www.10060100.com:高中数学空间向量与立体几何测试题

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空间向量与立体几何
一.选择题 1. 在下列命题中: ①若向量 a, b 共线,则向量 a, b 所在的直线平行; ②若向量 a, b 所在的直线为异面直线,则向量 a, b 一定不共面; ③若三个向量 a, b, c 两两共面,则向量 a, b, c 共面; ④已知是空间的三个向量 a, b, c ,则对于空间的任意一个向量 p 总存在实数 x,y,z 使得

p ? xa ? yb ? zc ;
其中正确的命题的个数是 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 2. 与向量(-3,-4,5)共线的单位向量是 (A) ( ( ( ) )

3222 2 3 2 2 2 2 3222 2 , ,? ,? , , ,? )和( ? ) ; (B) ( ) ; 10 5 2 10 5 2 10 5 2 3222 2 3 2 2 2 2 32 22 2 , , ,? ,? ,? , (C) ( )和( ? ) ; (D) (? ) ; 10 5 2 10 5 2 10 5 2 3. 已知 A、B、C 三点不共线,点 O 为平面 ABC 外的一点,则下列条件中,能得到 M∈平 面 ABC 的充分条件是 ( ) 1 1 1 1 1 (A) OM ? OA ? OB ? OC ; (B) OM ? OA ? OB ? OC ; 2 2 2 3 3 (C) OM ? OA ? OB ? OC ; (D) OM ? 2OA ? OB ? OC 4. 已知点 B 是点 A(3,7,-4)在 xOz 平面上的射影,则 (OB)2 等于 ( ) (A) (9,0,16) (B)25 (C)5 (D)13 5. 设平面 ? 内两个向量的坐标分别为(1,2,1) 、 (-1,1,2) ,则下列向量中是平面的法 向量的是( ) A(-1,-2,5) B(-1,1,-1) C(1, 1,1) D(1,-1,-1) 6. 如图所示,在正三棱柱 ABC——A1B1C1 中,若 AB= 2 BB1,则 AB1 与 C1B 所成的角的 大小为 ( ) (A)60° (B)90° (C)105° (D)75°
7. 已知 a, b 均为单位向量,它们的夹角为 60?,那么 a ? 3b 等于( )

A. 7 B. 10 C. 13 D.4 8. 在平面直角坐标系中, A(?2,3), B(3, ?2) ,沿 x 轴把平面直角坐标系折成 120?的二面角后, 则线段 AB 的长度为( ) A. 2 B. 2 11 C. 3 2 D. 4 2 9. 已知α , β 表示两个不同的平面, m 为平面α 内的一条直线, 则 “? ? ? ” 是 “m ? ? ” 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 10.若向量 a ? (1, ?, 2) , b ? (2, ?1, 2) ,且 cos ? a, b ?? (A) 2 (B) ?2 (C) ?2 或

8 ,则 ? = 9
(D) 2 或 ?

( )

2 55

2 55
( )

11.已知向量 a || 平面 ? ,向量 a 所在的直线为 l ,则 (A)l ||? (B)l ? ? (C)l 交 ? 于一点

(D)l ? 或 l ? ?

12.若 a , b 均为非零向量,则 a ? b ? a b 是 a 与 b 共线的

( )

(A)必要不充分条件(B)充分不必要条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件 13.已知 O 为坐标原点,且 AO ? (?3, ?5,7) , M (?2, 4,3) 是线段 AB 的中点,则 OB ? ( ) (A)(?1,13, ?1) (B)(?7,3,13) (C)(1, ?13,1) (D)(7, ?3, ?13)

14.已知 a , b , c 是空间的一个基底,设 p ? a ? b , q ? a ? b ,则下列向量中可以与 p ,

q 一起构成空间的另一个基底的是
(A) a (B) b (C) c (D)以上都不对

( )

15.在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,若 AB ? (A) 60
?

2BB1 ,则 AB1 与 C1B 所成角的大小为( )
?

(B) 90

?

(C) 105

(D) 75

?

? 16. 在边长为 1 的菱形 ABCD 中, ?ABC ? 60 ,将菱形沿对角线 AC 折起,使折起后

BD ? 1 ,则二面角 B ? AC ? D 的余弦值为
(A)

(

)

1 1 2 3 3 (B) (C) (D) . 3 2 3 2 ? D 为 BB1 的中点, 17. 直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? AC ? 1 , AA 1 ? 2 , ?B 1 AC 1 1 ? 90 ,
则异面直线 C1D 与 AC 1 所成角的余弦值为 (A) ( ) (D)

10 5

(B)

2 5 7

(C)

15 15

18.设命题 p : a , b , c 是三个非零向量;命题 q : a , b , c 为空间的一组基底,则 命题 q 是命题 p 的 ( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件 19. 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形, PA ⊥平面 ABCD,AP=AB=2,BC=2 E,F 分别是 AD,PC 的中点 (Ⅰ)证明:PC ⊥平面 BEF; (Ⅱ)求平面 BEF 与平面 BAP 夹角的大小。

?

10 15

?

2,

19.如图所示的多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEC1F 所截面而得到的,其中

AB ? 4, BC ? 2, CC1 ? 3, BE ? 1 . (Ⅰ)求 BF 的长; (Ⅱ)求点 C 到平面 AEC1F 的距离.

20. 如 图 , 已 知 四 棱 锥 P-ABCD 的 底 面 为 等 腰 梯 形 , AB CD,AC ? BD,垂足为 H,PH 是四棱锥的高 ,E 为 AD 中点 (1) 证明:PE ? BC (2) 若 ? APB= ? ADB=60°,求直线 PA 与平面 PEH 所成角 的正弦值

21. 如图,四棱锥 S-ABCD 的底面是矩形,AB=a,AD=2,SA=1,且 SA⊥底面 ABCD,若边 BC 上 存在异于 B,C 的一点 P,使得 PS ? PD . (1)求 a 的最大值; (2)当 a 取最大值时,求异面直线 AP 与 SD 所成角的大小; (3)当 a 取最大值时,求平面 SCD 的一个单位法向量 n 及点 P 到平面 SCD 的距离.

22. 如图所示,矩形 ABCD 的边 AB=a,BC=2,PA⊥平面 ABCD,PA=2,现有数据:① a ?

3 ; 2

② a ? 1 ;③ a ? 3 ;④ a ? 2 ;⑤ a ? 4 ; (1)当在 BC 边上存在点 Q,使 PQ⊥QD 时,a 可能取所给数据中的哪些值?请说明理由; (2)在满足(1)的条件下,a 取所给数据中的最大值时,求直线 PQ 与平面 ADP 所成角的正切 值; (3)记满足(1)的条件下的 Q 点为 Qn(n=1,2,3,?),若 a 取所给数据的最小值时,这样的点 Qn 有几个?试求二面角 Qn-PA-Qn+1 的大小;

答案 1-5 AABBB 11. 3,2

6-10 BACBB 12.

?
2

13.

3 3

14.

14

15. 30?

16. 解: 3a ? 2b ? 3(3,5, ?4) ? 2(2,1,8) ? (9,15,-12)-(4,2,16)=(5,13,-28)

a ? b ? (3,5,-4) ? (2,1,8)=6+5-32=-21
由 (? a ? ?b) ? (0,0,1) ? (3? ? 2?,5? ? ?, ?4? ? 8? ) ?(0, 0,1) ? ?4? ? 8? ? 0 即当 ? , ? 满足 ?4? ? 8? =0 即使 ? a ? ?b 与 z 轴垂直. 17. 解:以 D 为坐标原点。DA、DC、DD1 分别为 x,y,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系。 由于正方体的棱长为 1,所以 D(0,0,0) ,D1(0,0,1) ,B(1,1,0) ,A(1,0,0) ,

∵P、Q 分别是线段 AD1 和 BD 上的点,且 D1P:PA=DQ:QB=5:12,∴P ( (

5 12 ,0, ) ,Q 17 17

5 5 5 12 ,∴ PQ ? (0, , ? ) ,所以 , ,0 ) 17 17 17 17 13 (1)∴ PQ ?| PQ |? ; 17
(2)∵ DA ? (1,0,0) ,∴ PQ ? DA ? 0 ,∴PQ⊥AD; ( 3 )∵ DC ? (0,1, 0), DD1 ? (0,0,1) ,∴ PQ ?

5 12 DC ? DD 1 , DC ? 平面 1 ,又 DD 17 17

CDD1C1,PQ ? 平面 CDD1C1,∴PQ//平面 CDD1C1; 18. 解法一 (Ⅰ)如图,以 A 为坐标原点,AB,AD,AP 算在直线分别为 x,y,z 轴建 立空间直角坐标系。∵AP=AB=2,BC=AD=2√ 2,四边形 ABCD 是矩形。 ∴A,B,C,D 的坐标为 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2, 2 √ 2,0),D(0,2 √ 2,0),P(0,0,2) 又 E,F 分别是 AD ,PC 的中点,∴E(0,√ 2,0),F(1,√ 2,1)。∴ PC =(2,2 √ 2,-2)

BF =(-1,√ 2,1) EF =(1,0, 1) ,∴ PC · BF =-2+4-2=0, PC · EF =2+0-2=0,
∴ PC ⊥ BF , PC ⊥ EF ,∴PC⊥BF,PC⊥EF,BF ∩ EF=F,
[来源:Zxxk.Com]

∴PC⊥平面 BEF

(II)由(I)知平面 BEF 的法向量 平面 BAP 的法向量 设平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为 θ ,

则 ∴ θ=45℃, ∴ 平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为 45 解法二 (I)连接 PE,EC 在 PA=AB=CD, AE=DE, ∴ PE= CE, 即 △PEC 是等腰三角形, 又 F 是 PC 的中点,∴EF⊥PC, 又 ∴BF⊥PC. 又
[来源:学§科§网 Z§X§X§K]

,F 是 PC 的中点,

19. 解:以 H 为原点, HA, HB, HP 分别为 x, y , z 轴,线段 HA 的长为单位长, 建立空间直 角坐标系如图, 则 A(1,0,0), B(0,1,0) (Ⅰ)设 C (m,0,0), P(0,0, n)(m 可得

1 m D( 0 m , , 0E ), ( , , 0). 2 2 1 m m m PE ? ( , ? ,n ) BC , ? m(? , 1因为 , 0 ) PE . ? BC ? ? ? 0 ? 0 所以 P E ? B C 2 2 2 2

0, n

0) 则

(Ⅱ)由已知条件可得 m ? ?

3 3 , n ? 1, 故 C( ? ,0,0) 3 3

D(0, ?

3 1 3 ,0), E ( , ? ,0), P(0,0,1) 设 n ? ( x, y, x) 为平面 PEH 的法向量 3 2 6
? E , o ?n ? H ? ? P , o ? ?n ? H ?
? 1 x ? 3 y ?0 ?2 6 即 ? 因此可以取 ? ? z?0



n ? (1, 3,0) ,
由 PA ? (1,0, ?1) ,可得

c o sP A n , ?

2 4 2 4

所以直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值为

20. 如图,四棱锥 S-ABCD 的底面是矩形,AB=a,AD=2,SA=1,且 SA⊥底面 ABCD,若边 BC 上 存在异于 B,C 的一点 P,使得 PS ? PD . (1)求 a 的最大值; (2)当 a 取最大值时,求异面直线 AP 与 SD 所成角的大小; (3)当 a 取最大值时,求平面 SCD 的一个单位法向量 n 及点 P 到平面 SCD 的距离.

20. 解:建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标分别为: A(0,,0,0),B(a,0,0),C(a,2,0),D(0,2,0),S(0,0,1),设 P(a,x,0). (0<x<2) (1) ∵ PS ? ? ?a, ? x,1? , PD ? ? ?a, 2 ? x,0 ?

∴由 PS ? PD 得: a2 ? x(2 ? x) ? 0 即: a2 ? x(2 ? x) (0 ? x ? 2) ∴当且仅当 x=1 时,a 有最大值为 1.此时 P 为 BC 中点; (2) 由(1)知: AP ? (1,1,0), SD ? (0, 2, ?1), ∴ cos AP, SD ?
AP SD AP ? SD ? 2 10 ? , 5 2? 5

∴异面直线 AP 与 SD 所成角的大小为 arc cos

10 . 5

(3) 设 n1 ? ? x, y, z ? 是平面 SCD 的一个法向量,∵ DC ? (1,0,0), SD ? (0, 2, ?1),
?x ? 0 ?x ? 0 ? ?n1 DC ? 0 ? ?n1 ? DC ? ? ?? ? ? 2 y ? z ? 0 ? ? y ? 1 得 n1 ? (0,1, 2), ∴由 ? ?n1 ? SD ?n1 SD ? 0 ?取y ? 1 ?z ? 2 ? ? ? ?

∴平面 SCD 的一个单位法向量 n ?

n1 n1

?

1 5 2 5 ? ? 0,1, 2 ? ? (0, , ), 5 5 5
? 5 5 ?? 5, 1 5

又 CP ? (0, ?1,0), 在 n 方向上的投影为

CP ? n n

?

∴点 P 到平面 SCD 的距离为

5 . 5

21. 解:建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标分别为:

A(0,0,0,),B(a,0,0),C(a,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),设 Q(a,x,0).(0≤x≤2) (1) ∵ PQ ? ? a, x, ?2 ? , QD ? ? ?a, 2 ? x,0 ? ,

∴由 PQ⊥QD 得

PQ ? QD ? ?a2 ? x(2 ? x) ? 0 ? a2 ? x(2 ? x)
∵ x ??0,2?, a2 ? x(2 ? x) ? ? 0,1? ∴在所给数据中,a 可取 a ?
3 和 a ? 1 两个值. 2

(2) 由(1)知 a ? 1 ,此时 x=1,即 Q 为 BC 中点, ∴点 Q 的坐标为(1,1,0) 从而 PQ ? ?1,1, ?2 ? , 又 AB ? ?1,0,0 ? 为平面 ADP 的一个法向量, ∴ cos PQ, AB ?
PQ ? AB PQ ? AB ? 1 6 , ? 6 ?1 6

∴直线 PQ 与平面 ADP 所成角的正切值为

5 . 5

(3) 由(1)知 a ?

1 3 3 ,此时 x ? 或x ? , ,即满足条件的点 Q 有两个, 2 2 2

? 3 1 ? ? 3 3 ? , , 0 和 Q 其坐标为 Q1 ? ? 2? ? 2 2 ? ? 2 , 2 ,0? ? ? ? ? ?

∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥AQ1,PA⊥AQ2, ∴∠Q1AQ2 就是二面角 Q1-PA-Q2 的平面角.

3 3 ? 3 由 cos AQ1 , AQ2 ? ,得∠Q1AQ2=30?, ? 4 4? 2 AQ1 ? AQ2 1? 3 AQ1 ? AQ2
∴二面角 Q1-PA-Q2 的大小为 30?.


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