www.jimei19.com:数学必修5期末测试题(已排版,可直接打印)

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必修 5 综合测试题
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.在△ABC 中,a= 5,b= 15,A=30° ,则 c 等于( A.2 5 C.2 5或 5 B. 5 D.3 5 )

b2+c2-a2 解析: 由余弦定理:cos A= , 2bc ∴
2 3 15+c -5 = ,即 c2-3 5c+10=0, 2 2× 15×c

∴c= 5或 2 5,经检验,a,b,c 能构成三角形.故选 C. 答案: C 2.当 0<a<b<1 时,下列不等式正确的是( 1 A.(1-a) >(1-a)b b b C.(1-a)b>(1-a) 2 1 1 解析: 特值法.取 a= ,b= , 4 2 1 3 1 9 则(1-a) =?1-4?2=?4?2= . ? ? ? 16 b ? 1 1 3 (1-a)b=?1-4? = . ? ?2 2 1 ∴(1-a) <(1-a)b.故排除 A. b 同理可排除 B,C. 答案: D 3.已知点(3,1)和(-4,6)在直线 3x-2y+a=0 的两侧,则 a 的取值范围是( A.a<-7 或 a>24 C.-7<a<24 B.a=7 或 a=24 D.-24<a<7 ) )

B.(1+a)a>(1+b)b D.(1-a)a>(1-b)b

解析: (3×3-2×1+a)· (-3×4-2×6+a)<0?-7<a<24. 答案: C 4.数列 1,3,7,15,…的通项公式 an 等于( A.2n C.2n-1 ) B.2n+1 D.2n-1

解析: 取 n=1 时,a1=1,排除 A、B,取 n=2 时,a2=3,排除 D. 答案: C
1

5.△ABC 中,a、b、c 分别为 A、B、C 的对边,如果 a,b,c 成等差数列,B=30° , 3 △ABC 的面积为 ,那么 b=( 2 1+ 3 A. 2 2+ 3 C. 2 1 3 解析: 2b=a+c,S= acsin B= 2 2 ∴ac=6 又∵b2=a2+c2-2accos B ∴b2=(a+c)2-2ac-2accos 30° ∴b2=4+2 3,即 b=1+ 3,故选 B. 答案: B 6.若数列{xn}满足 lg xn+1=1+lg xn(n∈N*),且 x1+x2+x3+…+x100=100,则 lg(x101 +x102+…+x200)的值为( A.102 C.100 ) B.101 D.99 ) B.1+ 3 D.2+ 3

xn+1 解析: 由 lg xn+1=1+lg xn 得 =10, xn ∴数列{xn}是公比为 10 的等比数列,又 x101=x1·100, q x102=x2·100,…,x200=x100·100, q q ∴x101+x102+…+x200=q100(x1+x2+…+x100) =10100· 100=10102. ∴lg(x101+x102+…+x200)=102. 答案: A 7.在△ABC 中,角 A、B,C 所对的边长分别为 a,b,c,若∠C=120° ,c= 2a,则 ( ) A.a>b B.a<b C.a=b D.a 与 b 的大小关系不能确定 a c 解析: 由正弦定理得 = sin A sin C 即 a 2a = sin A sin 120° 6 1 > 4 2
2

∴sin A=

∴A>30° ,则 B<30° 故 A>B,∴a>b 答案: A

?x≥0, ? 8.设变量 x,y 满足约束条件?x-y≥0, ?2x-y-2≤0, ?
A.0 C.4 解析: 作出可行域如图所示 B.2 D.6

则 z=3x-2y 的最大值为(

)

3 1 目标函数 y= x- z 2 2 易知过 A(0,-2)时 zmax=4 答案: C 1 9.函数 f(x)= ln( x2-3x+2+ -x2-3x+4)的定义域为( x A.(-∞,-4]∪[2,+∞) C.[-4,0)∪(0,1] 解析: 由已知得 B.(-4,0)∪(0,1) D.[-4,0)∪(0,1) )

? ?-x -3x+4≥0, ? x -3x+2+ -x -3x+4>0, ?x≠0. ?
2 2 2

x2-3x+2≥0,

?x≤1或x≥2, ?-4≤x≤1, ?? x -3x+2+ ?x≠0. ?
2

-x2-3x+4>0,

?x∈[-4,0)∪(0,1). 答案: D x2-4x+5 5 10.已知 x≥ ,则 f(x)= 有( 2 2x-4
3

)

5 A.最小值 4 C.最小值 1

5 B.最大值 4 D.最大值 1

?x-2?2+1 ?x-2? 1 解析: f(x)= = + . 2 2?x-2? 2?x-2? 5 ∵x≥ ,∴x-2>0, 2 ∴f(x)≥2 1 =1. 4

x-2 1 当且仅当 = , 2 2?x-2? 即 x=3 时,取等号. 答案: C
?1? 11.已知{an}是首项为 1 的等比数列,Sn 是{an}的前 n 项和,且 9S3=S6.则数列?a ?的前 ? n?

5 项和为( 15 A. 或 5 8 31 C. 16

) 31 B. 或 5 16 15 D. 8

解析: 9S3=S6 而 S6=S3+a4+a5+a6 ∴8(a1+a2+a3)=a4+a5+a6 即 q3=8 ∴q=2
?1? 1 ∴数列?a ?是以 1 为首项, 为公比的等比数列. 2 ? n?

1 ? 1·1-?2?5? ? ? ? ? 31 S′5= = . 1 16 1- 2 答案: C 12. 已知各项均为正数的等差数列{an}的前 20 项和为 100, 那么 a3·18 的最大值是( a A.50 C.100 解析: a3·18≤? a 由 题 可 知 S20 = B.25 D.2 20 20?a1+a20? 20?a3+a18? = = 100 , 所 以 a3 + a18 = 10 , 故 2 2 )

?

a3+a18?2 =25.故选 B. 2 ?

答案: B
4

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.请把正确答案填在题中横线上) 13.在△ABC 中,已知 a=4,b=6,C=120° ,则 sin A 的值是________. 解析: 根据余弦定理 c2=a2+b2-2abcos C=42+62-2×4×6cos120° =76.所以 c= 2 19, 根据正弦定理,得 asin C 4sin 120° 57 sin A= = = . c 19 2 19 答案: 57 19

14.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 S3=3,S6=24,则 a9=________.
?S3=3 ? 由? 知 ?S6=24 ?

解析:

?3a +3×?3-1?d=3 2 ? 6?6-1? ?6a + 2 d=24
1 1

? ? ?a1+d=1 ?a1=-1 即? ,∴? ?2a1+5d=8 ?d=2 ? ?

∴a9=-1+8×2=15 答案: 15 15.某公司租地建仓库,每月土地占用费 y1 与仓库到车站的距离成反比,而每月库存 货物的运费 y2 与仓库到车站的距离成正比,如果在距离车站 10 km 处建仓库,这两项费用 y1 和 y2 分别为 2 万元和 8 万元,那么要使两项费用之和最小,仓库应建在离车站________ 处. 20 解析: 由已知得 y1= ,y2=0.8x(x 为仓库与车站的距离). x 费用之和 y=y1+y2=0.8x+ 答案: 5 km 16. 已知关于 x 的不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0 的解集为空集, 则实数 a 的取值范围 是________. 解析: 当 a=-2 时,原不等式可化为 0·2+0· x x-1≥0,解集为空集,符合题意. 当 a=2 时,原不等式可化为 0.x2+4x-1≥0,解集不能为空集.
? 2 ?a -4<0 当? ,不等式的解集为空集. 2 2 ?Δ=?a+2? +4?a -4?<0 ?

20 ≥2 x

20 20 0.8x· =8, 当且仅当 0.8x= 即 x=5 时等号成立. x x

6 ∴-2<a< 5 6 综上-2≤a< . 5

5

6 答案: ?-2,5? ? ? 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤) 17. (本小题满分 12 分)在△ABC 中, b, 分别是 A, C 的对边, 2sin A= 3cos A. a, c B, 且 (1)若 a2-c2=b2-mbc,求实数 m 的值; (2)若 a= 3,求△ABC 面积的最大值. 解析: (1)将 2sin A= 3cos A两边平方,得 2sin2A=3cos A, 1 即(2cos A-1)(cos A+2)=0.解得 cos A= >0, 2 π ∵0<A< ,∴A=60° . 2 b2+c2-a2 m a2-c2=b2-mbc 可以变形得 = . 2bc 2 m 1 即 cos A= = ,∴m=1. 2 2 b2+c2-a2 1 (2)∵cos A= = , 2bc 2 ∴bc=b2+c2-a2≥2bc-a2,即 bc≤a2. bc a2 3 3 3 故 S△ABC= sin A≤ × = . 2 2 2 4 3 ∴△ABC 面积的最大值为 3. 4 1 + 1 18.(本小题满分 12 分)数列{an}中,a1= ,前 n 项和 Sn 满足 Sn+1-Sn=?3?n 1(n∈N*). ? ? 3 (1)求数列{an}的通项公式 an 以及前 n 项和 Sn; (2)若 S1,t(S1+S2),3(S2+S3)成等差数列,求实数 t 的值. 1 + 解析: (1)由 Sn+1-Sn=?3?n 1 得 ? ? 1 + an+1=?3?n 1(n∈N*); ? ? 1 1 又 a1= ,故 an=?3?n(n∈N*). ? ? 3 1 ? ?1?n? × 1- 3 ? ?3? ? 1? ?1?n? 从而,Sn= = ?1-?3? ?(n∈N*). 1 2 1- 3 1 4 13 (2)由(1)可得 S1= ,S2= ,S3= . 3 9 27 从而由 S1,t(S1+S2),3(S2+S3)成等差数列可得: 1 4 1 ?4 13? +3?9+27?=2×?3+9?t, ? ? 3
6

解得 t=2. 19.(本小题满分 12 分)已知全集 U=R,集合 A={x|x2+(a-1)x-a>0},B={x|(x+a)(x +b)>0(a≠b)},M={x|x2-2x-3≤0}. (1)若?UB=M,求 a,b 的值; (2)若-1<b<a<1,求 A∩B; (3)若-3<a<-1,且 a2-1∈?UA,求实数 a 的取值范围. 解析: 由题意,得 A={x|(x+a)(x-1)>0},?UB={x|(x+a)(x+b)≤0},M={x|(x+1)(x -3)≤0}. (1)若?UB=M,则(x+a)(x+b)=(x+1)(x-3), 所以 a=1,b=-3,或 a=-3,b=1. (2)若-1<b<a<1,则-1<-a<-b<1, 所以 A={x|x<-a 或 x>1},B={x|x<-a 或 x>-b}. 故 A∩B={x|x<-a 或 x>1}. (3)若-3<a<-1,则 1<-a<3,所以 A={x|x<1 或 x>-a},?UA={x|1≤x≤-a}.又由
?a2-2≥0 ? -1- 5 a -1∈?UA,得 1≤a -1≤-a,即? 2 ,解得 ≤a≤- 2. 2 ? ?a +a-1≤0
2 2

20.(本小题满分 12 分)某人有楼房一幢,室内面积共 180 m2,拟分隔成两类房间作为 旅游客房.大客房每间面积为 18 m2,可住游客 5 名,每名游客每天住宿费为 40 元;小房 间每间 15 m2,可住游客 3 名,每名游客每天住宿费为 50 元;装修大房间每间需 1 000 元, 装修小房间每间需 600 元.如果他只能筹款 8 000 元用于装修,且游客能住满客房,他应隔 出大房间和小房间各多少间,才能获得最大收益? 解析: 设隔出大房间 x 间,小房间 y 间,获得收益为 z 元,

?18x+15y≤180, ? 则?1 000x+600y≤8 000, ?x≥0,y≥0,且x,y∈N ?

?6x+5y≤60,① ? 即?5x+3y≤40,② ?x≥0,y≥0,且x,y∈N ?

.

目标函数为 z=200x+150y 画出可行域如图阴影部分所示. 20 60 作出直线 l: 200x+150y=0, 即直线 4x+3y=0.当 l 经过平移过可行域上的点 A? 7 , 7 ? ? ? 时,z 有最大值,由于 A 的坐标不是整数,而 x,y∈N,所以 A 不是最优解. 调整最优解: 由 x, y∈N, z′=4x+3y≤37, 4x+3y=37, y= 知 令 即 5 代入约束条件①,②,可解得 ≤x≤3. 2 25 由于 x∈N,得 x=3,但此时 y= ?N. 3 再次调整最优解:
7

37-4x , 3

36-4x 令 4x+3y=36,即 y= ,代入约束条件①,②, 3 可解得 0≤x≤4(x∈N). 2 1 当 x=0 时,y=12;当 x=1 时,y=10 ;当 x=2 时,y=9 ;当 x=3 时,y=8;当 x 3 3 2 =4 时,y=6 . 3 所以最优解为(0,12)和(3,8),这时 z′max=36,zmax=1 800. 所以应隔出小房间 12 间或大房间 3 间、小房间 8 间,可以获得最大收益. 21.(本小题满分 12 分)森林失火,火势以每分钟 100 m2 的速度顺风蔓延,消防站接到 报警后立即派消防员前去, 在失火 5 分钟到达现场开始救火, 已知消防员在现场平均每人每 分钟可灭火 50 m2,所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用平均每人每分钟 125 元,所消耗的 车辆、器械和装备等费用平均每人 100 元,而每烧毁 1 m2 的森林损失费为 60 元,设消防队 派 x 名消防队员前去救火,从到现场把火完全扑灭共用 n 分钟. (1)求出 x 与 n 的关系式; (2)求 x 为何值时,才能使总损失最少. 解析: (1)由已知可得 50nx=100(n+5), 10 所以 n= (x>2). x-2 (2)设总损失为 y 元,则 y=6 000(n+5)+100x+125nx 10 1 250x =6 000?x-2+5?+100x+ ? ? x-2 = 62 500 +100(x-2)+31 450 x-2

≥2 6250 000+31 450=36 450, 62 500 当且仅当 =100(x-2),即 x=27 时,y 取最小值. x-2 答:需派 27 名消防员,才能使总损失最小,最小值为 36 450 元. 22.(本小题满分 14 分)已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26.{an}的前 n 项和为 Sn. (1)求 an 及 Sn; 1 (2)令 bn= 2 (n∈N*),求数列{bn}的前 n 项和 Tn. an -1 解析: (1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d, 由于 a3=7,a5+a7=26, 所以 a1+2d=7,2a1+10d=26, 解得 a1=3,d=2.

8

由于 an=a1+(n-1)d,Sn=

n?a1+an? , 2

所以 an=2n+1,Sn=n(n+2). (2)因为 an=2n+1, 所以 an2-1=4n(n+1), 1 1 1 1 因此 bn= = ?n-n+1?. ? 4n?n+1? 4? 故 Tn=b1+b2+…+bn 1 1 1 1 1 1 = ?1-2+2-3+…+n-n+1? 4? ? 1 1 = ?1-n+1? 4? ? = n 4?n+1? n . 4?n+1?

所以数列{bn}的前 n 项和 Tn=

9


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