【师说】高中数学 第4章 第23课时 圆的一般方程课时作业 新人教A版必修2

课时作业(二十三)

圆的一般方程

A 组 基础巩固 1.圆的方程为(x-1)(x+2)+(y-2)(y+4)=0,则圆心坐标为( ) 1 A.(1,-1) B.( ,-1) 2 1 C.(-1,2) D.(- ,-1) 2 1 2 45 1 2 解析:将圆的方程化为标准方程,得(x+ ) +(y+1) = ,所以圆心为(- ,-1). 2 4 2 答案:D 2 2 2.设 A 为圆(x-1) +y =1 上的动点,PA 是圆的切线且|PA|=1,则 P 点的轨迹方程是 ( ) 2 2 A.(x-1) +y =4 2 2 B.(x-1) +y =2 2 C.y =2x 2 D.y =-2x 解析:由题意知,圆心(1,0)到 P 点的距离为 2,所以点 P 在以(1,0)为圆心,以 2为 2 2 半径的圆上,所以点 P 的轨迹方程是(x-1) +y =2. 答案:B 3.过坐标原点,且在 x 轴和 y 轴上的截距分别是 2 和 3 的圆的方程为( ) 2 2 A.x +y -2x-3y=0 2 2 B.x +y +2x-3y=0 2 2 C.x +y -2x+3y=0 2 2 D.x +y +2x+3y=0 解析:解法一(排除法):由题意知,圆过三点 O(0,0),A(2,0),B(0,3),分别把 A,B 两点坐标代入四个选项,只有 A 完全符合,故选 A. 2 2 解法二(待定系数法):设方程为 x +y +Dx+Ey+F=0,

F=0, ? ? 则?2D+F=-4, ? ?3E+F=-9,
2 2

D=-2, ? ? 解得?E=-3, ? ?F=0,

故方程为 x +y -2x-3y=0. 解法三(几何法): 由题意知,直线过三点 O(0,0),A(2,0),B(0,3),

? 3? 由弦 AB 所对的圆心角为 90°,知线段 AB 为圆的直径,即所求的圆是以 AB 中点?1, ? ? 2? 1 13 ? 3?2 ? 13?2,化为一般式得 x2+ 2 为圆心, |AB|= 为半径的圆,其方程为(x-1) +?y- ? =? ? 2 2 ? 2? ? 2 ? y2-2x-3y=0. 答案:A 2 2 4. 圆 x +y -4x-4y-10=0 上的点到直线 x+y-14=0 的最大距离与最小距离的差是 ( ) A.30 B.18 C.6 2 D.5 2 解析:圆心为(2,2),则圆心到直线距离为 |2+2-14| d= =5 2,R=3 2. 2
∴圆上点到直线的距离最大值为 d+R=8 2,最小值为 d-R=2 2.

∴(d+R)-(d-R)=8 2-2 2=6 2. 答案:C 5.若圆 x +y -2x-4y=0 的圆心到直线 x-y+a=0 的距离为 1 3 A.-2 或 2 B. 或 2 2 C.2 或 0 D.-2 或 0 |1-2+a| 2 解析:由圆心(1,2)到直线的距离公式得 = 得 a=0 或 a=2.故选 C. 2 2 答案:C 6.已知两定点 A(-2,0),B(1,0),如果动点 P 满足|PA|=2|PB|,则点 P 的轨迹所围 成的图形的面积等于( ) A.π B.4π C.8π D.9π 2 2 2 2 解析:设点 P 的坐标为(x,y),由|PA|=2|PB|得(x+2) +y =4(x-1) +4y , 2 2 即(x-2) +y =4. 故点 P 的轨迹所围成的图形的面积 S=4π . 答案:B 2 2 2 7. 如果圆的方程为 x +y +kx+2y+k =0, 且圆的面积为 π , 则圆心坐标为__________. 2 2 2 解析:本题考查圆的一般方程及其面积.因为圆 x +y +kx+2y+k =0 的面积为 π , 1 2 1 2 2 2 2 2 所以圆的半径为 1,即 k +2 -4k = 4-3k =1,所以 k=0,所以圆的方程为 x +y + 2 2 2y=0,得圆心坐标为(0,-1). 答案:(0,-1) 2 2 8.已知圆 C:x +y +2x+ay-3=0(a 为实数)上任意一点关于直线 l:x-y+2=0 的 对称点都在圆 C 上,则 a=________ 解析:由题意可得圆 C 的圆心?-1,- ?在直线 x-y+2=0 上,将?-1,- ?代入直 2? 2? ? ? 线方程得-1-?- ?+2=0,解得 a=-2. ? 2? 答案:-2 1 2 2 2 9.由方程 x +y +x+(m-1)y+ m =0 所确定的圆中,最大面积是__________. 2 解析:所给圆的半径长为 r= 时,半径 r 取最大值 1+
2 2

2 ,则 a 的值为( 2

)

?

a?

?

a?

? a?

m-
2

2

-2m

2



1 - 2

m+

2

+3.所以当 m=-1

3 3π ,此时最大面积是 . 2 4

3π 答案: 4 2 2 10.已知圆 C:x +y +Dx+Ey+3=0,圆心在直线 x+y-1=0 上,且圆心在第二象限, 半径长为 2,求圆的一般方程. 解析:圆心 C(- ,- ), 2 2 ∵圆心在直线 x+y-1=0 上, ∴- - -1=0,即 D+E=-2.① 2 2 又∵半径长 r= ∴D +E =20.②
2 2

D

E

D E

D2+E2-12
2

= 2,

由①②可得?

?D=2, ? ?E=-4, ?

或?

?D=-4, ? ?E=2. ?

又∵圆心在第二象限,∴- <0 即 D>0. 2 则?
? ?D=2, ?E=-4. ?
2 2

D

故圆的一般方程为 x +y +2x-4y+3=0. B 组 能力提升 2 2 2 11.若圆 x +y +2ax-4ay+5a -4=0 上的所有点都在第二象限,则 a 的取值范围为 A.(-∞,2) B.(-∞,-1) C.(1,+∞) D.(2,+∞) 2 2 2 2 2 解析:本题考查圆的性质.由 x +y +2ax-4ay+5a -4=0 得(x+a) +(y-2a) =4, 其圆心坐标为(-a,2a),半径为 2,由题意知 -a<0 ? ?2a>0 ?|-a|>2 ? ?|2a|>2

,解得 a>2,故选 D.

答案:D 2 2 12.若圆 x +y +2x-6y+1=0 上有相异的两点 P,Q 关于直线 kx+2y-4=0 对称,则 直线 PQ 的斜率 kPQ=__________. 解析:本题考查圆的对称性及两垂直直线的斜率的关系.由题意知圆心(-1,3)在直线

k kx+2y-4=0 上,所以 k=2,即直线 kx+2y-4=0 的斜率为- =-1,又直线 PQ 与直线
2

kx+2y-4=0 垂直,所以 kPQ=1.
答案:1 2 2 13.已知线段 AB 的端点 B 的坐标为(8,6),端点 A 在圆 C:(x+1) +y =4 上运动,求 线段 AB 的中点 P 的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么? 解析:设点 P 的坐标为(x,y),点 A 的坐标为(x0,y0),由于点 B 的坐标为(8,6),且 P 为 AB 的中点, x0+8 y0+6 所以 x= ,y= .于是有 x0=2x-8,y0=2y-6. 2 2 ∵点 A 在圆 C 上运动, 2 2 ∴点 A 的坐标满足方程:(x+1) +y =4, 2 2 即(x0+1) +y0=4. 2 ∴(2x-8+1)+(2y-6) =4,整理得, 7 2 2 (x- ) +(y-3) =1. 2 7 ∴点 P 的轨迹是以( ,3)为圆心,1 为半径的圆. 2 2 14.已知以点 C(t, )(t∈R,t≠0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O,A,与 y 轴交于点 O,

t

B,其中 O 为原点. 求证:△OAB 的面积为定值. 2 2 解析:由于圆 C 过原点,故可设圆 C 的方程为 x +y +Dx+Ey=0.
2 4 由于圆心为 C(t, ),∴D=-2t,E=- .

t

t

令 y=0,得 x=0 或 x=-D=2t,∴A(2t,0).

4 4 令 x=0,得 y=0 或 y=-E= ,∴B(0, ),

t

t

1 1 4 ∴S△OAB= |OA|·|OB|= ·|2t|·| |=4(定值). 2 2 t


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