[整理]在数学教学中培养学生的创造性思维

在数学教学中培养学生的创造性思维
在数学教学中培养学生的创造性思维是时代的要求。 要培养学生的创造 性思维, 就应该有与之相适应的, 能促进创造性思维培养的教学方式。 当前, 数学创新教学方式主要有以下几种形式: 1 、开放式教学。 这种教学在通常情况下, 由教师通过开放题的引进, 在学生参与下解决, 使学生在问题解决的过程中体验数学的本质, 品尝进行创造性数学活动的乐 趣。开放式教学中的开放题一般有以下几个特点。一是结果开放,一个问题 可以有不同的结果;二是方法开放,学生可以用不同的方法解决这个问题; 三是思路开放,强调学生解决问题时的不同思路。 2 、活动式教学。 这种教学模式主要是让学生进行适合自己的数学活动,包括模型制作、 游戏、行动、调查研究等,使学生在活动中认识数学、理解数学、热爱数学。 3 、探索式教学。 采用“发现式” ,引导学生主动参与,探索知识的形成、规律的发现、 问题的解决等过程。 要培养学生的创造思维能力, 应当在数学教学中充分有效地结合上述三 种形式(但不限于这三种形式) ,通过逐步培养学生的以下各种能力来实现 教学目标: 一 、培养学生的观察力。敏锐的观察力是创造思维的起步器。那么, 在课堂中,怎样培养学生的观察力呢?第一,在观察之前,要给学生提出明 确而又具体的目的、任务和要求。第二,要在观察中及时指导。比如要指导 学生根据观察的对象有顺序地进行观察,要指导学生选择适当的观察方法, 要指导学生及时地对观察的结果进行分析总结等。 第三, 要科学地运用直观 教具及现代教学技术, 以支持学生对研究的问题做仔细、 深入地观察。 第四, 要努力培养学生浓厚的观察兴趣。 二、 培养领悟力。 数学领悟力是可以在学习数学的过程中逐步成长起来 的。 在平时的数学教学中应该善于启发学生认识和理解所学的知识, 并能熟 练的掌握数学的基本方法和基本技能, 通过培养学生的领悟能力, 优化学生 的数学思维品质,让学生达到“真懂”的地步。例如:上圆锥曲线复习课时, 当复习完椭圆、双曲线、抛物线的各自定义及统一定义后,突然有一学生提 问:平面内到两定点 F1, F2 的距离的积等于常数的点的轨迹是什么?这一 、 意料外的问题使思路豁然开朗, 我们也可以顺势提出以下问题引导学生, 让 学生探索:问题 1 平面内到两定点 F1, F2 的距离的积、商等于常数的点的 、 轨迹是什么?问题 2 平面内到定点 F 的距离与到定直线 L 的距离的和等于 常数的点的轨迹是什么?若联想到课本第 61 页第 6 题(两个定点的距离为
用心 爱心 专心

6,点 M 到这两个定点的距离的平方和为 26,求点的轨迹方程) ,还可以提 出下列问题:问题 3 平面内到两定点 F1, F2 的距离的平方积、商分别等于 、 常数的点的轨迹是什么?问题 4 平面内到定点 F 距离的平方与到定直线 L 的距离的平方和等于常数的点的轨迹是什么? 三、培养想象力。想象是思维探索的翅膀。数学想象一般有以下几个基 本要素。第一,要有扎实的基础知识和丰富的经验支持。第二,要有能迅速 摆脱表象干扰的敏锐的洞察力和丰富的想象力。 第三, 要有执著追求的情感。 因此,培养学生的想象力,首先要使学生学好有关的基础知识。其次,根据 教材潜在的因素,创设想象情境,提供想象材料,诱发学生的创造性想象。 另外,还应指导学生掌握一些想象的方法,像类比、归纳等。例如在一节高 三复习课上,我准备用一题多解的开放视角引导学生探索如下的问题:

1 1 2 已知: 1 < a < 1,1 < b < 1, 求证: 2 + ≥ ,在教师的点 2 1 ab 1 a 1 b
评帮助下,学生给出了四种不同的证法:作差比较法、综合法、分析法、三 角换元法。教师对此感到满意,也潜意识认为没有其他证法了。但此时学生 的思维大门已经开启,有的学生还想跃跃欲试,学生 1 展示了他的新探究:

1 = 1 + a 2 + a 4 + a 6 + L, 2 1 a 1 又Q = 1 + b 2 + b 4 + b 6 + L, 2 1 b Q



1 1 + = 2 + (a 2 + b 2 ) + (a 4 + b 4 ) + (a 6 + b 6 ) + L, 2 2 1 a 1 b ≥ 2 + 2ab + 2a 2 b 2 + 2a 3b 3 + L = 2(1 + ab + a 2 b 2 + a 3b 3 + L) = 2 1 ab

用无穷等比数列的和的公式来证明不等式本身就是一种创新, 应该说思维非 常巧妙。 学生 2 同样展示了他的新探究: 不等式条件可加强0 ≤ a、b ≤ 1,

设 x1 = (1, a ), x 2 = (1, a ), y1 = (1, b), y 2 = (1,b), 则 | x1 |=| x 2 |, | y1 |=| y 2 |, ∴1 a 2 = x1 x 2 ,1 b 2 = y1 y 2 ,1 ab = x1 y 2 , 设 x1与x轴夹角为θ1, y1与x轴夹角为θ 2,则有0 ≤ θ1、θ 2 <
2

π
4

,∴ x1 x 2 =| x1 | 2 cos 2θ1 ,

y1 y 2 =| y1 | cos 2θ 2 , x1 y 2 =| x1 || y 2 | cos(θ1 + θ 2 ),
用心 爱心 专心

1 1 1 1 + = + 2 2 1 a 1 b | x1 | 2 cos 2θ1 | y1 | 2 cos 2θ 2

=

| x1 | 2 cos 2θ1 + | y1 | 2 cos 2θ 2 | x1 | 2 | y1 | 2 cos 2θ1 cos 2θ 2

1 1 = 1 ab | x1 || y 2 | cos(θ 1 + θ 2 ) ∴ 只需证明 | x1 | 2 cos 2θ 1 + | y1 | 2 cos 2θ 2 | x1 | | y1 | cos 2θ 1 cos 2θ 2
2 2



2 | x1 || y 2 | cos(θ 1 + θ 2 )

即证明:x1 | 2 cos 2θ 1 + | y1 | 2 cos 2θ 2 ≥ |

2 | x1 || y1 | cos 2θ 1 cos 2θ 2 cos(θ 1 + θ 2 ) 2 | x1 || y1 | cos 2θ 1 cos 2θ 2 , cos(θ 1 + θ 2 )

Q| x1 | 2 cos 2θ 1 + | y1 | 2 cos 2θ 2 ≥ 2 | x1 || y1 | cos 2θ 1 cos 2θ 2 , 只需证明:| x1 || y1 | cos 2θ 1 cos 2θ 2 ≥ 2

即证明: θ 1 + θ 2 ) ≥ cos 2θ 1 cos 2θ 2 ,即证明 cos 2 (θ 1 + θ 2 ) ≥ cos 2θ 1 cos 2θ 2, cos( 即证明:+ cos 2θ 1 + 2θ 2) 2 cos 2θ 1 cos 2θ 2, ( ≥ 1 即证明:+ cos 2θ 1 cos 2θ 2 sin 2θ 1 sin 2θ 2 ≥ 2 cos 2θ 1 cos 2θ 2 , 1 即证明:≥ cos(2θ 1 2θ 2 ),得证。 1
用向量来证明不等式, 也是方法上的创新, 这两种证法都体现了学生的大胆 想象力、 探究精神和解题机智。 一个懂得如何学习的学生在课堂上的想象力 是非常丰富的,一个好的教师也应该懂得怎样来培养和保护学生的想象力。 有时候,学生的想象力可能是“天马行空” ,甚至是荒唐的,这时候教师还 要注意引导: 解题是否浪费了重要的信息?能否开辟新的解题通道?解题多 走了哪些思维回路?思维、 运算能否变得简洁?是否有方法的创新?能否对 问题蕴涵的知识进行纵向深入地探究, 梳理知识的系统性?能否加强知识的 横向联系,把问题所蕴涵孤立的知识“点”扩展到系统的知识“面”?为什 么有这样的问题, 它和哪些问题有联系?能否受这个问题的启发, 得到一些

用心

爱心

专心

重要的结果, 有规律性的发现?能否形成独到的新见解, 有自己的小发明? 等等。通过不断地想象,让学生的思维能够持续飞翔,从而不断培养学生丰 富的想象力。 四、培养发散思维。在教学中,培养学生的发散思维能力一般可以从 以下几个方面入手。比如训练学生对同一条件,联想多种结论;改变思维角 度,进行变式训练;培养学生个性,鼓励创优创新;加强一题多解、一题多 变、一题多思等。特别是近年来,随着开放性问题的出现,不仅弥补了以往 习题发散训练的不足, 同时也为发散思维注入了新的活力。 下面是我在教学 实践中遇到的一个例子,事情缘起于一本教辅读物的一个练习题:求 f(x), 使 f(x)满足 f[f(x)]=x+2……… (1),书后的答案是 f(x)= x+1。该题本意是在学 生学习了函数的基本概念之后, 通过一次函数复合的具体例子, 让学生体会 复合函数的概念。 这样的设计思想是不错的, 但是题目中没有明确给出 “f(x) 是一次函数”的条件,给学生造成了困惑。不少学生要求解释这道题。当被 告之应加上“f(x)是一次函数”的条件后,许多学生认为“f(x)是一次函数” 的条件可由(1)推出,有些学生则认为根据不充分。在这样的情况下,求 出函数方程(1)的一个非线性解的兴趣被唤起,我不愿放过这样一个能让 学生开阔数学眼界,提升思维深度的大好机会。于是,我开始探究能否构造 一个满足(1)的非线性函数的例子。 在具体进行构造之前,有必要了解 f(x)的一些基本性质,以便构造时有 正确的方向。由(1)知,f(x)定义域和值域都是一切实数;如果有 x1,x2 使 f(x1)=f(x2) ,则 f(f(x1))=f(f(x2));函数的复合满足结合律,即(f。f)。f(x)= f。 (f。f)(x),由此得到 f(x+2)=f(x)+2……(2)因此,我们只要对满足 0 ≤ x <2 的实数 x 定义 f(x),然后按照(2)将 f(x)的定义延拓到整个实数轴上即可。 令 (x ) 为任意一个定义域和值域都为开区间(0,1)的有反函数的函数, 它的反函数记为 1 ( x) 。下面 k 总表示整数,定义 f(x)如下: 1)定义 f(k)=k+1,k ∈ Z; 2)若 2k<x<2k+1,定义 f(x)=2k+1+ ( x 2k ) ; 3)若 2k+1<x<2k+2,定义 f(x)=2k+2+ 1 [ x ( 2k + 1)] ; 命题:如此定义的函数 f(x)满足函数方程 f[f(x)]=x+2.

用心

爱心

专心

证明:若x是整数,命题显然成立。如2k < x < 2k + 1, 则0 < x 2k < 1, 0 < ( x 2k ) < 1,由于f ( x) = 2k + 1 + ( x 2k ), ∴ 故2k + 1 < f ( x) < 2k + 2,从而f [ f ( x)] = 2k + 2 + 1 [ f ( x) (2k + 1)] = 2k + 2 + 1[ ( x 2k )] = 2k + 2 + x 2k = x + 2, 同理,若2k + 1 < x < 2k + 2,则0 < x (2k + 1) < 1

∴ 0 < 1 [ x (2k + 1)] < 1,由于此时f ( x) = 2k + 2 + 1 [ x (2k + 1)], 故2k + 2 < f ( x) < 2k + 3,也即2(k + 1) < f ( x) < 2(k + 1) + 1,从而 f [ f ( x)] = 2(k + 1) + 1 + [ f ( x) 2(k + 1)] = 2k + 3 + [ 1 ( x (2k + 1))] = 2k + 3 + x (2k + 1) = x + 2.证毕。
在上面的函数中,函数 的选取有很大的任意性。下面是几个例子: 例 1.如取 (x)=x (0<x<1),容易验证此时 f(x)=x+1 例 2. 如取 (x)=x 2 (0<x<1)和 1 ( x) =

x (0<x<1), f(x)为非线性函数。 则

1 x 2 ,0 < x ≤ 2 例 3.可以构造逐段线性函数 f(x),如取 ( x) = 3x 1 , 1 < x < 1 2 2 2
五、培养(诱发)学生的灵感。在教学中,教师应及时捕捉和诱发学生 学习中出现的灵感,对于学生别出心裁的想法,违反常规的解答,标新立异 的构思,哪怕只有一点点的新意,都应及时给予肯定。同时,还应当应用数 形结合、变换角度、类比形式等方法去诱导学生的数学直觉和灵感,促使学 生能直接越过逻辑推理而寻找到解决问题的突破口。 例如在一次不等式证明 的复习课中,我举了这样一个例题:已知:< a < b, 求证:a b 1 > b a 1 。 1 问题的叙述如此简洁!要证明这个不等式成立,似乎无从下手。但我让学生 观察不等式的结构形式——指数式, 指数式怎么办?这时有学生说: 化成对 数式。这时我捕捉了学生的这一想法:

用心

爱心

专心

由a b 1 > b a 1 (b 1) lg a > (a 1) lg b ∴

lg a lg b > ........(1), 这个不等式好啊! a 1 b 1 lg a lg1 lg b lg1 如果再作一点变化的话 ,你就豁然开朗了。)式变形成: (1 > , a 1 b 1 lg a lg1 表达式 你想起了什么?直线的 斜率公式。 a 1 于是设f ( x) = lg x,由1 < a < b作图,

如图,易知k AC > k BC,这不就证明了a b 1 > b a 1吗?
在分析中寻找解题的灵感,在转化中获取解题的信息,应用数形结合, 于是活的解法也就脱颖而出。

用心

爱心

专心

姓名:肖 瑛 年龄:28 身份:高中数学教师 职称:中学二级 单位:江苏省太湖高级中学(214125) 电话:0510—8931050 本人自 2000 年参加工作以来,一直担任两个甚至三个班的高中数学 教学工作,做了三年班主任,同时兼任备课组组长,完成了一轮循环教学。 平时在教学实践中,不断探索、不断积累,参加的评优课获得了校级、区级 的一等奖,市级的二等奖。撰写的《高中数学新课教学中“一分钟教学法” 的运用》获得了“师陶杯”三等奖, 《德育 ∈ 数学?》获得了全国中小学德 育优秀论文评选交流材料二等奖, 《构建民主、平等、和谐、互动的课堂结 构》正在参评。

用心

爱心

专心


相关文档

浅谈在数学教学中培养学生的创造性思维
在数学教学中培养学生创造性思维的方法
谈在数学教学中如何培养学生创造性思维
在数学教学中培养学生创造性思维
浅谈如何在数学教学中培养学生的创造性思维
在数学教学中培养学生的创造性思维品质.
在小学数学教学中培养学生的创造性思维_数学论文
在数学教学中培养学生的创造性思维
如何在高中数学教学中培养学生的创造性思维
如何在数学教学中培养学生创新思维
电脑版