【2013杭州二模】浙江省杭州市2013届高三第二次教学质检检测数学文试题__Word版含答案

浙江省杭州市 2013 届高三第二次教学质检检测

数学(文)试题
考生须知: 1.本卷满分 150 分,考试时间 120 分钟 2.答题前,在答题卷密封区内填写学校、班级和姓名 3.所有答案必须写在答题卷上,写在试题上无效 4.考试结束,只需上交答题卷 参考公式: 球的表面积公式 棱柱的体积公式
S = 4p R
2

V=Sh 其中 S 表示棱锥的底面积,h 表示棱柱的高 台体的体积公式
V = 1 3 h ( S1 + S1S 2 + S 2 )

球的体积公式
V = 4 3 pR
3

其中 R 表示球的半径 锥体的体积公式
1 3

其中 S1,S2 分别表示台体的上、下底面积,h 表 示台体的高 如果事件 A、B 互斥,那么

V =

Sh

其中 S 表示棱锥的底面积,h 表示棱柱的高 P(A+B)=P(A)+P(B) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.设全集 U=R,集合 A = { x | x ? 2} , B A. { x | - 1 < x
2} {x | - 1 < x 3} , 则 (C U A ) ? (C U B ) ?

B. { x | x ?

1或 x > 2}

C. { x | 2 < x < 3}
1+ i i i 1+ i
1 2 3 2 i

D. { x | x > 3}

2.已知 i 是虚数单位,则
1 2 3 2

+

= (


3 2 1 2
2

A. -

+

i

B.

C.

+

i

D.

3 2

2

1 2

i

3.设 m ? R ,则“ m = 5 ”直线 l : 2 x - y + m = 0 与圆 C : ( x - 1) + ( y - 2 ) = 5 恰好有一个公共点”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.在一盆子中号为 1,2 的红色球个,编号为 1,2 的白色球 2 个,现从盒子中摸出两个球,每个球被摸到的概率相同, 则摸出的两个球中既含有 2 种不同颜色又含有 2 个不同编号的概率是 A.
1 6

B.

1 4

C.

1 3

D.

1 2

5.设 m,n 是两条不同的直线, a , b 是两个不同的半面 A.若 m∥ a ,n∥ b ,m∥n,则 a ∥ b B.若 m∥ a ,n∥ b , a ∥ b 则 m∥n

C.若 m⊥ a ,n⊥ b ,m⊥n 则 a ⊥ b

D.若 m⊥ a ,n⊥ b , a ⊥ b 则 m⊥n

ì x- y 0 ? ? ? 6.已知实数 x,y 满足不等式组 ? x - 3 y + 2 0 , 则 2 x - y + 3 的最小值是 í ? ? 0 ? x+ y- 6 ? ?

A.3

B.4

C.6

D.9

7.设 P 为函数 f ( x ) = sin ( p x ) 的图象上的一个最高点,Q 为函数 g ( x ) = co s( p x ) 的图象上的一个最低点,则|PQ|最 小值是( ) A.
p
2

+ 4

B.2

C.

17 2

D.2 2
????
??? ?

4

8.在边长为 1 的菱形 ABCD 中,BAD=60,E 是 BC 的中点,则 A C · A E =
3+ 3 3
9 2 9 4

A.

B.

C. 3

D.

9.已知双曲线

y a

2 2

+

x b

2 2

= 1( a > 0 , b > 0 ) ,A,B 是双曲线的两个顶点.P 是双曲线上的一点,且与点 B 在双曲线的同

一支上.P 关于 y 轴的对称点是 Q 若直线 AP,BQ 的斜率分别是 k1,k2, 且 k1·k2= 3 5 5

4 5

,则双曲线的离心率是( )
9 4 3 2 9 5

A.

B.

C.

D.

10.若函数 f ( x ) = ( x + 1).e ,则下列命题正确的是(
1 e
2

x



A.对任意 m < -

,都存在 x ? R ,使得 f ( x ) < m

B.对任意 m > -

1 e
2

,都存在 x ? R ,使得 f ( x ) < m

C.对任意 x ? R ,都存在 m < -

1 e
2

,使得 f ( x ) < m

D.对任意 x ? R ,都存在 m > -

1 e
2

,使得 f ( x ) < m

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11.函数 f ( x ) ? 1 n
x?2 x ?1

的定义域是



12.已知 c o s x =

2 3

(x

R ) ,则 c o s ( x -

p 3

)=



13.已知数列{an}中 a3=7,a7=3,且 {

1 an - 1

} ) 是等差数列,则 a10=



14.若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的 值是____ 。 15.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体 的表面积为 。 16.在△OAB 中,C 为 OA 上的一点,且
???? ? 2 ??? OC = O A , D 是 BC 的中点,过点 A 的直线 l ∥OD,P 3 ??? ? ??? ? ???? 是直线 l 上的任意点,若 O P = l 1 O B + l 2 O C

则l 1 - l 2 =



17.设 a,b 是关于 x 的方程 x sin q + x co s q - 2 = 0, 的两个实根( ? ? R , a ? b ) ,直线 l 过点 A(a,a2) ,B(b,b2) ,
2

则坐标原点 O 到直线 l 的距离是_

___。

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18. (本题满分 14 分) 在△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c.已知 c=2.acosB-bcosA= (I)求 bcosA 的值; (Ⅱ)若 a=4.求△ ABC 的面积。 19. (本小题满分 14 分) 在各项均为正数的等比数列{an}中,a2=2,2a3,a5,3a4 成等差数列,数列{bn}满足 bn=21og2an+1。 (I)求数列{an}的通项公式; (II)设 Sn 为数列{bn}的前 n 项和,数列{cn}满足 c n ?
Sn ? 4n nan
7 2



。当 cn 最大时,求 n 的值。

20. (本题满分 15 分) 在几何体中,AA1⊥平面 ABC,AB⊥BC,CC1∥AA1,AB=BC AA1=2,CC1=1,D,E 分别是 AB,AA1 的中点。 (Ⅰ)求证:BC1∥平面 CDE; (Ⅱ)求二面角 E—DC—A 的平面的正切值。

21. (本题满分 15 分) 已知函数 f ( x ) ? ? x ? a x ( a ? 0 ) 。
3

(I)当 a=1 时,求过点 P(-1,0)且曲线 y=f(x)相切的直线方程; (Ⅱ)当 x ? [0 ,1] 时,不等式
1 4 x? 1 4 ? f (x) ? 1 4 x? 1 4

恒成立,求 a 的取值集合。

22. (本题满分 14 分) 已知直线 y=2x-2 与抛物线 x2=2py(p>0)交于 M1,M2 两点,|M1M2|= 8 1 5 。 (I)求 P 的值; (Ⅱ)设 A 是直线 y=
p 2

上一点,直线 AM2 交抛物
p 2

线于另点 M3,直线 M1M3 交直线 y= 点 B,求 O A · O B 的值。
??? ? ??? ?



2013 年杭州市第二次高考科目教学质量检测
数学(文科)试题参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的): 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 题号 答案 B D A C C B C D C B

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分): 11. {x | x ? ?1或x ? 2} 15.
50(1 ? 3)

12. 16.?

1 3
3 2

?

15 6

13. 17. 2

7 3

14. 6

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18. (本题满分 14 分) (Ⅰ) ∵ a cos B ? b cos A ? ∴ ∴
2 2

7 2

,根据余弦定理得, a ?
2 2

a ?c ?b 2ac

2

2

2

?b?

b ?c ?a 2bc

2

2

2

?

7 2



2a ? 2b ? 7c ,又∵ c ? 2 ,∴ a ? b ? 7 ,

b cos A ?

b ?c ?a 2c
7 2

2

2

2

??

3 4

.
3 4

7分 ,得 a cos B ?
2

(Ⅱ) 由 a cos B ? b cos A ? 又∵

及 b cos A ? ?
11 16

11 4

. ,

a ? 4 ,∴ cos B ?

,∴

sin B ?

1 ? cos B ?

3 15 16



S ?ABC ?

1 2

ac sin B ?

3 4

15

.

14 分

19. (本题满分 14 分) (Ⅰ) 设等比数列 {an } 的公比为 q ,∵ 2a3 , a5 , 3a4 成等差数列, ∴ 2a5 又 a2
? 2a3 ? 3a4 ,即 2q ? 2 ? 3q
2 n?2

,∴

q ? 2或q ? ?

1 2

(舍去).

? 2 ,则 an ? 2 ? 2

?2

n ?1

, .
n( 2 ? 2n) 2 ?n ?n,
2

即数列 {an } 的通项公式为 an (Ⅱ)
n

?2

n ?1

7分

bn ? 2 log 2 2 ? 2n ,则 {bn } 是等差数列, S n ?

1 n ?1 ? ( n ? 3) ? ( ) , n?2 2 1 n 1 n 1 n ?1 cn ?1 ? cn ? ( n ? 2) ? ( ) ? ( n ? 3) ? ( ) ? ( ) ( 4 ? n) , 2 2 2 ∵当 n ? 4 时, cn ?1 ? cn ,当 n ? 5 时, cn ?1 ? cn ,

则 cn ?

n ? 3n
2 n ?1

∴ cn 取最大值时, n 的值是 4 和 5.

14 分

20. (本题满分 15 分) (Ⅰ) 连接AC 1 交EC于点F,由题意知四边形ACC 1 E是矩形,则F是AC 1 的中点, 连接DF,∵D是AB的中点,∴DF是△ABC 1 的中位线, ∴ BC 1 //DF, 4分 ∵ BC 1 ? 平面EDC,DF ? 平面EDC, ∴BC 1 //平面CDE. 7分 (Ⅱ) 作 AH⊥直线 CD,垂足为 H,连接 HE, ∵ AA 1 ⊥平面ABC,∴ AA 1 ⊥DC, ∴ CD⊥平面 AHE, ∴ CD⊥EH, ∴ ? AHE 是二面角 E – CD – A 的平面角. 11 分 ∵ D 是 AB 的中点, ∴ AH 等于点 B 到 CD 的距离,
R R R R R R R R R R R R R R R R R R

在△BCD 中,求得:AH=

2 5 5


? 5 2

在△AEH 中, tan ?AHE ? 即所求二面角的正切值为
5 2

AE AH

(第 20 题)

.

15 分

21. (本题满分 15 分) (Ⅰ) a ? 1 时, f ( x) ? ? x 3 ? x ,则 f ?( x) ? ?3x 2 ? 1 , 设切点 T ( x0 , y0 ) ,则 f ?( x ) ? ?3x ? 1 ,
2 0 0

∴ 切线方程为 y ? y0

? f ?( x0 )( x ? x0 ) ,即: y ? ( ? x0 ? x0 ) ? ( ?3 x0 ? 1)( x ? x0 )
3 2

.

把 (?1,0) 代入得: ( x0 ? 1) 2 (2 x0 ? 1) ? 0 ,∴ 当 x0 当 x0
? ?1 时,切线方程为 y ? ?2 x ? 2 .

x0 ? ?1 或 x ?

1 2

.

?

1 2
1 4

时,切线方程为 y ?
1 4 ? f ( x) ? 1 4 x? 1 4

1 4

x?

1 4

.
1 4 x? 1 4 1 4 1 4x ? ? x ? ax ?
3

7分
1 4 x? 1 4

(Ⅱ) 不等式

x?

,即:



①当 x ? 0 时,不等式显然成立. ②当 x ? (0,1] 时,不等式化为 设 g ( x) ?
1 4 ? 1 4x ?x
2

1 4

?

1 4x

?x ?a?
2

?

?x

2



, h( x ) ?

1 4

?

1 4x

?x

2



则 g ?( x) ?
h?( x ) ?

1 4x
2

? 2 x ? 0 ,∴ g (x) 在(0,1]上递增,∴ g ( x) max ? g (1) ? 1 ,
3

8x ? 1 4x
2

,∴ h(x) 在(0,

1 2

]上递减,在(

1 2

,1 ]递增,



1 h( x) min ? h( ) ? 1 , 2

∴ 1 ? a ? 1 ,即 a ? 1 . 综上所述, a 的取值集合为 {a | a ? 1} .

15 分

(第 22 题)

22. (本题满分 14 分) (Ⅰ) 由 ?
? y ? 2x ? 2 ? x ? 2 py
2

,整理得, x 2

? 4 px ? 4 p ? 0 ,设M 1 ( x1 , y1 )、M 2 ( x2 , y2 ),
R R R R

?? ? 16 p 2 ? 16 p ? 0 ? 则 ? x1 ? x2 ? 4 p ? ? x1 ? x2 ? 4 p

,∵ | M 1M 2 |? 8

15

,



[( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ](1 ? 2 ) ? 8 15 ,即: [(16 p ? 16 p ] ? 5 ? 8 15
2 2 2

. 7分

∴ ∴

p ? p ? 12 ? 0 ,得 p ? 4 或 p ? ?3 (舍去),且 p ? 4 满足 ? ? 0 ,
2

p?4.
? x1 ? x2 ? 16 ? x1 x2 ? 16

(Ⅱ) 由(1)知抛物线方程为 x 2 ? 8 y ,且 ? 设 M 3 ( x3 ,
R R

, M 1 ( x1 ,

x1

2

8

) , M 2 ( x2 ,

x2

2

),

8

x3

2

) ,A (t ,2) , B (a,2) ,
R R

8
2M 3

由A、M 2 、M 3 三点共线得 k M
x2
2

? k AM 2 ,



x2 ? x3 8

?

?2 8 x2 ? t

,即: x2

2

? x2 x3 ? t ( x2 ? x3 ) ? x2 ? 16 ,
2

整理得: x2 x3 ? t ( x2 ? x3 ) ? ?16 ,??① 由B、M 3 、M 1 三点共线,同理可得 x1 x3 ? a( x1 ? x3 ) ? ?16 ,??② ②式两边同乘 x2 得: x1 x2 x3 ? a( x1 x2 ? x2 x3 ) ? ?16 x2 即: 16 x3 ? a(16 ? x2 x3 ) ? ?16 x2 ,??③, 由①得: x2 x3 ? t ( x2 ? x3 ) ? 16 代入③得: 16 x3 ? 16a ? tq ( x2 ? x3 ) ? 16a ? ?16 x2 , 即: 16( x2 ? x3 ) ? at ( x2 ? x3 ) ,∴ at ? 16 .
R R R R



OA ? OB ? at ? 4 ? 20 .

14 分


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