【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学苏教版必修二课件:第二章 平面解析几何初步-2.1-2.1.3_图文

阶 段 1

阶 段 3

2.1.3
阶 段 2

两条直线的平行与垂直
学 业 分 层 测 评

1.理解两条直线平行与垂直的判断条件.(重点) 2.能根据斜率判定两条直线平行与垂直,体会用代数方法研究几何问题的 思想.(重点、难点)

[ 基础· 初探] 教材整理 1 两条直线平行

阅读教材 P89,完成下列问题. 若 直 线 l1 : y = k1x + b1 , 直 线 l2 : y = k2x + b2 , 则 l1 ∥ l2 ? k1=k2且b1≠b2 _______________________ (k1,k2 均存在). 【拓展】 设 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则 l1∥l2?A1B2

-A2B1=0 且 B1C2-B2C1≠0(或 A1C2-A2C1≠0)

1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若直线 l1 与 l2 斜率相等,则 l1∥l2.(×) (2)若直线 l1∥l2(两条直线的斜率分别为 k1,k2),则 k1=k2.(√) (3)若两条直线的斜率不相等,则两直线不平行.(√) 2.已知 A(2,0),B(3,3),直线 l∥AB,则直线 l 的斜率 k=________.
【解析】 3-0 kAB= =3,kl=kAB=3. 3-2

【答案】 3

教材整理 2

两条直线垂直

阅读教材 P90 例 2~P91 思考以上部分内容,完成下列问题. 两条直线垂直与斜率的关系

都有斜率 (1)如图 217①,如果两条直线_________________ 且它们互相垂直,那么 -1 它们的斜率之积等于-1;反之,如果它们的斜率之积等于__________,那么它

k1k2=-1 们互相垂直.即 l1⊥l2?_________________ (k1,k2 均存在).

(2)如图 217②,若 l1 与 l2 中的一条斜率不存在,另一条斜率为零,则 l1 与

垂直 l2 的位置关系是_________________ .

① 图 217



1.与直线 x+2y+7=0 垂直的一条直线的斜率 k=______.
【解析】 率 k=2.
【答案】 2

1 直线 x+2y+7=0 的斜率 k=-2,故与其垂直的一条直线的斜

2.过点(0,1)且与直线 2x-y=0 垂直的直线的一般式方程是________. 【导学号:60420064】
1 【解析】 直线 2x-y=0 的斜率是 k=2, 故所求直线的方程是 y=-2x+1, 即 x+2y-2=0.
【答案】 x+2y-2=0

[ 质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1: 解惑: 疑问 2: 解惑: 疑问 3: 解惑:

[ 小组合作型]

两直线平行的判定
判断下列各题中直线 l1 与 l2 是否平行. (1)l1 的斜率为 1,l2 经过点 P(1,1),Q(3,3); (2)l1 经过点 A(-3,2),B(-3,10),l2 经过点 C(5,-2),D(5,5); (3)l1 经过点 A(0,1),B(1,0),l2 经过点 C(-1,3),D(2,0).

【精彩点拨】 依据斜率公式,求出斜率,利用 l1∥l2 或 l1,l2 重合?k1=k2 或 k1,k2 不存在判断.

3-1 【自主解答】 (1)k1=1,k2= =1,k1=k2,∴l1 与 l2 重合或 l1∥l2. 3-1 (2)l1 与 l2 都与 x 轴垂直,通过数形结合知 l1∥l2. 0-1 0-3 (3)k1= =-1,k2= =-1,k1=k2,数形结合知 l1∥l2. 1-0 2-?-1?

判断两条直线平行的方法

[ 再练一题] 1.根据下列给定的条件,判断直线 l1 与直线 l2 的位置关系. (1)l1 经过点 A(2,1),B(-3,5),l2 经过点 C(3,-3),D(8,-7); (2)l1 的倾斜角为 60° ,l2 经过点 M(3,2 3),N(-2,-3 3).

【解】

5-1 4 (1)由题意知 k1= =-5, -3-2

-7-?-3? 4 k2 = =-5. 8-3 因为 k1=k2,且 A,B,C,D 四点不共线,所以 l1∥l2. -3 3-2 3 (2)由题意知 k1=tan 60° = 3,k2= = 3. -2-3 因为 k1=k2,所以 l1∥l2 或 l1 与 l2 重合.

两直线垂直的判定

判断下列各题中直线 l1 与 l2 是否垂直. (1)直线 l1:2x-4y+7=0,直线 l2:2x+y-5=0; (2)直线 l1:y-2=0,直线 l2:x-ay+1=0; (3)直线
? ? ? ? 5? ?5 7? ?7 l1 经过点?0,4?,?3,0?,l2 经过点?0,-8?,?6,0?. ? ? ? ? ? ? ? ?

【精彩点拨】 利用两直线垂直的斜率关系判定.

1 【自主解答】 (1)k1=2,k2=-2, 1 ∵k1· k2=2×(-2)=-1, ∴l1 与 l2 垂直.

(2)当 a=0 时,直线 l2 方程为 x=-1,即 l2 斜率不存在,又直线 l1 的斜率为 0,故两直线垂直. 1 当 a≠0 时,直线 l2 的斜率为a,又直线 l1 的斜率为 0,故两直线相交但不垂 直.

5 0-4 3 (3)k1=5 =-4, 3-0
? 7? 0-?-8? ? ?

k2 = 7 6-0

3 =4.

∵k1· k2≠-1,∴两条直线不垂直.

1.判断两直线是否垂直的依据是:当这两条直线都有斜率的前提下,只需 看它们的斜率之积是否等于-1 即可,但应注意有一条直线与 x 轴垂直,另一条 直线与 x 轴平行时,两直线也垂直. 2.直接使用 A1A2+B1B2=0 判断两条直线是否垂直更有优势.

[ 再练一题] 2.判断下列各组中的直线 l1 与 l2 是否垂直: (1)l1 经过点 A(-1,-2),B(1,2),l2 经过点 M(-2,-1),N(2,1); (2)l1 的斜率为-10,l2 经过点 A(10,2),B(20,3); (3)l1 经过点 A(3,4),B(3,100),l2 经过点 M(-10,40),N(10,40).

2-?-2? 1-?-1? 1 【解】 (1)直线 l1 的斜率 k1= =2, 直线 l2 的斜率 k2= = , 1-?-1? 2-?-2? 2 k1k2=1,故 l1 与 l2 不垂直. 3-2 1 (2)直线 l1 的斜率 k1=-10,直线 l2 的斜率 k2= = ,k k =-1,故 20-10 10 1 2 l1⊥l2. (3)l1 的倾斜角为 90° ,则 l1⊥x 轴. 40-40 直线 l2 的斜率 k2= =0,则 l2∥x 轴.故 l1⊥l2. 10-?-10?

[ 探究共研型]

两直线平行与垂直的应用
探究 如图 218,设直线 l1 与 l2 的倾斜角分别为 α1 与 α2,且 α1<α2,斜率

分别为 k1,k2,若 l1⊥l2,α1 与 α2 之间有什么关系?为什么?

图 218 【提示】 α2=90° +α1.因为三角形任意一外角等于不相邻两内角之和.

(2016· 无锡月考)已知点 A(2,2)和直线 l:3x+4y-20=0,求: (1)过点 A 和直线 l 平行的直线方程; (2)过点 A 和直线 l 垂直的直线方程.
【精彩点拨】 利用两直线平行和垂直的条件求解或利用与已知直线平行

与垂直的直线系方程求解.

【自主解答】

3 法一:∵3x+4y-20=0,∴kl=-4.

(1)设过点 A 与 l 平行的直线为 l1. 3 3 ∵kl1=kl=-4,∴l1 的方程为 y-2=-4(x-2), 即 3x+4y-14=0. (2)设过点 A 与 l 垂直的直线为 l2.
? 3? 4 ∵klkl2=-1,∴?-4?×kl2=-1,∴kl2=3. ? ?

4 ∴l2 的方程为 y-2=3(x-2),即 4x-3y-2=0.

法二:(1)设与直线 l 平行的直线方程为 3x+4y+m=0, 则 6+8+m=0,∴m=-14,∴3x+4y-14=0 为所求. (2)设与直线 l 垂直的直线方程为 4x-3y+n=0, 则 8-6+n=0,∴n=-2,∴4x-3y-2=0 为所求.

两直线平行或垂直的应用 1.求与已知直线平行或垂直的直线.此类问题有两种处理方法,一是利用 平行与垂直的条件求斜率,进而求方程,二是利用直线系方程求解,与已知直 线 Ax+By+C=0 平行的直线系方程为 Ax+By+D=0(C≠D),垂直的直线系方 程为 Bx-Ay+D=0. 2.由直线平行或垂直求参数的值,此类问题直接利用平行和垂直的条件, 列关于参数的方程求解即可.

[ 再练一题] 3.(1)已知四点 A(5,3),B(10,6),C(3,-4),D(-6,11),求证:AB⊥CD. 3 (2)已知直线 l1 的斜率 k1=4,直线 l2 经过点 A(3a,-2),B(0,a2+1),且 l1 ⊥l2,求实数 a 的值.

【解】

(1)证明:由斜率公式得:

6-3 3 kAB= = , 10-5 5 11-?-4? 5 kCD= =-3, -6-3 则 kAB· kCD=-1,∴AB⊥CD. (2)∵l1⊥l2,∴k1· k2=-1,
2 3 a +1-?-2? 即4× =-1, 0-3a

解得 a=1 或 a=3.

[ 构建· 体系]

1.下列说法正确的有________. ①若两直线斜率相等,则两直线平行; ②若 l1∥l2,则 k1=k2; ③若两直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则两直 线相交; ④若两直线斜率都不存在,则两直线平行.

【解析】 ①中,当 k1=k2 时,l1 与 l2 平行或重合,错误;②中,斜率不存 在时,错误;④错误.只有③正确.
【答案】 ③

2.过点( 3, 6),(0,3)的直线与过点( 6, 2),(2,0)的直线的位置关系为 ________. 【导学号:60420065】

6-3 【解析】 过点( 3, 6), (0,3)的直线的斜率 k1= = 2- 3; 过点( 6, 3-0 2-0 2),(2,0)的直线的斜率 k2= = 3+ 2.因为 k1· k2=-1,所以两条直线垂 6-2 直.
【答案】 垂直

3 .已知直线 (a- 1)x + y -1 =0 与直线 2x + ay +1= 0 平行,则实数 a = ________.
【解析】 由已知,得(a-1)a-2=0,解得 a=-1 或 a=2,当 a=-1 时, 两直线重合,故 a=2.
【答案】 2

4.已知 l1⊥l2,直线 l1 的倾斜角为 45° ,则直线 l2 的倾斜角为________.

【解析】 由 l1⊥l2 及 k1=tan 45° =1,知 l2 的斜率 k2=-1,∴l2 的倾斜角 为 135° .
【答案】 135°

5.已知直线 l1:ax+3y=3,l2:x+2ay=5,若 l1⊥l2,求 a 的值.

【解】 直线 l1:ax+3y-3=0,直线 l2:x+2ay-5=0. ∵l1⊥l2, ∴a×1+3×(2a)=0, 即 a=0.

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