20191819课时分层作业1 正弦定理语文.doc

课时分层作业(一) 正弦定理

(建议用时:40 分钟) [学业达标练]
一、选择题 1.在△ABC 中,a=4,∠A=45°,∠B=60°,则边 b 的值为( )
【导学号:12232019】

A. 3+1

B.2 3+1

C.2 6

D.2+2 3

C [由已知及正弦定理,得sin445°=sinb60°,

∴b=4ssiinn4650°°=4×223=2 6.] 2

2.在△ABC 中,若 a=2,b=2 3,∠A=30°,则∠B=( )

A.60°

B.60°或 120°

C.30°

D.30°或 150°

B

ab

bsin A 2

[由sin A=sin B,得 sin B= a =

3sin 2

30° =

3 2 .因为

b>a,所以∠B

>∠A,所以∠B=60°或∠B=120°.]

3.在△ABC 中,a=bsin A,则△ABC 一定是( )

【导学号:12232009】

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.等腰三角形

B [由题意有sina A=b=sinb B,则 sin B=1,即∠B 为直角,故△ABC 是直

角三角形.] 4.在△ABC 中,a=3,b=5,sin A=13,则 sin B=( )

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A.15

B.59

C.

5 3

D.1

B [在△ABC 中,由正弦定理sina A=sinb B,得 sin B=bsian A=5×3 13=59.]

5.在△ABC 中,a=15,b=10,∠A=60°,则 cos B 等于( )

【导学号:12232019】

A.-2 3 2

B.23 2

C.-

6 3

D.

6 3

D [由正弦定理得sin1560°=si1n0B,

∴sin

B=10si1n560°=10×15

3 2


3 3.

∵a>b,∠A=60°,∴∠B 为锐角.

∴cos B= 1-sin 2B=

1-???

33???2=

6 3 .]

二、填空题

6.设△ABC 的内角∠A,∠B,∠C 的对边分别为 a,b,c.若 a= 3,sin B =12,∠C=π6,则 b=________.
1 [在△ABC 中,∵sin B=12,0<∠B<π,

∴∠B=6π或∠B=56π.

又∵∠B+∠C<π,∠C=6π,∴∠B=π6,∴∠A=π-π6-6π=23π.

∵sina A=sinb B,∴b=assiinnAB=1.]

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7.在△ABC 中,若 b=1,c= 3,∠C=23π,则 a=________. 【导学号:12232019】
1 [由正弦定理,得 23π=sin1 B, sin 3
∴sin B=12. ∵∠C 为钝角,∴∠B 必为锐角,∴∠B=π6, ∴∠A=6π.∴a=b=1.] 8.在△ABC 中,若(sin A+sin B)(sin A-sin B)=sin2C,则△ABC 的形状是 ________. 直角三角形 [由已知得 sin2A-sin2B=sin2C,根据正弦定理知 sin A=2aR, sin B=2bR,sin C=2cR, 所以???2aR???2-???2bR???2=???2cR???2, 即 a2-b2=c2,故 b2+c2=a2.所以△ABC 是直角三角形.] 三、解答题 9.在△ABC 中,已知cosa A=cobs B=cocs C,试判断△ABC 的形状.
【导学号:12232019】 [解] 令sina A=k, 由正弦定理得 a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C.
sin A sin B sin C 代入已知条件,得cos A=cos B=cos C,即 tan A=tan B=tan C. 又∠A,∠B,∠C∈(0,π), ∴∠A=∠B=∠C,∴△ABC 为等边三角形.
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10.已知一个三角形的两个内角分别是 45°,60°,它们所夹边的长是 1,求 最小边长.
[解] 设△ ABC 中,∠A=45°,∠B=60°,

则∠C=180°-(∠A+∠B)=75°.

因为∠C>∠B>∠A,所以最小边为 a. 又因为 c=1,由正弦定理得,a=cssiinnCA=1×sisnin754°5°= 3-1,

所以最小边长为 3-1.

[冲 A 挑战练] 1.在△ABC 中,下列关系中一定成立的是(

) 【导学号:12232019】

A.a>bsin A

B.a=bsin A

C.a<bsin A

D.a≥bsin A

D [由正弦定理sina A=sinb B,∴asin B=bsin A,在△ABC 中,0<sin B≤1,

故 asin B≤a,∴a≥bsin A.故选 D.]

2.在△ABC 中,若 3b=2 3asin B,cos A=cos C,则△ABC 形状为( )

A.直角三角形

B.等腰三角形

C.等边三角形

D.等腰直角三角形

C [由正弦定理知 b=2R·sin B,a=2R·sin A,

则 3b=2 3a·sin B 可化为:

3sin B=2 3sin A·sin B.

∵0°<∠B<180°,∴sin B≠0,

∴sin A= 23, ∴∠A=60°或 120°,

又 cos A=cos C,

第4页

∴∠A=∠C,∴∠A=60°,

∴△ABC 为等边三角形.] 3.在△ABC 中,若 b=5,∠B=π4,tan A=2,则 a=________.
【导学号:12232019】

2 10

[由

tan

A=2,得

sin

A=2cos

A.又由

sin2A+cos2A=1,得

sin

A=2

5

5 .

因为 b=5,∠B=4π,根据sina A=sinb B,得 a=bssiinnBA=2

5=2 2

10.]

2

4.在△ABC,∠A=60°,∠B=45°,a+b=12,则 a=________.

12(3- 6)

ab

a

b

[因为sin A=sin B,所以sin 60°=sin 45°,

所以 23b= 22a,①

又因为 a+b=12,②

由①②可知 a=12(3- 6).] 5.已知△ABC 的内角∠A,∠B,∠C 的对边分别为 a,b,c,已知∠A-∠C =90°,a+c= 2b,求∠C.
【导学号:12232019】

[解] 由∠A-∠C=90°,得∠A 为钝角且 sin A=cos C,利用正弦定理,a

+c= 2b 可变形为 sin A+sin C= 2sin B,

又∵sin A=cos C,

∴sin A+sin C=cos C+sin C= 2sin (C+45°)= 2sin B,又∠A,∠B,∠C

是△ABC 的内角,

故∠C+45°=∠B 或(∠C+45°)+∠B=180°(舍去),

所以∠A+∠B+∠C=(90°+∠C)+(∠C+45°)+∠C=180°.

第5页

所以∠C=15°.
第6页


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