2017-2018北京市延庆区高三数学文科一模试题及答案

延庆区 2017—2018 学年度高三模拟试卷

数学(文科) 第Ⅰ卷(选择题)

2018.3

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合 A ? { x | 0 ? x ? 2} , B ? { x | x ? 1 ? 0} ,则 A B ? (A) { x | 0 ? x ? 2} (C) { x | x ? 0} (B) { x | 1 ? x ? 2} (D) { x | x ? 1}

2. 在复平面内,复数 (A) 第一象限

2 1? i

的对应点位于的象限是 (C) 第三象限 (D)第四象限

(B) 第二象限

3. 下列函数在其定义域内是增函数的是 (A) y ? co s x (B) y ? lg ( x ? 1) (C) y ? e
?x

(D) y ? x ? 1

4. 已知函数 f ( x ) ? 2 s in ( x ? (A)充分不必要条件 (C)充要条件

?
3

? ? ) ,则“ ? ?

2? 3

”是“ f ( x ) 为奇函数”的

(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

? x ? y ? 0 ? 2 2 5. 若 x ,y 满足 ? x ? y ? 3 则 x ? y 的最小值为 ? x ? 0 ?

(A) 0

(B) 3

(C) 4 .5

(D) 5

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6. 该程序框图的算法思路来源于我 国古代数学名著 《九章算术》 中的“更 相减损术”,执行该程序框图,若输 入的 a , b 分别为 14,4,则输出的 a 为 (A)0 (C)4 (B)2 (D)14

7. 某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的最长棱的长为 (A) 3 2 (B) 3 4 (C) 4 1 (D) 5 2
4 (7 题图) 正(主)视图 侧(左)视图 5

3

俯 视 图

8. 某上市股票在 30 天内每股的交易价格 P (元)与时间 t (天)所组成的有序数对

? t , P ? ,点 ? t , P ? 落在图中的两条线段上;该股票在 30 天
6

P

内的日交易量 Q (万股)与时间 t (天)的部分数据如 下表所示,且 Q 与 t 满足一次函数关系, 那么在这 30 天中第几天日交易额最大 (A)10 (C)20 (B)15 (D)25
Q

5

2

O

10

20

30

t

第t 天 (万股)

4 36

10 30

16 24

22 18

高三数学(文科)第 2 页(共 6 页)

第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 双曲线
x
2

4

? y

2

? 1 的渐近线方程为

. . .

10. 已知 x ? 0 , y ? 0 ,且 2 x ? 4 y ? 4 ,则 x y 的最大值为 11. 已知 a ? (1, 2 ) , b ? (3, x ) , ( a ? b ) ? a 则 x =

12. 无偿献血是践行社会主义核心价值观的具体行动,需要在报名的 2 名男教师和 3 名女教师中,选取 2 人参加无偿献血,则恰好选中一名男教师和一名女教师的概率 为 .

13. 已知 f ? x ? , g ? x ? 在定义域内均为增函数,但 f ? x ? ? g ? x ? 不一定是增函数,例 如当 f ( x ) = 且 g (x) = 时, f ? x ? ? g ? x ? 不是增函数.

14. 有 4 个不同国籍的人,他们的名字分别是 A、B、C、D,他们分别来自英国、美 国、德国、法国(名字顺序与国籍顺序不一定一致). 现已知每人只从事一个职业, 且: (1)A 和来自美国的人他们俩是医生; (2)B 和来自德国的人他们俩是教师; (3)C 会游泳而来自德国的人不会游泳; (4)A 和来自法国的人他们俩一起去打球. 根据以上条件可推测出 A 是来自 国的人,D 是来自 国的人.

三、 解答题: 本大题共 6 小题, 共 80 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 13 分) 已知等差数列 ? a n ? 和等比数列 ? b n ? ,其中数列 ? b n ? 的前 n 项和为 S n ,a 1 ? ? 1 ,
b1 ? 1 , a 2 ? b 2 ? 2 , a 3 ? b 3 ? 5 .

(Ⅰ)求 ? b n ? 的通项公式和前 n 项和 S n ; (Ⅱ)设 c n ? a n ? lo g 2 b n ,求数列 ? c n ? 的前 n 项和 T n .
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16.(本小题满分 13 分) △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 sinA+ 3 cosA=0,a=2 7 , b=2. (Ⅰ)求角 A; (Ⅱ)求边 c 及△ABC 的面积.

17.(本小题满分 13 分) 为了鼓励市民节约用电,某市实行“阶梯式”电价,将每户居民的月用电量分为 二档,月用电量不超过 200 度的部分按 0.5 元/度收费,超过 200 度的部分按 0.8 元/ 度收费.某小区共有居民 1000 户,为了解居民的用电情况,通过抽样,获得了今年 7 月份 100 户居民每户的用电量,统计分析后得到如图所示的频率分布直方图.

(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)试估计该小区今年 7 月份用电费用不超过 260 元的户数; (Ⅲ)估计 7 月份该市居民用户的平均用电费用(同一组中的数据用该组区间的中点 值作代表) .

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18.(本小题满分 14 分) 如图,在几何体 A B C D E 中,四边形 A B C D 是正方形, A B ? 平面 B E C ,
B E ? E C , B E ? E C ? 2 ,点 G , H 分别是线段 B E , E C 的中点,点 F , N 分别

是线段 C D , B C 的中点. (Ⅰ)求证: G H / / 平面 A D E ; (Ⅱ)求证: A C ? 平面 E N F ; (Ⅲ)在线段 C D 上是否存在一点 P ,使得 V D ? A E P 若不存在,请说明理由.
? 4 3 2

,若存在,求 D P 的长,

19.(本小题满分 13 分)
x a
2 2

已知椭圆 E :

?

y b

2 2

? 1 ? a ? b ? 0 ? 过点 0 ,

?

2 ,且离心率 e =

?

2 2

.

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设直线 l : x ? m y ? 1, ( m ? R ) 交椭圆 E 于
? 9 ? A , B 两点,判断点 G ? ? , 0 ? 与以线段 A B 为直 4 ? ?

径的圆的位置关系,并说明理由.

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20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? e ? x ( e 为自然对数的底数). (Ⅰ)求曲线 y ? f ( x ) 在点 ( 0 , f ( 0 ) ) 处的切线方程; (Ⅱ)当 x ? ? 0 , 2 ? 时,不等式 f ( x ) ? ax 恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)设 g ? x ? ? f ? x ? ? a x ,当函数 g ( x ) 有且只有一个零点时,求 a 的取值范围.
x

(考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效)

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