四川省成都外国语学校2015届高三高考考前自测数学(文)模拟试题

考前自测

数 学(文史类)
第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 个是符合题目要求的. 1、 i 是虚数单位,若集合 S ? ??1,0,1? ,则 A . i ?S
3

B . i ?S
6

? 1 3 ? C . ?? ? ? 2 2 i? ? ?S ? ?

3

2 ? 3 ? ? ?? 1 ? D. ?? ? ? ? 2 2 i? ? ?? S ? ? ? ?? ?

2、高三某班有学生 56 人,现将所有同学随机编号,用系统抽样的方法,抽取一个容量为 4 的样本,已知 5 号、33 号、47 号学生在样本中,则样本中还有一个学生的编号为 A.13 B.17 C.19 D.21 3、正弦函数 y ? sin( x ? A. y 轴

x??

?
2

3? ), x ? R 的图像关于( 2 3? B.直线 x ? 2

)对称 C.直线 x ?

?
2

D.直线

? ?? ? , f ? x ? ? 0 ,则 ? 2? ? ?? A . p 是 假 命 题 , ?p : ?x ? ? 0, ? , f ? x ? ? 0 B . p 是 假 命 题 , ? 2? ? ?? ?p : ?x0 ? ? 0, ? , f ? x ? ? 0 ? 2? ? ?? C . p 是 真 命 题 , ?p : ?x ? ? 0, ? , f ? x ? ? 0 D . p 是 真 命 题 , ? 2? ? ?? ?p : ?x0 ? ? 0, ? , f ? x ? ? 0 ? 2?
4、已知 f ? x ? ? ? x ? sin x ,命题 p : ?x ? ? 0, 5、在空间中,给出下列四个命题: ①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直;②若平面外两点到平面的距离相等,则过这两 点的直线必平行于该平面;③两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线;④两个相互 垂直的平面,一个平面内的任意一直线必垂直于另一个平面内的无数条直线。其中正确的是 A.①② B.②③ C.①④ D.③④ 6、已知直线 l : x sin ? ? y cos ? ? 1 ,其中 ? 为常数且 ? ??0,2? ? ,则错误的 结论是 ... A.直线 l 的倾斜角为 ? ; B.无论 ? 为何值,直线 l 总与一定圆相切; C.若直线 l 与两坐标轴都相交,则与两坐标轴围成的三角形的面积不小于 1;
2 1 1 正视图 2 侧视图

D.若 P ? x, y ? 是直线 l 上的任意一点,则 x 2 ? y 2 ? 1; 7、某几何体的三视图如图所示,则其侧面的直角三 角形的个数为 A.4 B.3 C.2 D.1

俯视图

a 1 ? 的最小值是 2a b 3 5 A. B. 2 4 9、执行如图所示的程序框图,输入的 x, y ? R ,
8、设 a ? b ? 2 , b ? 0 ,则 输出的 z 的范围为不等式 ax2 ? bx ? 2 ? 0 ? a ? 0? 的解集,则 a ? b 的值为 A. ? 1 C. 0 B. 1 D.2

C.

1 2

D.
开始 输入 x, y

3 4



x ? 2 ? 0, y ? 0 2 x ? 2 y ? 2 ? 0?



z ? x? y

z ?1

10、一矩形的一边在 x 轴上,另两个顶点在函数

y?

x ? x ? 0 ? 的图像上,如图,则此矩形绕 1 ? x2
y

输出 z 结束

x 轴旋转而成的几何体的体积的最大值是 ? A. ? B. 3 ? ? C. D. 4 2
O

y?

x 1 ? x2

1

x

第二部分
11、如果对于正数 x , y ,有

(非选择题 共 100 分)
▲ ;

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.

1 1 log 2 x ? log 2 y ? 1 ,那么 x3 y 2 ? 2 3

12、若等差数列 ?an ? 满足 a7 ? a8 ? a9 ? 0 , a7 ? a10 ? 0 ,则当 n =_▲_______时, ?an ? 的 前 n 项和最大;

x2 y 2 13、已知抛物线 y ? 2 px ? p ? 0? 与双曲线 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 有相同的焦点 F,点 A a b
2

是两曲线的 一个交点,且 AF ? x 轴,则双曲线的离心率为 ▲ ; 14、通讯卫星 C 在赤道上空 3 R ( R 为地球半径)的轨道上, 它每 24 小时绕地球一周,所以它定位于赤道上某一点的上空。 如果此点与某地 A(北纬 60 )在同一条子午线上,则在 A 观察 此卫星的仰角的正切值为 ▲ ;
?

A

B

C

15、设定义域为 ? x1 , x2 ? 的函数 y ? f ? x ? 的图像的为 C。图像的两个端点分别为 A、B,点 O 为坐标原点,点 M 是 C 上任意一点,向量 OA ? ? x1 , y1 ? , OB ? ? x2 , y2 ? , OM ? ? x, y ? ,且 满足 x ? ? x1 ? ?1 ? ? ? x2

??? ?

??? ?

???? ?

? 0 ? ? ? 1? ,又设向量 ON ? ?OA ? ?1 ? ? ? OB 。现定义函数 y ? f ? x? 在 ? x1, x2 ? 上“可在
标准 k 下线性近似”是指 MN ? k 恒成立,其中 k ? 0 , k 为常数。给出下列结论: (1)A、B、N 三点共线 (3)函数 y ? 5x2 在 ?0,1? 上“可在标准 1 下线性近似” (4)若函数 y ? x ? (2)直线 MN 的方向向量可以为 a ? ? 0,1?

????

??? ?

??? ?

???? ?

?

1 3 在 ?1, 2? 上“可在标准 k 下线性近似” ,则 k ? ? 2 . x 2

其中所有正确结论的序号是 ▲ 。 三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,记 ?BAC ? x (角的单位是弧度制) , ?ABC 的面积为 S,且 AB?AC ? 8 ,

??? ? ????

4? S ? 4 3。
(1)求 x 的取值范围; (2)根据(1)中 x 的取值范围,求函数 f ? x ? ? 2 3 sin 2 ? x ? 和最小值。 ▲

? ?

??

2 ? ? 2cos x ? 3 的最大值 4?

17、(本小题满分 12 分) 如图所示, ?ABC 与 ?DBC 是边长均为 2 的等边三角形, 且所在两平面互相垂直, EA ? 平面 ABC,且 EA ? 3 (1)求证: DE / / 平面 ABC

D E B F M C A

???? ? ???? (2)若 2CM ? ME ,求多面体 DMAEB 的体积;



18、(本小题满分 12 分)
2 已知在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,当 n ? 2 时,其前 n 项和 Sn 满足 Sn ? an Sn ? 2an ? 0 。

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 bn ? 2n?1 ,记数列 ?

? 1 ? ? 的前项和为 Tn ,求证: Tn ? 3 。 ? S n bn ?


19、(本小题满分 12 分) 如图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于 100 表示空气质量优 良,空气质量指数大于 200 表示空气质量重度污染,某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的 某一天到达该市,并停留 2 天。
250 空 气 200 质 量 150 指 数 100 50 25 1日 2日 3日 4日 5日 6日

220

217 160 160 158

143 86 57 40 7日 8日 121 86 79 37 9 日 10 日 11 日 12 日 13 日 14 日 日期

(1)求此人到达当日空气重度污染的概率; (2)设此人停留期间空气质量至少有 1 天为优良的事件的概率。 (3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明) 。 ▲

20、(本小题满分 13 分) 设点 P 为圆 C1 : x ? y ? 2 上的动点,过点 P 作 x 轴的垂线,垂足为 Q ,点 M 满足
2 2

???? ? ???? 2 MQ ? PQ。
(1)求点 M 的轨迹 C2 的方程;

(2)过直线 x ? 2 上的点 T 作圆 C1 的两条切线,设切点分别为 A、B,若直线 AB 与(1)中 的曲线 C2 交与 C、D 两点,求

CD AB

的取值范围。 P ▲ M Q O

y
A C T

x
D B

21、(本小题满分 14 分)

2 3 ln x ? t ? R ? 已知函数 f ? x ? ? x ? 2tx ? t ? 3
(1)若曲线 y ? f ? x ? 在 x ? 1 处的切线与直线 y ? x 平行,求实数 t 的值;

(2)证明:对任意的 x1 , x2 ? ? 0,1? 及 t ? R, 都有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? t ? 1 ? 1 ln x1 ? ln x2 成 立。 ▲

?

?

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10

请在各题目的答题区域内作答,超出红色矩形边框的答案无效

第二卷(非选择题

100 分)考生需用 0.5 毫米黑色签字笔书写
二、填空题(共 25 分) 11_____64____________ 13____ 12___8________ 14______

2 ? 1__

3 ____ 6

15__(1) (2) (4)_____ ___ 三、解答题 16(12 分) 解: ( 1 )因为 ?BAC ? x , AB?AC ? 8 ,所以, bc cos x ? 8 ,又 S ?

??? ? ??? ?

1 bc sin x ,所以, 2

S ? 4 tan x ,
又 4 ? S ? 4 3 ,所以, 1 ? tan x ? 3 ,所以, x 的取值范围是:

?
4

?x?

?
3



(2) f ? x ? ? 2 3 sin ? x ?
2

? ?

??

?? ? 2 ? ? 2cos x ? 3 ? 2sin ? 2 x ? ? ? 1 4? 6? ?

因为,

?
4

?x?

?
3

,即

2? ? 5? 1 ?? 3 ? ? 2x ? ? , ? sin ? 2 x ? ? ? , 3 6 6 2 6? 2 ?

所以, f ? x ?max ? f ?

?? ? ?? ? ? ? 3 ? 1 , f ? x ?min ? f ? ? ? 2 。 ?4? ?3?

17(12 分) 证明: (1)如图,取 BC 的中点 F,连接 DF,AF. 因为, ?DBC 是边长均为 2 的等边三角形,所以,DF= 3

DF ? BC ,又因为平面 DBC 垂直于平面 ABC,
所以,DF ? 平面 ABC,又 EA ? 平面 ABC,且 EA ? 3 所以 DF 平行且等于 EA,即四边形 DFAE 为矩形; 所以,DE 平行于 AF,所以, DE / / 平面 ABC. (2)因为多面体 DMAEB 的体积= VD?MEB ? VA?MBE

又 2CM ? ME ,所以,

???? ?

????

2 2 2 1 ?1 3? 2 VD ? MEB ? VD ?CEB ? VE ? DBC ? ? ? ? ? 2? 2? ? 3? ? ? ? 3 3 3 3 ?2 2 ? 3 VA? MEB 2 2 2 1 ?1 3? 2 ? VA?CEB ? VE ? ABC ? ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? 3? ? ? ? 3 3 3 3 ?2 2 ? 3
4 3
C

D E B F M A

所以,多面体 DMAEB 的体积=

18(12 分) 解: (1)因为当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ,所以,
2 Sn ? ? Sn ? Sn?1 ? Sn ? 2 ? Sn ? Sn?1 ? ? 0 ,

所以, Sn Sn?1 ? 2 ? Sn?1 ? Sn ? ,所以,

?1? 1 1 1 ? ? ,所以,数列 ? ? 为等差数列,其首 Sn Sn ?1 2 ? Sn ?

项 为

1 , 公 差 为

1 2 1 1 , , Sn ? ; 当 n?2 时 , ? 1 ? ? n ? 1? ? 2 n ?1 Sn 2

an ? Sn ? Sn?1 ?

2 2 2 ? ?? n ?1 n n ? n ? 1?

?1? n ? 1? ? 所以, an ? ? 。 2 ?? n ? n ? 1? ? n ? 2 ? ?
(2)因为,

1 1 ? ? n ? 1?? n ,所以, Snbn 2

1 1 1 1 Tn ? 2 ? ? 3 ? 2 ? 4 ? 3 ? ? ? ? n ? 1? ? n ,????(1) 2 2 2 2 1 1 1 1 1 Tn ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? ? ? n ? n ? ? n ? 1? ? n ?1 ??????????????(2) 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 (1) ? (2)得, Tn ? 2 ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? ? n ? 1? ? n ?1 2 2 2 2 2 2 2 n?3 所以, Tn ? 3 ? n ? 3 2
19(12 分) 解:设 Ai 表示事件“此人于 3 月 i 日到达该市” ( i ? 1, 2,3,?,13 ) ,根据题意,

P ? Ai ? ?

1 ,且 Ai 与 Aj 互斥, i, j ? 1, 2,?,13 , i ? j 。 13

(1)设 B 为事件“此人到达当日空气重度污染” ,则 B ? A5 ? A8 ,所以,

P ? B ? ? P ? A5 ? A8 ? ? P ? A5 ? ? P ? A8 ? ?

2 13

(2)由题意可知,设刚好有一天空气质量为优的时间为 C, 刚好有二天空气质量为优的时间为 D

P ? C ? ? P ? A3 ? A6 ? A7 ? A11 ? ? P ? A3 ? ? P ? A6 ? ? P ? A7 ? ? P ? A11 ? ? P ? D ? ? P ? A1 ? A2 ? A12 ? A13 ? ? P ? A1 ? ? P ? A2 ? ? P ? A12 ? ? P ? A13 ? ? 4 13
8 13

4 13

此人停留期间空气质量至少有 1 天为优良的事件的概率 P ? C ? ? P ? D ? ? (3)从 3 月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大。 20(13 分) 解: (1)设 P ? x0 , y0 ? , M ? x, y ? ,则 由 2 MQ ? PQ 得到: ?

???? ?

??? ?

? ? x0 ? x 代入 x02 ? y02 ? 2 ? ? y0 ? 2 y

得到:

x2 ? y2 ? 1 2

x2 ? y 2 ? 1。 所以,点 M 的轨迹 C2 的方程为 2
( 2 ) 设 点 T ? 2, t ? , 则 直 线 AB 的 方 程 为 2 x ? ty ? 2 , AB ? 2

2t 2 ? 4 又设 t2 ? 4

?2 x ? ty ? 2 2 2 ,得 ? t ? 8 ? y ? 4ty ? 4 ? 0 C? x y ? x 1, y 1? , D 2, ? 2 ,则 ? 2 2 ?x ? 2 y ? 2
于是, y1 ? y2 ?

2 2 AB ? t ? 8? t ? 2 2 t 2 ? 4 ? 2t 2 ? 8 于是, CD ? ? t2 ? 8 CD ? t 2 ? 4 ? t 2 ? 4

4t ?4 , y1 y2 ? 2 , ? ? 0 ,所以, t ?8 t ?8
2

令 t ? 4 ? s ? 4 ,则
2

AB CD

?

? s ? 2?
s s

s?2

?

s 3 ? 6s 2 ? 32 6 32 ? 1? ? 3 3 s s s

令m ?

AB 1 ? 1? ? ? 0, ? ,于是 ? 1 ? 6m ? 32m3 , s ? 4? CD

设 f ? m? ? ?32m3 ? 6m ?1, f ? ? m? ? ?96m2 ? 6 ,

?96m 2 ? 6 ? 0 ? m ? ?

1 4

所以, f ? m? 在 ? 0, ? 单调递增,故 f ? m ? ? 1, 2 ? , ? ? 4? 所以,

?

1?

?

CD

? 2 ? ?? ,1? ?。 AB ? 2 ?

21(14 分)

2 3 x ? 2tx ? t ?ln x ? t ? R ? , 3 2 3 1 ln x = 2 x 2 ? 2t ? t ? ,所以 所以, f ? ? x ? ? x ? 2tx ? t ? 3 x
解析: (1)因为 f ? x ? ? ,结论显然成立; f ? ?1? ? 1 ? t ? 1 .(2)当 x1 ? x2 时, 当 x1 ? x2 时,不妨设 x1 ? x2 ,且记 ? ? t ?1 ? 1,则

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? ln x1 ? ln x2 等价于

? ? ln x1 ? ln x2 ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? ? ln x2 ? ln x1 ?
即?

? ?? ? ln x1 ? ln x2 ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? 变形为 f x ? f x ? ? ln x ? ln x ? ? ? ? ? ? ? 1 2 2 1 ?

? ? f ? x2 ? ? ? ln x2 ? f ? x1 ? ? ? ln x1 ? ? ? f ? x1 ? ? ? ln x1 ? ln x2 ? ? f ? x2 ?
令: g ? x ? ? f ? x ? ? ? ln x 必须是增函数,即 f ? ? x ? ?

?
x

? 0 x ? ? 0,1?

h ? x ? ? f ? x ? ? ? ln x 必须是减函数,即 f ? ? x ? ?

?
x

? 0 x ? ? 0,1?

3 3 所以, 2 x ? 2tx ? t ? ? t ? 1 ? 1 和 2x ? 2tx ? t ? t ?1 ? 1 ,x ? ? 0,1? ,t ? R 同时恒成立。

?

?

下面证明:当 t ? 1 时, 2 x ? 2tx ? 2t ? 0 在 x ? ? 0,1? 恒成立,
3

令 ? ? x ? ? 2x3 ? 2tx ? 2t , x ? ? 0,1? , ?? ? x ? ? 6x2 ? 2t ,设

?? ? x0 ? ? 6x02 ? 2t ? 0



x0 ? ? 0,1?
t 3









? ? 0? ? 2t ? 0



? ?1? ? 2 ? 0 , ? ? x0 ? ? 2 x03 ? 2tx0 ? 2t ? 2 x0 ? ? 2tx0 ? 2t ? t ? ?
再证明:当 t ? 1 时, 2 x ? 2tx ? 0 在 x ? ? 0,1? 恒成立,
3

? 4 x0 ? ? 2? ? 0 ? 3 ?

令 ? ? x ? ? 2x3 ? 2tx ,则只需 ? ? 0? ? 0 ? 0 , ? ?1? ? 2 ? 2t ? 0 。 同理可证当 t ? 1 时, 2 x ? 2tx ? 2 ? 0 和 2 x ? 2tx ? 2t ? 2 ? 0 在 x ? ? 0,1? 恒成立;所以,不
3 3

等式恒成立。


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