a1+5d=12, ?a1=1, 由已知得,? 解得? ? ? ?a1+3d=7, ?d=2. ∴an=1+(n-1)×2=2n-1, ∴a9=2×9-1=17.
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在等差数列{an}中,首项a1与公差d是两个最基本的元素, 有关等差数列的问题,如果条件与结论间的联系不明显,则均 可化成有关a1,d的关系列方程组求解,但是要注意公式的变 形及整体计算,以减少计算量.

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[活学活用] 1.2 016是等差数列4,6,8,?的 A.第1 006项 C.第1 008项
解析:选B

(

)

B.第1 007项 D.第1 009项

∵此等差数列的公差d=2,∴an=4+(n-1)×2,

an=2n+2,即2 016=2n+2,∴n=1 007.

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2.已知等差数列{an}中,a15=33,a61=217,试判断153是不 是这个数列的项,如果是,是第几项?

解:设首项为a1,公差为d,则an=a1+(n-1)d,
? ?a1+?15-1?d=33, 由已知? ? ?a1+?61-1?d=217, ? ?a1=-23, 解得? ? ?d=4.

所以an=-23+(n-1)×4=4n-27, 令an=153,即4n-27=153,解得n=45∈N*,所以153是 所给数列的第45项.
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等差中项的应用
[典例] 已知等差数列{an},满足a2+a3+a4=18,a2a3a4=66.求 数列{an}的通项公式. [解] 在等差数列{an}中, ∵ a2+a3+a4=18,∴3a3=18,a3=6.
? ?a2+a4=12, ∴? ? a4=11, ?a2· ? ?a2=11, 当? ? ?a4=1 ? ?a2=1, 当? ? ?a4=11 ? ?a2=11, 解得? ? ?a4=1 ? ?a2=1, 或? ? ?a4=11.

时,a1=16,d=-5.

an=a1+(n-1)d=16+(n-1)· (-5)=-5n+21. 时,a1=-4,d=5.
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an=a1+(n-1)d=-4+(n-1)· 5=5n-9.
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a+c 三数a,b,c成等差数列的条件是b= (或2b=a+c), 2 可用来进行等差数列的判定或有关等差中项的计算问题.如若 证{an}为等差数列,可证2an+1=an+an+2(n∈N*).

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[活学活用] 1.已知数列8,a,2,b,c是等差数列,则a,b,c的值分别为 ________,________,________.

解析:因为8,a,2,b,c是等差数列, ?8+2=2a, ? 所以?a+b=2×2, ?2+c=2b. ? 答案:5 -1 -4 ?a=5, ? 解得?b=-1, ?c=-4. ?

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2.已知数列{an}满足an-1+an+1=2an(n≥2),且a2=5,a5=13, 则a8=________.

解析:由 an-1+an+1=2an (n≥2)知,数列{an}是等差数列, ∴a2,a5,a8 成等差数列. ∴a2+a8=2a5,∴a8=2a5-a2=2×13-5=21. 答案:21

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等差数列的判定与证明
1 [典例] 已知数列{an}满足a1=4,an=4- (n>1),记bn= . an-1 an-2 求证:数列{bn}是等差数列.
证明:[法一 定义法] 1 1 an ∵bn+1= = = , 4? an+1-2 ? 2?an-2? ?4- ?-2 an? ? an-2 an 1 1 ∴bn+1-bn= - = = ,为常数(n∈N*). 2?an-2? an-2 2?an-2? 2 1 1 又b1= = , a1-2 2 1 1 ∴数列{bn}是首项为 ,公差为 的等差数列. 2 2
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4

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[法二

等差中项法] 1 ∵bn= , an-2 1 1 an ∴bn+1= = = . 4? an+1-2 ? 2?an-2? ?4- ?-2 a
?
n?

4 4-a an+1 an-1 n ∴bn+2= = ? = . ? 4 2?an+1-2? an-2 2?4-a -2? ? ? n an-1 1 an ∴bn+bn+2-2bn+1= + -2× =0. an-2 an-2 2?an-2? ∴bn+bn+2=2bn+1(n∈N*), ∴数列{bn}是等差数列.
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等差数列判定的常用的2种方法 (1)定义法:an+1-an=d(常数)(n∈N*)?{an}为等差数列. (2)等差中项法:2an+1=an+an+2(n∈N*)?{an}为等差数列.

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[活学活用] 1 1 1 已知 , , 成等差数列,并且a+c,a-c,a+c-2b均为正数,求证: a b c lg(a+c),lg(a-c),lg(a+c-2b)也成等差数列.
1 1 1 2 1 1 解:∵a,b,c 成等差数列,∴b=a+c , 2 a+c ∴b= ac ,即2ac=b(a+c). (a+c)(a+c-2b)=(a+c)2-2b(a+c)=(a+c)2-2×2ac=a2+c2+2ac- 4ac=(a-c)2. ∵a+c,a+c-2b,a-c均为正数,上式左右两边同时取对数得,lg[(a +c)( a+c-2b)]=lg(a-c)2,即lg(a+c)+lg(a+c-2b)=2lg(a-c), ∴lg(a+c),lg(a-c),lg(a+c-2b)成等差数列.
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