高中数学第一章导数及其应用1.6微积分基本定理课件新人教A版选修22_图文

新课标导学

数 学
选修2-2 ·人教A版

第一章

导数及其应用

1.6 微积分基本定理

1 2

自主预习学案

互动探究学案

3

课时作业学案

自主预习学案

火箭要把运载物发送到预定轨道是极其复杂的过 程,至少涉及变力做功问题,有诸如“曲边梯形”面积 计算、变速直线运动的位移计算等问题,应如何解决? 能否将“曲边梯形”面积的计算转化为“直边梯形”面 积的计算,能否利用匀速直线运动的知识解决变速直线运动的问题呢?学习了本 节知识后,就可以轻易解决这些问题.

1.微积分基本定理
b f(x) ,那么 ? 连续 函数,并且F′(x)=_______ 如果F(x)是区间[ a,b] 上的_______ ? f(x)dx ?
?

a

F(b)-F(a) . =_____________
2.用微积分基本定理求定积分,关键是找到满足F ′(x)=f(x)的函数F(x),

原函数 ,利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系,运 即找被积函数的________
用基本初等函数求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F(x).

原函数 ,那 3.被积函数的原函数有很多,即若F(x)是被积函数f(x)的一个________ 原函数 .但是在实际运算时,不论如何 么F(x)+C(C为常数)也是被积函数f(x)的________
选择常数C(或者是忽略C)都没有关系,事实上,以F(x)+C代替式中的F(x)有 f(x)dx=[ F(b)+C] -[ F(a)+C] =F(b)-F(a).
?b ? ? ?

a

定义 ;②利用定积分的 4.求定积分的方法主要有:①利用定积分的________ 几何意义 微积分基本定理 . ________;③利用________________

1 ?2 ?2 -2 1.如果? . ? f(x)dx=1,? f(x)dx=-1,则? f(x)dx=________ ? ? ?
?

0

?

0

?

1

[ 解析]

?2 ? ? ?

0

1 ?2 f(x)dx=? ? f(x)dx+? f(x)dx=-1, ? ?
?

0

?

1

2 ?2 所以1+? ? f(x)dx=-1,所以? f(x)dx=-2. ? ? 2 ? ? 1 1 2 ?2 2.? (x -x)dx=______ . 3 ?
?

0

[ 解析]

x3 1 2 ∵( 3 -2x )′=x2-x.

x3 1 2 2 8 2 ∴原式=( 3 -2x )|0=(3-2)-0=3.

3.求下列定积分: 1 1 2 . (1)? ? xdx=______ ?
?

0

2 2 x (3)? ? 2 dx=______ ln2 . ?
?

1 (2) ? 2 sinxdx=________ . ? ?0
(4) (6)
?0 ? ? ?- π

π

0 . cosxdx=_____
3π2 (3x+sinx)dx=________ 8 +1 .

1

1 1 2 -6 . (5)? ? (x -x)dx=______ ?
?

0

? π ? 2 ? ?0

(7)

?3 ? ?-1

24 . (3x2-2x+1)dx=_____

1 1 ?2 2 (8)? 2dx=______. ? x
?

1

[ 解析]

2 x2 x 1 1 ?1 (1)∵( 2 )′=x,∴? xdx= 2 |0=2. ? ? 0

π ? π (2)∵(-cosx)′=sinx,∴? 2sinxdx=-cosx|02 ? ?0

π =(-cos2)-(-cos0)=1.
x 2x 2 4 2 2 x 2 ?2 x (3)(ln2)′=2 ,∴? 2 dx=ln2|1=ln2-ln2=ln2. ? ? 1 0 0 (4)∵(sinx)′=cosx,∴? cos x d x = sin x | ? -π=0. ?
?- π

1 3 1 2 1 1 (5) (x -x)dx=(3x -2x )|0=-6.
?1 ? ? ?

2

0

(6) (7)

? π ? 2 ? ?0 ?3 ? ? -1

3 2 3 2 (3x+sinx)dx=(2x -cosx) |0 =8π +1.
π 2

(3x2-2x+1)dx=(x3-x2+x)|3 -1=24.

1 12 1 1 (8) x2dx=-x|1=-2-(-1)=2.
?2 ? ? ?

1

互动探究学案

命题方向1 ?求定积分
典例 1 求下列定积分:
1 1 3 (1) xdx; (2)? (3) ? x dx; ? ?
?2 ? ? ?

1

0

?1 exdx. ? ?-1

[ 思路分析]

根据导数与积分的关系,求定积分要先找到一个导数等于被积

函数的原函数,再根据牛顿—莱布尼茨公式写出答案,找原函数可结合导数公式 表.

[ 解析]

1 1 ?2 ?2 (1)因为(lnx)′=x,所以? d x = ln x ?1 =ln2-ln1=ln2. ? x ?
1

?1 4? (2)∵?4x ?′=x3, ? ?

1 4?1 1 ∴ x dx=4x ?0 =4.
?1 ? ? ?

3

0

(3)∵(ex)′=ex,
1 x x?1 ∴? e d x = e ?-1 ? ?-1 ?

1 =e-e.

『规律总结』

1.利用微积分基本定理求定积分的步骤:

第一步,利用定积分的性质将被积函数变形为基本初等函数导数公式中所列 函数形式的积分的代数和. 第二步,依次找出各被积函数的一个满足F ′(x)=f(x)的原函数F(x). 第三步,利用牛顿——莱布尼茨公式求值. 2.常用公式
b b ①? ? cdx=cx|a(c为常数); ?
?

a

1 n+1 b ② x dx= x |a(n≠-1); n+1
?b ? ? ?

n

a

1 ③ xdx=lnx|b a(b>a>0);
?b ? ? ?

a

b b ④? ? sinxdx=-cosx|a; ?
?

a

b b ⑤? ? cosxdx=sinx|a; ?
?

a

xb b x ⑥? ? e dx=e |a; ?
?

a

x a b b x ⑦? | ? a dx= a(a>0且a≠1). ln a ? ? a

〔跟踪练习1〕 求下列定积分:
? 73 1? ?3? 2x-x2?dx=_______; (1)? ? ? ? ?
1 9 (2)? ? ?
?

1

1 456 ; x(1+ x)dx=_______

π 3 -8 2 2 6 (3) ? cos x d x = _______ . ?
π

4

?π ?
6

[ 解析]
?3? ? ? ? ?

(1)因为(x
?

2

?1? 1 ? ? )′=2x, x ′=-x2, ? ?

1? 1 1?3 2?3 ?3 ?3 ? 所以 2x-x2 dx=? 2xdx-? 2dx=x ?1 + ?1 x x ? ? ? ? ?
1 1 1

?1 ? 1 ? ? =(9-1)+ 3-1 =73. ? ?

(2)

?9 ? ? ?

4

1 x(1+ x)dx= (x2+x)dx
?9 ? ? ?

4

?2 3 1 2??9 =?3x2+2x ??4 ? ?

?2 ? 3 1 2 =?3×92+2×9 ? ? ?

?2 ? 3 1 1 2 -?3×42+2×4 ?=456. ? ?

(3)

2 ?2 ? 21+cos2x dx ? cos xdx=? 2 ?π ?π ? ?
π π 6 6

π ? 1? π 1? π 1 ?π 2 2 =2? dx+2? cos2xdx=2x? ?π ?π ? ? ?
2 6

?π 1 π +4sin2x? ? ?
2 6

6

6

π? 1?π π? 1? =2?2-6?+4?sinπ-sin3? ? ? ? ? π 1? 3 3? ? ? π =6+4?- ?=6- 8 . 2? ?

命题方向2 ?微积分基本定理的应用
1 1 1或3 . 泰安高二检测)若? (2 ax - a x )d x = ,则 a = ________ 典例 2 (1)(2018· 6 ? ?
?1

2

2

0

3 t (2)已知t>0,f(x)=2x-1,若? ? f(x)dx=6,则t=_____. ?
[ 解析] (1) (2ax -a x)dx
0
?1 ? ? ?

2

2

?

0

2?1 1 2 =2a? ? x dx-a ? xdx ? ?
?

0

?

0

x3 1 a2 2 1 2 a2 =2a· 3 |0- 2 x |0=3a- 2 . 2 a2 1 1 ∴3a- 2 =6,解a=1或3.

2 t 2 t ?t (2)? ? f(x)dx=? (2x-1)dx=x -x|0=t -t ? ?
?

0

?

0

∴t2-t=6解得t=-2或3.∵t>0,∴t=3.

〔跟踪练习2〕
t (1)上题(2)中条件不变,改为试求? (2x-1)dx的值. ?

?-1

a (2)若将上题(2)中条件改为 f(x)dx=f(2),求a的值.
?a ? ? ?

[ 解析]
?t ? ?-1

(1)由t=3,得
?-1

0

3 (2x-1)dx=? ?

(2x-1)dx

=(x2-x)|3 -1=(9-3)-(1+1)=4. (2)a2-a=a-1,即a2-2a+1=0, 解得a=1.

求分段函数的定积分

? 求分段函数的定积分时,可利用定积分的性质将其表示为 几段定积分和的形式;对于带绝对值的解析式,先根据绝 对值的意义找到分界点,去掉绝对值号,化为分段函数再 求解. 典例 3 计算下列定积分:
2 ? ?x ,x≤0, (1)若f(x)=? ? ?cosx-1,x>0, 3 2 (2)? ? |x -4|dx; ?
?

? π ? 求? 2f(x)dx; ?-1

0

2 (3)? ? (|x-1|+|x-3|)dx. ?
?

0

? [思路分析] 解答本题第(1)小题,可按f(x)的分段标准及积 分区间将其化为两段积分的和;解答第(2)(3)小题时,可 根据绝对值的意义将其转化为分段函数的定积分.
[ 解析]
2 ? ?x ,x≤0, (1)因为f(x)=? ? ?cosx-1,x>0, π ? π ? 0 2 f(x)dx+ ? 2 f(x)dx= ? x dx+ ? 2 ? ? ? ?-1 -1 ?0 ?0

? π ? 2 0 所以 ? f(x)dx= ? ? ?-1 ?
π 2

1 30 (cosx-1)dx= 3 x | -1 +(sinx

1 π 4 π -x)|0 =3+(1-2)=3-2.

2 ? x -4,x≤-2或x≥2, ? 2 (2)因为|x -4|=? 2 ? 4 - x ,-2<x<2, ? 3 2 ?2 2 ?3 2 所以? ? |x -4|dx=? |x -4|dx+? |x -4|dx ? ? ?
?

0

?

0

?

2

1 3 2 1 3 = (4-x )dx+ (x -4)dx=(4x-3x )|0+(3x -4x)|3 2
?2 ? ? ?

2

0

?3 ? ? ?

2

2

8 27 8 23 =(8-3)+[( 3 -12)-(3-8)]= 3 .

? ?x-1,x≥1, (3)因为|x-1|=? ? ?1-x,x<1, ? ?x-3,x≥3, |x-3|=? ? ?3-x,x<3,
2 ?2 ?2 ?1 ?2 ?2 所以 ? ? (|x-1|+|x-3|)dx= ? |x-1|dx+ ? |x-3|dx= ? (1-x)dx+ ? |x-1|dx+ ? |x ? ? ? ? ? ?
?

0

?

0

?

0

?

0

?

1

?

0

1 2 1 1 2 1 2 2 2 -3|dx= (1-x)dx+ (x-1)dx+ (3-x)dx=(x-2x )|0+(2x -x)|1+(3x-2x )|0
?1 ? ? ?

0

?2 ? ? ?

1

?2 ? ? ?

0

1 1 =2+2+4=5.

『规律总结』

(1)在求定积分时,会遇到被积函数是分段函数或绝对值函数

的情况,这时我们就要根据不同的情况把分段函数在区间[ a,b] 上的积分,分成 几段积分和的形式.分段的标准是:使每段上的函数表达式确定,按照原来函数 分段的情况分即可. (2)当被积函数的原函数是一个复合函数时,要特别注意原函数的求解,与复 合函数的求导区分开来.例如:对于被积函数y=sin3x,其原函数应为y=- cos3x,而其导数应为y′=3cos3x. 1 3

〔跟踪练习3〕
2 ? ?x ,0≤x<1, (1)设f(x)=? ? ?2-x,1<x≤2, 2 则? ) ? f(x)dx=( C ?
?

0

3 A.4 5 C.6

4 B.5 D.不存在

? 3π 3 . (2)定积分? 2 |sinx|dx的值为______ ? ?0

[ 解析]

2 ?1 2 ?2 (1)? ? f(x)dx=? x dx+? (2-x)dx ? ? ?
?

0

?

0

?

1

1 31 1 2 2 1 1 5 =3x |0+(2x-2x )|1=3+2=6. (2)
? 3π ? 3π ?π ? 2 |sinx|dx=? sinxdx+? 2 ? ? ? ? 0 ?0 ?π

(-sinx)dx

?3π π =(-cosx)|0 +cosx? 2 ? ?π

=2+1=3.

忽视积分变量致误
典例 4
[ 错解] 5 6
?1 ? ? ?

(t2+t)dx=________________.
13 12 1 5 (t +t)dx=(3t +2t )|0=6.
2

0
?1 ? ? ?

0

[ 辨析]

对于积分变量x来说,被积函数表达式f(x)=t2+t为常数,它与f(x)=

x2+x是不同的.

[ 正解]

2 1 2 1 2 填t2+t,因? ? (t +t)dx=(t +t)x|0=t +t. ?
?

0

? [点评] 解决定积分问题时,一要确定好积分变量,二要 清楚积分上、下限,三要明确积分的几何意义,注意积分 与平面图形面积的区别与联系,四要会用导数方法寻找原 函数,五要用好积分性质和微积分基本定理.

1 1.(2018· 玉溪模拟)计算 (x+x)dx的值为( B
?2 ? ? ?

)

1

3 A.4 5 C.2+ln2

3 B.2+ln2 D.3+ln2

[ 解析]

?2 ? ? ?

1

1 1 2 1 3 2 (x+x)dx=(2x +lnx)|1=2+ln2-2=ln2+2;

故选B.

2.? ?2 ?π ?2

π

2 . (sinx+cosx)dx的值是_____

2 1 3.若? ? (2ax+a+1)dx=5,则a=_____. ?
?

1

4.计算下列定积分:
2 2 (1)? ? (x +2x+3)dx; ?
?

1

3 2 x -1 ?3 (2)? x2 dx. ?
?

1

[ 解析]
?2 ? ? ?

1 3 2 (1)因为(3x +x +3x)′=x2+2x+3,
2

1 3 2 所以 (x +2x+3)dx=(3x +x +3x)|2 1
1

8 1 25 =(3+4+6)-(3+1+3)= 3 . 2x 3- 1 1 1 1 2 (2)因为 x2 =2x-x2且(x +x)′=2x-x2.
3 2 x -1 1 3 1 22 2 ?3 所以? dx=(x +x)|1=(9+3)-2= 3 . 2 x ? ? 1


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